Transcript función polinómica

CLARITA NESSIM
MAPA CONCEPTUAL
FUNCIONES
MATEMATICAS
FUNCIONES
Generalidades
Tipos
Clasificación
CLASIFICACION DE FUNCIONES
Inyectiva
Una función es
inyectiva si cada
elemento del
conjunto A le
corresponde un
solo valor tal que,
en el conjunto A no
puede haber dos o
más elementos
que tengan la
misma imagen.
Bijectiva
Sea f una
función de A en
B, f es una
función
biyectiva, si y
sólo si f es
sobreyectiva e
inyectiva a la
vez.
Sobrejectiva
Sea f una
función de A en
B, f es una
función
sobreyectiva, y
sólo si cada
elemento de B
es imagen de al
menos un
elemento de A,
bajo f.
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A,
diremos que la función es inyectiva y la función es sobreyectiva
cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un
elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos
condiciones tenemos una función biyectiva.
CLASIFICACION DE FUNCIONES
Creciente
Par
Decreciente
Una función es creciente en un
intervalo [a, b] si al tomar dos
puntos cualesquiera, se verifica
que:
f (𝑥1 ) < f (𝑥2 ).
Se dice que una función es
creciente si de 𝑥1 < 𝑥2 se
deduce que f (𝑥1 ) < f (𝑥2 ).
Una función f se dice que es
creciente si al considerar dos
puntos de su gráfica, (𝑥1 , f(𝑥1 )) y
(𝑥2 , f(𝑥2 )) con 𝑥1 <𝑥2 se tiene
que f(𝑥1 ) < f(𝑥2 ). Prevalece la
relación <.
Una función f se dice que es
decreciente si al considerar
dos puntos de su gráfica, (𝑥1 ,
f (𝑥1 )) y (𝑥2 , f (𝑥2 )) con 𝑥1 <𝑥2
se tiene que f (𝑥1 ) > f (𝑥2 ).
Cambia la relación de < a >.
Siempre que de 𝑥1 < 𝑥2 se
deduzca f (𝑥1 ) > f (𝑥2 ), se
dice que la función es
decreciente.
La definición de función
estrictamente creciente o
decreciente en un punto se
obtiene sin más que sustituir
el símbolo " por < y el " por el
>.
si f(x) = f (-x).
Ejemplo: La función
𝑦 = 𝑥 2 es par pues se
obtienen los mismos
valores de y
independientemente
del signo de x.
La función 𝑦 = 𝑥 2 es
par ya que f (-x) =
(−𝑥)2 = 𝑥 2
Impar
si f(x) = -f (-x).
Ejemplo: La
función y(x)=x
es impar ya
que: f (-x) = -x
pero como f(x)
= x entonces: f(x) = - f(x).
GENERALIDADES
Una función es una regla de
asociación que relaciona dos
o más conjuntos entre sí;
llamados conjunto de llegada
y conjunto se salida, en la
función el conjunto de salida y
el dominio son el mismo, el
dominio y el rango son
conjuntos. Esta regla de
asociación no permite
relacionar un mismo
elemento del dominio con dos
elementos del rango.
No estamos en presencia
de una función cuando:
•
De algún elemento
del conjunto de
partida no sale
ninguna flecha.
•
De algún elemento
del conjunto de
partida salen dos o
más flechas.
Se dice que f: A  B
(f es una función de A
en B, o f es una
función que toma
elementos del
dominio A y los aplica
sobre otro llamado
rango B)
El intercepto en el
eje y se halla
reemplazando a x
por 0, y el intercepto
en el eje x se halla
igualando la función
a 0 y solucionando la
ecuación resultante.
El dominio de una
función son todos los
valores que toma el
conjunto del dominio y
que encuentra
correspondencia en el
conjunto llamado rango,
generalmente cuando se
habla del plano, el
dominio es el intervalo de
valores que están sobre
el eje x, y que nos
generan una asociación
en el eje y.
El otro conjunto
llamado rango, es
la gama de valores
que toma la
función; en el caso
del plano son todos
los valores que
toma la función o
valores en el eje y.
Las variables
dependientes como su
nombre lo indica, dependen
del valor que toma las otras
variables Por ejemplo: f(x)=
x, y o f(x) es la variable
dependiente ya que esta
sujeta a los valores que se
le subministre a x.
La variable independiente
no depende de ninguna
otra variable, en el ejemplo
anterior la x es la variable
independiente ya que la y
es la que depende de los
valores de x.
Llamamos gráfica de
una función real de
variable real de A en
B al conjunto de
puntos del plano que
referidos a un
sistema de ejes
cartesianos tienen
como coordenadas
(x, y) donde x ∈ A y
y ∈ B.
TIPOS DE FUNCIONES
Polinómica
Racional
Grado impar
Lineal
Afín
Cúbica
Lineal
Idéntica
Logarítmica
Grado par
Cuadrática
Exponencial
Grado cero
Constante
Valor
absoluto
Por partes
Trigonométrica
FUNCIÓN POLINÓMICA
Se llama
función
polinómica a
toda aquella que
está definida por
medio de
polinomios.
Suma de dos funciones f (x) y g
(x): produce una nueva función (f
+ g) (x) que corresponde a un
polinomio obtenido como la suma
de los polinomios representativos
de f (x) y g (x).
En el conjunto de las
funciones polinómicas
pueden definirse los
siguientes tipos de
operaciones:
Producto de una función f (x) por
un número l: produce una nueva
función (l × f) (x) determinada por
el polinomio resultante de
multiplicar todos los coeficientes de
f (x) por l.
Elementos
Dominio=
Conjunto de
Salida= Reales
Conjunto de
llegada=Reales
Producto de dos funciones f (x) y
g (x): resulta una nueva función (f
× g) (x), cuyo polinomio
representativo resulta del
producto de los polinomios que
definen f (x) y g (x).
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es una función
polifónica cuya
expresión
matemática
viene dada por
la ecuación:
y= ax2+bx+c
La parábola es
forma de la
función cuadrática,
tiene un eje de
simetría, se divide
exactamente en
dos, un lado es el
reflejo del otro
lado.
En la
función
cuadrática c
indica el
punto de
corte con y.
Para hallar
el punto de
corte en x
se utiliza la
ecuación:
X=
Donde a, b y
c son
constantes y
a es distinto
de 0.
Puede ser vertical
abierta hacia arriba,
con mínimo relativo;
o puede ser vertical
abierta hacia abajo,
con un máximo
relativo.
Los mínimos o máximos
relativos son los puntos más altos
y más bajos donde llega la
parábola, se usa la ecuación:
El rango
es desde el
máximo o
mínimo
relativo,
hasta
infinito.
Ejemplo: y= 2x2+5x+4
Elementos
•Punto de corte con y =
4
•Conjunto de salida =
Reales
•Conjunto de llegada =
Reales
•Dominio = Reales
−5
•Rango: [ 4 , infinito)
FUNCIÓN CONSTANTE
Es una función lineal cuya
expresión matemática viene dada
por la ecuación: y = a, donde a
pertenece a los números reales.
No depende de ninguna variable.
Ejemplo: y = 2
Elementos
•Punto de corte con y = 2
•Conjunto de salida = Reales
•Conjunto de llegada = Reales
•Dominio = Reales
•Rango = {a}
FUNCIÓN LINEAL
m es una constante que
se denomina pendiente
que indica el grado de
inclinación de la recta y
se halla mediante la
ecuación:
y - x son dos variables
Si m > o: la función es creciente
Si m < 0: la función es
decreciente
Si m = 0: la función es constante
Dominio= Conjunto de
Salida= Reales
Rango= Reales (con
excepción a la función
constante).
Conjunto de llegada =
Reales.
En la ecuación Y= mx + n,
n indica el punto de corte
con y, el desplazamiento
vertical de la función.
FUNCIÓN LINEAL
Es una función lineal cuya expresión
matemática viene dada por la
ecuación: y = mx
Ejemplo: y = 2x
Elementos
•
Punto de corte con x: 0
•
Punto de corte con y: 0
•
Conjunto de salida= Reales
•
Conjunto de llegada= Reales
•
Dominio= Reales
•
Rango= Reales
•
Pendiente = 2
FUNCIÓN IDÉNTICA
Es una función
lineal cuya
expresión
matemática viene
dada por la
ecuación: y = x
La pendiente
es igual a 1 y
no esta
desplazada
verticalmente.
A cada número del eje de
abscisas le corresponde
el mismo número en el
eje de ordenadas, es
decir, que las dos
coordenadas de cada
punto son idénticas .
Ejemplo: y = x
Elementos
•
Punto de corte con x = 0
•
Punto de corte con y = 0
•
Conjunto de salida = Reales
•
Conjunto de llegada = Reales
•
Dominio = Reales
•
Rango =Reales
•
Pendiente = 1
FUNCIÓN AFÍN
Es una función lineal cuya
expresión matemática viene
dada por la ecuación: y = mx +
n, y tiene un desplazamiento
vertical.
Ejemplo: y = 2x+3
Elementos
3
•
Punto de corte con x: 2
•
Punto de corte con y: 3
•
Conjunto de salida: Reales
•
Conjunto de llegada: Reales
•
Dominio: Reales
•
Rango: Reales
•
Pendiente: 2
Cuando m>0, n>0 la gráfica es
Cuando m>0, n<0 la gráfica es
Cuando m<0, n>0 la gráfica es
Cuando m<0, n<0 la gráfica es
Función cúbica
Es una función polifónica
de grado 3, cuya
expresión matemática
viene dada por la
ecuación:
Ejemplo: y = 2 x³ + 4 x² + 3 x + 2
Elementos
• Punto de corte con x = -1.5
• Punto de corte con y = 2
• Conjunto de salida = Reales
• Conjunto de llegada = Reales
• Dominio = Reales
• Rango = Reales
• F(x) > 0 en x ∈ (-1.5, infinito)
• F(x) < 0 en x ∈ (-1.5, -infinito)