Transcript Descarga - matematicamente hablando

FUNCIONES
MATEMATICAS
CON ESTAS AYUDAS DIDACTICAS PODRAS
REFORZAR TUS CONOCIMIENTOS SOBRE FUNCIONES
MATEMATICAS TAMBIEN VER LAS CLASES , SUS
GRAFICAS , EJEMPLOS Y ALGUNOS EJERCICIOS
PARA AFIANZAR TUS CONOCIMIENTOS .
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QUE SON LAS FUNCIONES
TERMINOS BASICOS DE UNA FUNCION
CLASES Y GRAFICAS DE FUNCIONES
EJEMPLOS
DOMINIO Y RANGO
CODOMINIO Y RANGO
EJERCICIOS PARA AFIANZAR TUS
CONOCIMIENTOS
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¿QUE SON LAS FUNCIONES?
En matemática, una función (f) es una
relación entre un conjunto dado X (llamado
dominio) y otro conjunto de elementos Y
(llamado codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un
único elemento f(x) del codominio (los que
forman el recorrido, también llamado rango o
ámbito).
Las funciones matemáticas pueden referirse a
situaciones cotidianas, tales como: el costo de
una llamada telefónica que depende de su
duración, o el costo de enviar una encomienda
que depende de su peso.
TERMINOS BASICOS PARA
DETERMINAR UNA FUNCIÓN
DOMINIO: es el primer conjunto que intervienen en la función ( conjunto A o X)
también se le llama conjunto de partida se denota por DOM(F) .
CODOMINIO: es el segundo conjunto que intervienen en la función (conjunto B o Y )
también se le llama conjunto de llegada se le denota por COD (f) .
RANGO : los elementos de B que están asociados con los elementos de A forman otro
conjunto denominado rango o recorrido de la función . Se denota por Ran(f) .
IMAGEN: si x es un elemento del Dominio, la notación f (x) se utiliza para designar el
elemento en el recorrido que corresponde a X en la función f , y se denomina imagen de
X.
NOTA: TODA FUNCION ES UNA RELACION , PERO NO TODA
RELACION ES UN FUNCION.
NOTA :
Básicamente, hay 4 formas para expresar
una función: mediante una tabla de
valores, mediante una expresión algebraica
o, mediante una gráfica y un diagrama
sagital .
CLASES DE FUNCIONES
Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la
función f en x, tendremos distintos tipos de funciones:
Función constante : Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante,
se conoce como una función constante.
Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los
números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una
recta horizontal.
FUNCION LINEAL
Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde
m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación
gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones
polinómicas.
Ejemplo: f(x) = 2x − 1
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica
es una recta ascendente.
En general, una función lineal es de la forma
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c,
donde a,b,c y son números reales. La grafica de
la función cuadrática es una curva llamada
parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia
arriba y si a es negativa la grafica abre hacia
abajo.
La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo
exponente de la variable.
FUNCIÓN POLINOMICA
Una función Polinómica es de la forma
f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an1,…,a son constantes reales y n es numero
entero no negativo que indica el grado de
p(x), siempre que an≠0.
FUNCIONES ESPECIALES
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO : La función
valor absoluto se define como:
Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los
reales y el rango son los reales mayores o iguales
a cero. La grafica que se obtiene es una curva
en forma de v.
FUNCIÒN RAIZ CUADRADA
Es una función que asigna a un argumento su
raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) =
√x , donde el dominio de la función son los
valores de x que hacen que el radicando sea
positivo y el rango son los reales mayores o
iguales a cero. La grafica que se obtiene es
una curva ascendente que está por encima
del eje x
FUNCiÓN RACIONAL :Es
una
función de la forma f(x) = p(x)/q(x)
, donde p(x) y q(x) son polinomios y
q(x)≠0. La función racional no está
definida para valores de x en el cual
q(x) se hace diferente de cero, este
valor al representarlo gráficamente
es una asíntota. La grafica que se
obtiene son curvas interrumpidas
por la asíntota.
FUNCIÓN INYECTIVA:
Una función f : A--->B es inyectiva si a
elementos distintos del dominio
corresponden imágenes distintas.
FUNCIÓN SOBREYECTIVA:
Una función f : A--->B es sobreyectiva cuando
cada elemento del conjunto de llegada es
imágen de algún elemento del conjunto de
partida
FUNCIÓN CUALQUIERA:
Una función f : A--->B es cualquiera si no
es ni inyectiva ni sobreyectiva ni biyectiva
FUNCIÓN BIYECTIVA:
Una función f : A--->B es biyectiva si
es inyectiva y sobreyectiva
simultáneamente
EJEMPLOS
1 --------> 1
2 --------> 4
En lenguaje cotidiano o más
simple, diremos que las
funciones matemáticas equivalen
al proceso lógico común que se
expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas
pueden referirse a situaciones
cotidianas, tales como: el costo de
una llamada telefónica que
depende de su duración, o el
costo de enviar una encomienda
que depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la
regla que relaciona los números
de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los
cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al
cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x2.
Para referirse a esta regla podemos
usar un nombre, que por lo general es
la letra f (de función). Entonces, f es la
regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:
x --------> x2
o f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3.
Al hacerlo resulta 32 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) =
4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.
EJEMPLO 2
Correspondencia entre las personas que
trabajan en una oficina y su peso expresado en
kilos
cada persona (perteneciente al conjunto X o
dominio) constituye lo que se llama la entrada
o variable independiente. Cada peso
(perteneciente al conjunto Y o codominio)
constituye lo que se llama la salida o variable
dependiente. Notemos que una misma persona
no puede tener dos pesos distintos. Notemos
también que es posible que dos personas
diferentes tengan el mismo peso.
EJEMPLO 3
Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9},
Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
y que la regla de correspondencia es " asignar a cada
elemento de X el resultado de extraer su raíz
cuadrada".
Vamos a determinar si esta regla constituye función de
X en Y.
Veamos:
A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen
imagen en Y
pero a los
números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y.
Como existen elementos de X que no se corresponden
con elementos de Y, esta relación no es función de X en
Y.
EJEMPLO 4
Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto
(variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".
x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3
Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada
uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del
segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en
X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo
elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.
DOMINIO Y RANGO
Hay nombres especiales para lo que puede entrar, y también lo que puede salir de
una función:
Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio
Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
Entonces, en el diagrama el conjunto "X" es el dominio, el conjunto "Y" es el
codominio, y los elementos de Y a los que llegan flechas (los valores producidos
realmente por la función) son el rango.
PARTE DE LA FUNCION
Lo que sale (el rango) depende de lo que pones (el dominio), pero TÚ defines el
dominio.
De hecho el dominio es una parte esencial de la función. Un dominio diferente da
una función diferente.
Ejemplo: una simple función como f(x) = x2 puede tener dominio (lo que entra)
los números de contar {1,2,3,...}, y el rango será entonces el conjunto {1,4,9,...}
Y otra función g(x) = x2 puede tener como dominio los enteros {...,-3,-2,1,0,1,2,3,...}, entonces el rango será el conjunto {0,1,4,9,...}
CODOMINIO Y RANGO
El codominio y el rango tienen que ver con la salida, pero no son exactamente lo
mismo.
El codominio es el conjunto de valores que podrían salir.
El rango es el conjunto de valores que realmente salen.
Ejemplo: puedes definir una función f(x)=2x con dominio y codominio los enteros
(porque tú lo eliges así).
Pero si lo piensas, verás que el rango (los valores que salen de verdad) son sólo los
enteros pares.
Así que el codominio son los enteros (lo has elegido tú) pero el rango son los enteros
pares.
Así que rango es un subconjunto del codominio.
¿Por qué los dos? Bueno, a veces no conoces exactamente el rango (porque la función es
complicada o no es conocida del todo), pero sabes el conjunto en el que está (como los
enteros o los reales). Así que defines el codominio y sigues trabajando.
VAMOS A VER UNOS
EJERCICIOS PARA
AFIANZAR TUS
CONOCIMIENTOS
DIVIERTETE
1) Calcular el dominio de las funciones polinómicas:
a) R: D
b) -∞ , ∞
c) D:R
A) F : D
B) D:R
C) ∞ , R
2) Calcular el dominio de las funciones racionales:
A) x-3=1 D=R -3
B) X+2=1 D =R –{2}
C) X+2 =0 D =R- {-2}
A) x²+1=0 D=R
B) x²-3 +1 = 0 D=R
C) X+2=0 D=R
3 ) este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está
relacionada con la edad por la función a:
a(edad) = edad × 20 Así que si la edad es 10 años
La altura es
A)20
B)10
C) 30
4) Marca falso (f) o si es verdadero (v) las siguientes preguntas
Lo que puede entrar en una función se llama el dominio
(V) O (f)
es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, −1). Su gráfica
es una recta ascendente.
(V) O (F)
Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen
(V) O (F)
5)
A)
Cual de estas graficas es cuadrática ?
B)
C)
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