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II Unidad: Relaciones y Funciones
“Conceptos básicos”
MATEMÁTICA IIº AÑO MEDIO
DOCENTES: Isaías Correa M.
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Definir relación y función, estableciendo las
diferencias entre un concepto y otro.
• Determinar si una relación es función.
• Determinar el Dominio y Recorrido de una Relación
• Determinar el Dominio y Recorrido de una Función.
• Determinar si una función es inyectiva, epiyectiva
o biyectiva.
• Representar información cuantitativa a través de
gráficos y esquemas.
Contenidos
1. Nociones de teoría de conjuntos
a) Definiciones
b) Producto Cartesiano
2. Relaciones
a) Definición
b) Dominio, Codominio y Recorrido
3. Funciones
a) Definición
b) Evaluación de funciones
c) Dominio y recorrido de una función
d) Clasificación: Inyectivas; Epiyectivas; Biyectivas.
1. Nociones de Conjuntos
a) Definiciones
Conjunto: Es una colección de objetos bien definidos,
considerados como una sola unidad.
Pertenencia (Є) : Si un objeto “p” es elemento de un
conjunto C, entonces p pertenece a C y su notación es: p Є C.
Si p no pertenece a C, se denota: p Є C
Conjunto vacío (Ø): Es aquel conjunto que no posee
elementos. También se denota como: { }
Subconjunto (
): Un conjunto A es “subconjunto” de otro
conjunto B si todos los elementos que pertenecen a A, son
también elementos de B.
b)Producto Cartesiano
Dados los conjuntos A y B , su producto cartesiano ( A × B )
está formado por cada uno de los pares ordenados donde el
primer elemento pertenece a A y el segundo a B :
A x B = { (a,b) / a Є A y b Є B }
Ejemplo:
Si A = { a, b, c } y B = { 1, 2 } , entonces:
A x B = { (a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
Gráficamente:
B
2
1
. . .
. . .
a
b
c
A
2.Relaciones
a) Definición:
Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B
(R: A
B), es un subconjunto del producto cartesiano entre A
y B (A x B), determinado por una, o más condiciones.
El conjunto A se denomina “Conjunto de Salida” o “Conjunto de
Partida”; y el conjunto B, “Conjunto de Llegada” de la relación.
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = { (a,b) Є A x B / b es múltiplo de a}
entonces:
A x B = {(2,4); (2,5); (2,6); (3,4); (3,5); (3,6); (7,4); (7,5); (7,6)}
R = {(2,4); (2,6); (3,6)}  A x B
Gráficamente:
B
6
5
4
. . .
. . .
. . .
2
3
7
R
A
Además de estos elementos podemos agregar que:
El par (2,4) pertenece a la relación R, ya que 4 es múltiplo de 2.
Los pares (2,6) y (3,6), también están relacionados, ya que
6 es múltiplo de 2 y de 3.
Notación:
(2,4) Є R
ó
2R4
ó
R (2) = 4
(2,6) Є R
ó
2R6
ó
R (2) = 6
(3,6) Є R
ó
3R6
ó
R (3) = 6
b) Dominio, Recorrido y
Codominio :
Dominio:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de
partida que son pre-imagen de algún elemento del conjunto de
llegada.
Recorrido:
Es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto de
llegada que son imagen de algún elemento del conjunto de
partida.
Codominio:
Es otra manera de denominar al conjunto de llegada de la
relación.
Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = {(2,4); (2,6); (3,6)}  A x B , entonces:
Dom(R): = {2,3}
Rec(R): = {4,6}
Codom(R): = {4,5,6} = B
Entonces, si R = {(2,4); (2,6); (3,6)}

AxB
R
A
B
2
4
3
5
7
6
Conj. de partida.
{2,3,7}
Pre-imágenes {2,3}
Este tipo de
representación de
relaciones se denomina
“diagrama sagital”
(sagita = flecha)
Conj. de llegada (Codominio)
{4,5,6}
Imágenes {4,6}
De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que:
2 es “pre-imagen” de 4 y de 6, y 4 es “imagen” de 2
Relación Inversa
Una relación R tiene inversa y se escribe como Rˉ¹
Por ejemplo: Sí R={ (2,3), (4,5),(5,6)}
Entonces Rˉ¹ ={(3,2),(5,4),(6,5)}
3. Funciones
3.1. Definición
Una “función f” es una relación, tal que todo elemento del
conjunto de partida tiene imagen, y ésta es única.
• Dom f = A
• Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.
Ejemplos:
1. Determine si la siguiente relación R es función:
R
A
B
a
d
b
e
c
f
R (c)= e
R (c)= f
La relación R NO es función, porque c tiene dos imágenes.
2. Determine si la siguiente relación R es función:
R
A
B
3
6
5
7
4
9
R es función, ya que cada elemento del conjunto de partida
tiene imagen y ésta es única.
A
f
B
3
6
5
7
4
9
f (3) = 6
f (5) = 6
f (4) = 7
Además: Dominio(f) = A
Recorrido(f) = {6,7}
3.2. Evaluación de funciones
Ejemplo 1:
Sea f una función, definida en los reales como:
f(x) = 2x + 3.
f
Determinar:
IR
x
f(x)
1
5
3
7
9
17
= 24 + 3
12
27
= 27
…
a) f (1) = 2·1 + 3 = 5
b) f (3) = 2·3 + 3 = 9
c) f (7) = 2·7 + 3 = 17
d) f (12) = 2·12 + 3
…
IR
e) Para f(x) = 2x + 3, determinar
f (4) - 3·f (0)
=
2·4 + 3 – 3(2·0 + 3)
2(-1) + 3
f (-1)
= 8 + 3 – 3(3)
1
=
11 – 9
=
2
3.3. Dominio y Recorrido
Representación gráfica de: f(x) = 2x + 3.
f(x) = 2x + 3 es “función afín”, Dom(f)=IR y Rec(f)=IR
y
x
Por lo tanto, este gráfico
representa una función.
Ejemplo 1:
Sea f(x)=
2
x–1
¿Es siempre posible calcular este cuociente?
Respuesta:
Como la división por 0 no está definida, x – 1 debe ser distinto
de 0, es decir: x ≠ 1.
f
Luego, Dom(f) = IR – {1}
IR
IR
x
f(x)
2
2
3
1
-1
-1
…
1
Ejemplo 2:
Sea
f(x) =
x+2
Dom(f) = [ -2, +∞ [
¿Por qué?
Ejemplo 3:
f(x)= x –x 3
Como la división por 0 no está definida, x – 3 debe ser distinto
de 0, es decir: x ≠ 3.
Luego, Dom(f) = IR – {3}
Para determinar el recorrido de f(x), se debe despejar x.
y= x –x 3
yx – 3y=x
y(x – 3)=x
x(y – 1)=3y
yx – x=3y
3y
x= y – 1
Luego, Rec(f) = IR – {1}
Ejemplo 4:
Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones,
determinando el dominio y recorrido de aquellos que
representen una función.
y=2
Dom(f) = [-2,5 , 5]
Dom(f) = IR
Rec(f) = [-1,8 , 3,2]
Rec(f) = {2}
x=3
Dom(f) = IR
Rec(f) = ]-∞ , 4]
No es función
3.4. Clasificación
Función inyectiva (uno a uno):
Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido, es
imagen de exactamente un único elemento del dominio.
i) En un Diagrama Sagital:
Ejemplo:
1. Determine si la siguiente función es inyectiva:
f
A
B
2
4
Dom(f) = A
3
5
Rec(f) = {5,6}
7
6
f NO es función inyectiva, porque 6 es imagen de 2 y de 3.
ii) En el Plano Cartesiano:
Por lo tanto, NO es Inyectiva
iii) Funciones Reales:
Sí f(x1)=f(x2)
x1=x2
Por ejemplo:
Sí f(x)=4x – 3 una función real, verificar si es inyectiva.
f(x1)=4x1 – 3
f(x2)=4x2 – 3
f(x1)= f(x2)
4x1 – 3=4x2 – 3 /+3
4x1 – 3+3=4x2 – 3+3
4x1=4x2
/:4
4 x1
4

4 x2
4
x1=x2
Por lo tanto, la función es inyectiva
Función Epiyectiva: (Sobre)
Diremos que una función es epiyectiva, cundo el recorrido de ella
es igual al codominio, es decir, cuando no sobran elementos en el
codominio.
i) En el diagrama sagital:
1)
A
f
B
f
2)
A
B
2
4
2
4
3
5
3
5
7
6
7
6
Es función epiyectiva
No es función epiyectiva,
porque sobra el “4”
iv) En el plano Cartesiano:
1)
2) y
x
No es función epiyectiva
Es función epiyectiva
iii) Funciones reales:
Para funciones definidas de f:IR
IR, el procedimiento es similar al utilizado
para encontrar el recorrido de una función real, es decir, debemos despejar “x”.
Ejemplo: Dada la función real definida de f:IR
f(x)=
IR
x
x  3
Para verificar si esta función es o no epiyectiva, debemos
despejar “x” y comprobar si Rec(f)=Codom (f)
y= x –x 3
y(x – 3)=x
yx – 3y=x
yx – x=3y
Codom(f)
x(y – 1)=3y
3y
x=
y–1
Luego, Rec(f) = {yєIR / y≠1}, por lo tanto
Como el Codom(f) ≠ Rec(f), entonces
f(x) no es epiyectiva.
Función biyectiva:
Una función es biyectiva si es inyectiva y epiyectiva a la vez.
Ejemplos:
f
A
B
8
4
Dom(f) = A
5
7
Rec(f) = {4, 7, -4} = B
-3
-4
f es biyectiva, ya que es inyectiva y epiyectiva a la vez.
OBS. Una función Biyectiva posee inversa y se denota por f-1
Función Inversa: f-1
Esta función nos permite saber “qué preimagen le corresponde a una imagen
cualquiera, es decir nos devuelve al principio. El procedimiento para encontrar la
inversa de una función (f-1) es similar al utilizado para encontrar el recorrido, es decir,
debemos despejar “x”.
Sí
f(x)=
x
x  3
y= x –x 3
entonces, para encontrar su inversa debemos
despejar “x”, para eso f(x) lo cambiamos por “y”
x=
y(x – 3)=x
yx – 3y=x
3y
y–1
Enseguida, cambiamos “x” por f-1(x), e
“y” por “x” y nos queda:
yx – x=3y
x(y – 1)=3y
f-1 (x)=
3x
x–1