Operaciones con Funciones 6

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Tema: 12 Operaciones con funciones. Acotación Euler - Matemáticas I

Suma y diferencia de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: • Suma : (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f)  • Diferencia : (f g) (x) = f(x) g(x). Por tanto: Dom(f Dom(g) g) = Dom(f)  Dom(g)

Y

f(x) f(x) + g(x) f(x) = x 1 + x 2 : Dom(f) = R g(x) = 1 x : Dom(g) = R – {0} g(x) x

X

(f + g) (x) = f(x) + g(x) = = x 1 + x 2 + 1 x : Dom(f + g) = R – {0}

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Función opuesta

Si f es una función, se define su función opuesta -f de la siguiente forma: (-f)(x) = - f(x) siendo el dominio de -f el mismo que el de f

Y Y

(x, f(x)) • Dom (f) y = f(x)

X

Dom (-f) • (x, -f(x))

X

y =- f(x)

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Valor absoluto de una función

Si f es una función, se define el valor absoluto de f, |f|, como: |f|(x) = |f(x)|, para todo x que pertenece al dominio de f.

|f|(x)= |f(x)| =  f(x) si f(x)  0 f(x) si f(x) < 0 =    f(x) si f(x) > 0 f(x) si f(x)  0 Conocida la gráfica de y = f(x), ¿cómo construir la gráfica de y = |f(x)|?

Y Y

puntos con imagen negativa

X

Simetrizamos las partes negativas respecto al eje OX

X

y = f(x) y = |f(x)|

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Producto y cociente de dos funciones

Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: • Producto : (f

.

g) (x) = f(x) •Por tanto: Dom(f

.

.

g(x). g) = Dom(f)  Dom(g) Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x) • Cociente • Dom(f / : (f /  0 se define: g) (x) = f(x) / g) = Dom(f)  g(x). Por tanto: Dom(g) {x  R : g(x)  0}

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La función h(x) = (2x - 1) 2

Composición de funciones

es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t 2 g R R f R x x 2x-1 = t t 2 = (2x-1) 2 (2x-1) 2 R g h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1) 2 = (f o g)(x) Dominio de la composición de funciones R R f El dominio de f o g está formado por los x tales que • x está en el dominio de g • g(x) está en el dominio de f

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Funciones inyectivas

Un función f tiene la

propiedad de la recta horizontal

en un dominio D, si para todo valor c del recorrido de la función, la recta y = c corta a la gráfica de f en un solo punto.

Y Y

• • •

X X

f no tiene la propiedad de la recta horizontal f tiene la propiedad de la recta horizontal

Formulación algebraica de la propiedad de la recta horizontal

: una función f es inyectiva en D si para a,b  D tal que f(a) = f(b) se tiene que a = b

Tema: 12 Operaciones con funciones. Acotación

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Euler - Matemáticas I

Función inversa

Si f inyectiva, la función inversa f, escrita f -1 , satisface x = f -1 (y)  y = f(x) Como consecuencia: • El dominio de f es el recorrido de f -1 • El recorrido de f -1 • Si (x, y) está sobre la gráfica de y = f(x), (x, y) está sobre la gráfica de f tanto las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. es el dominio de f -1 . Por

Y Y

• (f(x), x) f -1 (x) f -1 (x) f(x) • (x, f(x))

X

• (f(x), x) • (x, f(x)) f(x)

X

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Funciones acotadas

• Una función y = f(x) está acotada superiormente (inferiormente) en un conjunto D si existe un número M (m) tal que f(x)  M (m  f(x)) para todo x de D. Se dice que M (m) es una cota superior (inferior).

• Una función acotada superior e inferiormente se dice que está acotada

Y

S M' es cota superior de f(x) en D = R M'' es cota superior de f(x) en D = R El supremo S, es la menor de las cotas superiores y = f(x) I

X

El ínfimo I, es la mayor de las cotas inferiores m' es cota inferior de f(x) en D = R m'' es cota inferior de f(x) en D = R y = g(x) • y = f(x) está acotada • y = g(x) no está acotada

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Crecimiento y decrecimiento de una función

Y Y f(y) a [ f(x) x y b ] Función creciente en [a, b] X f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b] f(x) [ a x y f(y) ] b X Función decreciente en [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b]

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Máximo y mínimo de una función

• El máximo de una función f en D es el mayor de los valores que toma f en D.

• El mínimo de una función f en D es el menor de los valores que toma f en D.

Y Máximo, de valor S en el punto s, de f(x) en el conjunto D • S t D X s • T Mínimo, de valor T en el punto t, de f(x) en el conjunto D