Transcript Gráficas de Funciones 1

Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
1
Euler - Matemáticas I
Concepto de función
Una función es una ley que asigna a cada elemento x, de un conjunto un
único elemento, f(x) llamado imagen, de otro o del mismo conjunto
Dominio y recorrido
• El dominio, Dom(f), de una función es el conjunto de valores para los que está
definida la función. Para que la función quede determinada se ha de definir su
dominio.
• El recorrido, Rec(f), de una función es el conjunto de todas las imágenes.
f(x) = x2
R
R
Dominio
•2
• 2,3
•5
f(2) = 4
f(2,3) = 5,29
f(5) = 25
Recorrido
•4
• 5,29
• 25
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
2
Euler - Matemáticas I
Dominio y recorrido
Y
y = f(x) = 4 - x2
2
(1, 3 )
Rec(f) = [0, 2 ]
3
1.5
f(1) = 3
1
0.5
-
2
-
1
1
-
2X
0.5
Dom(f) = [-2, 2]
Variable
Ley de
independiente
asociación
x
f
Dom(f) = [-2, 2] f(x) = 4 - x2
Variable dependiente
f(x)
Rec(f) = f([-2 2]) = [0, 2]
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
3
Euler - Matemáticas I
Gráfica de una función
La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y),
donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma
la función f en el elemento x
• El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera
vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.
• Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede
fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función.
Gráfica de la función y =
x
1 + x2
Ver cómo dibuja el
ordenador una función:
pasa el ratón por
encima
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
4
Euler - Matemáticas I
Gráfica de una función
La gráfica de una función y = f(x) es el conjunto de todos los pares (x, y),
donde x pertenece a dominio de la función e y = f(x) es el valor que toma
la función f en el elemento x
• El ordenador puede dibujar funciones punto a punto. En el ejemplo la primera
vez dibuja con puntos separados. La segunda vez con puntos muy cercanos.
• Si los puntos no están adecuadamente elegidos incluso el ordenador puede
fracasar, y no ser capaz de darnos el aspecto de la función.
Gráfica de la función y =
x
1 + x2
Ver cómo dibuja el
ordenador una función:
pasa el ratón por
encima
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
5
Euler - Matemáticas I
Gráficas de algunas funciones (II)
Y
Y
X
X
Función f(x)=x2
• Es una parábola
• Dom (f) = R
• Rec(f) = [0, +)
Función f(x)=x 3
• Es una cúbica
• Dom (f) = R
• Rec(f) = R
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
6
Euler - Matemáticas I
Gráficas de algunas funciones (III)
Y
Y
X
X
Función f(x)=1/x
• Es una hipérbola
• Dom (f) = R - {0}
• Rec(f) = R - {0}
Función f(x) = raíz de x
• Dom (f) = [0, +)
• Rec(f) = [0, +)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
7
Euler - Matemáticas I
Gráficas de algunas funciones (IV)
Y
X
Función f(x) = raíz cúbica de x
• Dom (f) = R
• Rec(f) = R
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
8
Euler - Matemáticas I
Funciones definidas a trozos
f (x) =
x

x
+ 1 si x  0
- 1 si x > 0
• Dom (f) = R
• Rec (f) = R
Y
x + 1 si x  0
x - 1 si x >0
1
-1
1
-1
X
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
9
Euler - Matemáticas I
Función y = |x|
|x|=
-x si x  0

x si x > 0
• Dom (f) = R
• Rec (f) = [0, +)
- x si x  0
x si x >0
Y
X
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
10
Euler - Matemáticas I
Función y = [ x ]
.......
-3 si -3  x<-2
-2 si -2  x<-1

f(x) = [ x ] = -1 si -1  x<0
0 si 0  x<1

1 si 1  x<2
.......
-2
• Dom (f) = R
• Rec (f) = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, ....}
Y
-1
1
2
3
X
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
11
Euler - Matemáticas I
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la
variable dependiente
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces la función y =f(x)+a pasa por
el punto (xo, yo+a). La gráfica de y = f(x)+a se obtiene trasladando a unidades hacia la
arriba (abajo) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Y
Y
X
Gráfica de
y = f(x)
Trasladamos la
gráfica de y = f(x), 2
unidades hacia arriba
X
Gráfica de
y = f(x)+2
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
12
Euler - Matemáticas I
Funciones obtenidas a partir de otras: traslaciones en la
variable independiente
Si la función y =f(x) pasa por el punto (xo, yo) entonces la función y =f(x+a) pasa por
el punto (xo - a, yo). La gráfica de y = f(x+a) se obtiene trasladando a unidades hacia
la izquierda (derecha) la gráfica de y = f(x) para a > 0 (a < 0)
Y
Y
X
Gráfica de
y = f(x)
Trasladamos la gráfica
de y = f(x) 2 unidades
a la izquierda
X
Gráfica de
y = f(x+2)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
13
Euler - Matemáticas I
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la
variable dependiente
Si y = f(x) pasa por (xo,yo) entonces y = af(x) pasa por (xo, ayo). Por ello para a>1 esta
transformación dilata verticalmente la gráfica, y para 0 < a < 1 la contrae verticalmente
Y
Y
X
Gráfica de
y = f(x)
Se dilata la gráfica
verticalmente al
doble
X
Gráfica de
y = 2f(x)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
14
Euler - Matemáticas I
Gráficas de f(x) y de - f(x) (I)
Conocida la gráfica de y = f(x), la gráfica de g(x) = - f(x) es simétrica respecto al eje
de abcisas, ya que los puntos (x, f(x)), y (x, g(x)) = (x, -f(x)) son simétricos respecto
a este eje
Y
Y
X
X
Se simetriza la gráfica
respecto al eje OX
Gráfica de
y = f(x)
Gráfica de
y = - f(x)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
15
Euler - Matemáticas I
Funciones obtenidas a partir de otras: dilataciones en la
variable independiente
Si la función y = f(x) pasa por el punto (xo,yo) entonces y = f(ax) pasa por el punto
(xo/a, yo). Si a > 1 la gráfica se contrae horizontalmente. Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata
horizontalmente
Y
Y
X
Gráfica de
y = f(x)
Se contrae la gráfica
horizontalmente a la
mitad
X
Gráfica de
y = f(2x)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
16
Euler - Matemáticas I
Gráficas de f(x) y de f(-x) (II)
Las gráficas de f(x) y de g(x) = f(-x) son simétricas respecto al eje de ordenadas ya
que los puntos (x, f(x)) y (-x, g(-x)) = (-x, f(x)) son simétricos respecto a este eje
Y
Y
X
Gráfica de
y = f(x)
X
Se simetriza la gráfica
respecto al eje OY
Gráfica de
y = f(-x)
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
17
Euler - Matemáticas I
Funciones pares
f(x) = x4 - 2x2 presenta simetría respecto a la recta x = 0 (Eje Y) ya que
f(-x) = f(x) x  D. Se dice que es una función par
Y
• P(x, f(x))
P(-x, f(-x)) •
-x
x=0
x
X
Tema:
11
Funciones. Gráficas de funciones
18
Euler - Matemáticas I
Funciones impares
f(x) = x3/(x2-1) presenta simetría respecto al origen de coordenadas ya
que f(-x) = - f(x) x  D. Se dice que es una función impar
Y
• P(x, f(x))
f(x)
-x
x
f(-x)
P(-x, f(-x)) •
X