Transcript Presentacion 5 Columnas y pandeo

COLUMNA
Una columna es una barra recta y larga que se somete a
cargas axiales de compresión.
Debido a su forma las columnas tienden a deformarse
lateralmente bajo la acción de una carga, y si la deflexión se
hace mas grande fallan catastróficamente.
Abaleo se define como una deformación grande y repentina
de una estructura provocada por un ligero incremento de la
carga existente, bajo la cual la estructura había presentado
muy poca o ninguna deformación, antes del incremento de
la carga.
Regímenes de equilibrio
Columnas cargadas concéntricamente
Material elástico lineal
En la Eq 1 se describe el momento como
Eq 1
𝑀=
𝑑2 𝑦
−𝐸𝐼 2
𝑑𝑥
Para el equilibrio de la sección de la barra se requiere que
𝑀 = 𝑃𝑦. Sustituyendo esto en la Eq 1 se obtiene
Eq2
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
+
𝑃
𝑦
𝐸𝐼
=0
Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden con coeficientes constantes. La solución
general de esta ecuación es:
Eq 3
𝑦 = 𝐶1 sen
𝑥
𝑃
𝐸𝐼
+ 𝐶2 cos
𝑥
𝑃
𝐸𝐼
Donde
𝐶1 𝑦 𝐶2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛
las condiciones de frontera son:
𝑦 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 0 → 𝐶2 = 0
𝑦 = 0 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑙 → 𝐶1 sen 𝑙
𝑃
𝐸𝐼
= 0 Eq 4
Sin embargo, 𝐶1 no puede ser igual a cero; de otra forma, existe una solución trivial de 𝑦 = 0
y la columna siempre permanecerá recta, lo cual es contrario a la experiencia que se tiene en
la practica. La otra posibilidad de satisfacer la Eq 4, para que se cumpla:
Eq 5
sen 𝑙
𝑃
𝐸𝐼
=0
Que se satisface cuando
𝑃
Eq 6
𝑙
Eq 7
𝑃=
𝐸𝐼
= 𝑛𝜋
𝑛2 𝜋2 𝐸𝐼
𝑙2
Donde
𝑛 = 1,2, …
El valor mas pequeño de 𝑃 se obtiene para 𝑛 = 1. de esta forma, la carga critica para una columna con
extremos articulados es
Eq 8
𝑃𝑐𝑟 =
𝜋2 𝐸𝐼
𝑙2
𝑃𝑐𝑟 Se denomina carga de Euler
Las columnas se diseñan de manera que la mayoría de su área de sección transversal se localice tal lejos
como sea posible de los ejes centroidales principales de la sesión
Sustituyendo la Eq 6 y 𝐶2 = 0 en la ecuación de
deflexión (Eq 3) se obtiene la forma del alabeo como
Eq 9
𝑦 = 𝐶1 sen
𝜋𝑥
𝑙
Cuando 𝑥 = 𝑙 2 , 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥 y 𝐶1 = 𝑦𝑚á𝑥
Eq 10
∴ 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥 sen
𝜋𝑥
𝑙
𝐼
𝐴
𝑟𝑔 =
El radio de giro 𝑟𝑔 se proporciono en la ecuación Re 1.
Sustituyéndolo en la Eq 8 se obtiene el esfuerzo critico
para la ecuación de Euler como:
Eq 11
𝜎𝑐𝑟
𝐸
=
𝑃𝑐𝑟
𝐴
=
𝜋2 𝐸
𝑙 𝑟𝑔
2
Alabeo inelástico
Con frecuencia la Eq 11 se modifica como:
Eq 12
𝜎𝑐𝑟 =
𝜋2 𝐸𝑡
𝑙 𝑟𝑔
2
Donde 𝐸𝑡 es el modulo tangente (es decir, el modulo elástico en el nivel
de esfuerzo en la columna).
La anterior ecuación se denomina el modulo tangente u ecuación de
Essenger.
Condiciones de los extremos
La carga y el esfuerzo critico que se proporcionaron en las Eq 8 y 11,
respectivamente, se modifican simplemente reemplazando 𝑙 con la
longitud efectiva 𝑙𝑒 de la condición del extremo correspondiente.
Sustituyendo 𝑙𝑒 por 𝑙 en las Eq 8 y 11 se obtiene:
𝑃𝑐𝑟
Eq 13
Eq 14
𝑃𝑐𝑟
𝐸
=
𝐸
𝑃𝑐𝑟 𝐸
𝐴
=
=
𝜋2 𝐸𝐼
𝑙𝑒2
𝜋2 𝐸
𝑙𝑒 𝑟𝑔
2
Estas ecuaciones de la carga y el esfuerzo críticos de los criterios de
Euler son validas para cualquier condición de los extremos.
En la anterior tabla se presentan las recomendaciones mínimas del
American Institute of Steel Construction (AISC)
Criterio de alabeo de Euler
El criterio del American Instituted of Steel Construction
(1989) supone que existe el limite proporcional de un
material a la mitad de la resistencia a la frecuencia, o que el
esfuerzo permisible para el alabeo elástico es:
Eq 15
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 0,5 𝑆𝑦
Sustituyendo la Eq 15 en la 14, se obtiene la razón de esbeltez
𝐶𝑐 por medio de la formula de Euler como:
Eq 16
𝐶𝑐 =
𝑙𝑒
𝑟𝑔
=
𝐸
2𝐸𝜋2
𝑆𝑦
Criterio de alabeo de Johnson
Dado el cambia abrupto en la curva de Euler cuando se aproxima a la resistencia la fluencia se requiere
una modificación empírica propuesta por Johnson quien consigue esta modificación mediante una
ecuación parabólica.
Ecuación de Johnson
Eq 17
𝜎𝑐𝑟
=
𝑗
𝑃𝑐𝑟 𝑗
𝐴
= 𝑆𝑦 −
𝑆𝑦2
Eq 18
𝑟𝑔
4
−
𝑙𝑒
𝑟𝑔
𝑙𝑒
𝑆𝑦
𝑟𝑔
𝑇
Despejando 𝑙𝑒 𝑟𝑔
Eq 19
4𝜋2 𝐸
𝑇
=
𝑇
2
+
𝑇
2
4𝜋2 𝐸 𝑟𝑔
Para determinar el valor de 𝑙𝑒 𝑟𝑔
𝑙𝑒
𝑙𝑒
𝑇
, se igualan las ecuaciones de Euler y Johnson (Eq 14 y 17):
4𝜋4 𝐸 2
𝑆𝑦2
=0
se obtiene
2𝜋2 𝐸
𝑆𝑦
=
𝜋2 𝐸𝐴
𝑃𝑐𝑟
Si 𝑙𝑒 𝑟𝑔 ≤ 𝑙𝑒 𝑟𝑔 , se deberá usar la ecuación de Johnson del esfuerzo; si 𝑙𝑒 𝑟𝑔 ≥ 𝑙𝑒 𝑟𝑔
𝑇
usar la ecuación de Euler
𝑇
, se deberá
Relación entre la ecuación de Euler
y la Johnson
Áreas de secciones transversales
sometidas a pandeo
Criterio del AISC
En las ecuaciones de las AISC se hacen correcciones por reducciones en el modulo elástico cuando el esfuerzo en la
columna excede el limite de proporcionalidad.
El esfuerzo normal permisible para el alabeo elástico esta dado por:
Eq 20
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 =
12𝜋2 𝐸
23 𝑙𝑒 𝑟𝑔
2
Para alabeo inelástico
1−
Eq 21
𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 =
𝑙𝑒 𝑟𝑔
2𝐶2
𝑐
2
𝑆𝑦
𝑛𝜎
Donde
𝐶𝑐 = razón de esbeltez para el alabeo de Euler definido por la Eq 16
𝑛𝜎 = reducción en el esfuerzo permisible dada por
Eq 22
5
3
𝑛𝜎 = +
3 𝑙𝑒 𝑟𝑔
8𝐶𝑐
−
𝑙𝑒 𝑟𝑔
3
8𝐶𝑐3
La American Association of State Highway and Transportation Officials (AASHTO) usan 𝑛𝜎 = 2.12 tanto para alabeo
elástico como inelástico
Columnas cargadas
excéntricamente
El momento interno de una columna es:
𝑀 = 𝑃(𝑒 + 𝑦)
Eq 23
Ecuación diferencial para la curva de deflexión:
𝑑2 𝑦
Eq 24
𝑑𝑥 2
+
𝑃𝑦
𝐸𝐼
=−
𝑃𝑒
𝐸𝐼
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Si la excentricidad es cero, las Eq 24 y 1 son idénticas. La solución general para la Eq 24 es:
Eq 25
𝑦 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Las condiciones de frontera son
1.
2.
𝑥 = 0, 𝑦 = 0 → 𝐶2 = 𝑒
𝑥 = 𝑙 2, 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 0
𝑃
𝐸𝐼
+ 𝐶2 cos 𝑥
𝑃
𝐸𝐼
−𝑒
Al derivar la Eq 25 se obtiene
Eq 26
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐶1
𝑃
cos
𝐸𝐼
𝑥
𝑃
𝐸𝐼
−𝑒
𝑃
𝑠𝑒𝑛
𝐸𝐼
𝑥
𝑃
𝐸𝐼
Con la Eq 26 y la condición de frontera 2 resulta:
𝐶1 = 𝑒 tan
Eq 27
𝑙
2
𝑃
𝐸𝐼
Sustituyendo 𝐶2 = 𝑒 y la Eq 27 en la 25 se obtiene:
𝑦 = 𝑒 tan
𝑙 𝑃
𝑃
𝑃
𝑠𝑒𝑛 𝑥
+ cos 𝑥
−1
2 𝐸𝐼
𝐸𝐼
𝐸𝐼
La deflexión máxima ocurre en 𝑥 = 𝑙 2
Eq 28
Eq 29
∴ 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒
𝑠𝑒𝑛2
cos
𝑙 𝑃
2 𝐸𝐼
𝑙 𝑃
2 𝐸𝐼
+ cos
𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 sec
𝑙
2
𝑙
2
𝑃
𝐸𝐼
𝑃
𝐸𝐼
−1
−1
El esfuerzo máximo en la columna es causado por la carga axial y por el momento. El
momento máximo ocurre a media altura de la columna y tiene una magnitud de:
𝑀𝑚á𝑥 = 𝑃 𝑒 + 𝑦𝑚á𝑥
Eq 30
𝑀𝑚á𝑥 = 𝑃𝑒 sec
𝑙
2
𝑃
𝐸𝐼
El esfuerzo máximo y de deflexión es:
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑃 𝑀𝑚á𝑥 𝑐
+
𝐴
𝐼
Utilizando la Eq 30 se obtiene
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑃 𝑃𝑒𝑐
𝑙 𝑃
+
sec
𝐴
𝐼
2 𝐸𝐼
Como el radio de giro es 𝑟𝑔2 = 𝐼 𝐴, la ecuación anterior se transforma en:
Eq 31
𝑃
𝑒𝑐
𝜎𝑚á𝑥 = 𝐴 1 + 𝑟 2 sec
𝑔
𝑙
2𝑟𝑔
𝑃
𝐸𝐴
𝑃 = carga critica donde el alabeo ocurrirá en la columna con carga excéntrica, N.
𝐴 = área de la sección transversal de la columna, 𝑚2 .
𝑒 = excentricidad de la carga, medida desde el eje neutro del área de la sección transversal de la columna
hasta la línea de acción de la carga, m.
𝑐 = distancia desde el eje neutro a la fibra externa de la columna, m.
𝑟𝑔 = radio de giro, m.
𝑙 = longitud antes de la aplicación de la carga, m.
𝐸 = modulo de la elasticidad del material de la columna, Pa.
Para las condiciones de los extremos no articulados, la longitud se reemplaza con la longitud efectiva y las
Eq 29 y 31 se transforma en:
Eq 32
𝑦𝑚á𝑥 = 𝑒 sec
Eq 33
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑃
𝐴
1+
𝑙𝑒
𝑃
2
𝐸𝐼
𝑒𝑐
𝑟𝑔2
sec
−1
𝑙𝑒
𝑃
2𝑟𝑔
𝐸𝐴
El parámetro 𝑒𝑐 𝑟𝑔2 se denomina la razón de excentricidad. La Eq 32 se conoce como ecuación de la
secante. Observe en la Eq 33 que no es conveniente calcular la carga explícitamente.
Si 𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝑆𝑦 2, la Eq 33 se transforma en
Eq 34
𝑃=
𝑆𝑦 𝐴 2
𝑒𝑐
1+ 2
𝑟𝑔
sec
𝑙𝑒
𝑃
2𝑟𝑔 𝐸𝐴
= 𝑓(𝑃)
Un dato inicial para 𝑃 es el valor que se obtiene de la condición de carga
concéntrica:
Eq 35
𝑃 = 𝑃𝑐𝑟
Usando la Eq 35 en la 34 se obtiene un nuevo valor de 𝑃. Este proceso se continua
hasta:
Eq 36
𝑃−𝑓(𝑃)
𝑓(𝑃)
≤ 1 × 10−4