Transcript PRODUCTOS ESPECIALES Y

1
© copywriter
2
Objetivos:
1.
2.
3.
4.
5.
Sumar y restar polinomios
Multiplicar un monomio por un monomio.
Multiplicar un monomio por un polinomio.
Multiplicar un polinomio por un polinomio.
Multiplicar polinomios usando los
productos especiales: la diferencia de
cuadrados y la expansión de binomios.
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3
Definición
Dos términos son semejantes si tienen las
mismas variables con los mismos exponentes.
Ejemplos:
2 5
1) 3x y
2) ab
 4x y
2 5
y
y
2ba
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4
La suma y la resta de polinomios
Definición
Para sumar polinomios, se suman los
coeficientes de los términos semejantes
de los dos polinomios.
Aclaración:
Lo que nos permite definir la suma de
términos semejantes es la propiedad
distributiva de los números reales.
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5
Efectúe la operación indicada.
1)

 

 x    4 x  5 x    5  2 
3x3  5 x 2  4 x  5  x 2  5 x  2 

 3x  5 x
3
2
2
 3x  4 x  x  3
3
2)
x
4

2
 
 x  3x  7  8 x  3x  3x  6
2
 
4
2


 x  8 x   x  3x   3x  3x    7  6 
4
4
2
2
 9 x  4 x  6 x  13
4
2
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6
La resta de polinomios
Definición
La resta de dos polinómios se define como
la suma del opuesto del pololinomio
sustraendo.
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7
Efectúe la operación indicada.
1)

 
 4 x  5    x
3x3  5 x 2  4 x  5  x 2  5 x  2

 3x3  5 x 2
2

 5x  2

 3x  6 x  9 x  7
3
2)
2
 x  x  3x  7   8 x  3x  3x  6 
  x  x  3x  7    8 x  3x  3x  6 
  x  8 x     x  3x    3x  3x    7  6 
4
2
4
4
4
2
4
2
4
2
 7 x4  2 x2  1
2
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2
3)
2x  5  3x  7  52x  3 
  2x  3x  10x   5  7  15
 11x  27
4) 2 x  6 x  4 x  7 5 
 2 x  6 x  4 x  7 5
 2 x  2 x  7 5
 2x  2x  7  5
 2
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8
9
La multiplicación de polinomios
Aclaración:
Para multiplicar polinomios, se necesita
conocer las reglas de los exponentes
enteros y la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la suma.
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10
La multiplicación de monomios
La multiplicación de dos monomios se lleva a
cabo usando las leyes de exponentes y las
propiedades de los números reales.
1)
 4x  5x  
2)
5 y x   2 y x    25 y x   8 y
3
2 3
5
2
20x
4 2
3
8
4 6
12 6
 200y x
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16 12
x

La multiplicación de un monomio por un
polinomio
11
La multiplicación de un monomio por un
polinomio se lleva a cabo multiplicando el
monomio por cada término del polinomio
mediante la propiedad distributiva de los
números reales.


1) 3 x 6 x  5 x  7 
2
2)
4
 4w z  7w
3
10

18x 15x21x
6
3
 2 z  28w z 8w z
5
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13
2
3 6
La multiplicación de un polinomio por
otro polinomio
12
La multiplicación de un polinomio por otro
polinomio se lleva a cabo multiplicando el cada
término del primer polinomio por cada término
del segundo polinomio mediante la propiedad
distributiva de los números reales.
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1)
2
6x 4x 3
8x
2
x

1
4
x

3




 8x
2)

4 x 2  6 y  2

2
13
10x 3

x 2  xy  y 2 
4
3
2 2
2
2
3
2
2

4x

4x
y

4x
y
6x y 6xy 6y 2 x  2 xy  2 y

3)



2 x 2  y  4  x 2  xy  2 y 2 
4
3
2 2
2
2
2
2
3

2
x

2
x
y

4
x
y
x© copywriter
y xy 2y 4x  4xy  8 y

2
3x 8 x 2
12x
3
x

2
4
x

1




4)
14
 12 x 11x 2
2
5)



 x 2  2 y  4 3 x 2  2 xy  y 2 
 3x 42 x3 y x2 y 2 6x 2 y 4 xy 2 2 y 312x2  8xy  4 y 2
6)

2 x2  3 y  4


x 2  2 xy  2 y 2 
2
2
2
3
 2x4 4 x3 y 4x2 y2 3x© 2copywriter
y 6 xy 6y 4x  8xy  8 y
15
Productos especiales
1. Diferencia de Cuadrados
a  ba  b 
a  ab  ba  b
2
 a b
2
2
Ejemplos:
1)
3x  53x  5  9 x  25
2)
7 x  47 x  4 
2
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49x  16
2
2
16
3)
4)
2x  3 y 2x  3 y  
3a
3


4x  9 y
2
2
 4b 3a  4b  9a  16b
2
3
2
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6
4
2. La expansión de un binomio al
cuadrado
a  b
  a  b  a  b 
2
2
 a  2ab  b
a  b
  a  b  a  b 
2
2
 a  2ab
2
b
Ejemplos:
1)
x  5
2
 x  10 x  25
2
© copywriter
2
17
18
2)
8x  3
3)
5  8 y 
4)
4x
 64x
2
2
3

2
2
 48 x  9
 25  80y
 3  16x
6
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
 64y
24x
3
2
9
19
3. La expansión de un binomio al cubo
3
3
a
b
3ab

a  b  a 
b
3
3
2
2
3


a  b  a 3a b  3ab b
3
3
2
© copywriter
2
20
Ejemplos:
1)
2x  5
3
 8x  32x 5 32 x 5  125
2
3
2

8x  34 x 5  32x25  125

8x  60x  150 x  125
2
3
3
2
© copywriter
21
2)
3x  4
 27x  108x  144 x 64
3)
x  y 
x  3x y  3xy  y
3
2 3
2
3

3
2
© copywriter
2
4
6
22
División de Polinómios
Aclaración:
Para dividir polinomios éstos deben estar
expresados en forma decendente. Esto es;
las potencias deben aparecer en orden de
mayor a menor.
De faltar alguna potencia se añadirá con
coeficiente cero.
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Teorema: Algoritmo de División
Si dividimos un polinomio P( x) por otro
23
polinomio D( x) llamado el divisor, entonces
existen polinomios Q( x) llamado el cociente y
R ( x) llamado el residuo ,con el grado de R ( x )
menor que el grado de D ( x), tal que
P ( x)  D ( x).Q ( x)  R ( x)
Ejemplo:
7  2(3)  1
P(x)
D(x) Q(x)
3
2 7
6
R(x)
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1
Procedimiento para le división de
polinomios
24
1. Colocar el dividendo dentro del símbolo ( la
casita ) de división en forma descendente de
acuerdo con los exponentes.
2. Si alguna potencia no aparece añádala con
coeficiente cero.
3. Divide el primer término del dividendo entre el
primer término del divisor para obtener el
primer término cociente.
4. Multiplica el término del cociente por cada
uno de los términos del divisor.
5. Resta el dividendo menos el polinomio
obtenido al multiplicar el paso anterior.
6. Repite los pasos 3,4 y 5 hasta que el grado del
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residuo sea menor ©que
el grado del divisor.
Ejemplo 1
Usa la división larga para dividir los polinomios.
5x
3

 6x  8  x  2 
Primero expresamos los polinomios
en forma decendente.
5x
3

 0x  6x  8  x  2 
2
ojo
x2
5x  0 x  6 x  8
3
© copywriter
2
25
5x  10 x  26
x  2 5x3  0 x 2  6 x  8
3
2
5x  10x
2
10x  6 x
2


 10x  20 x
26 x  8
26 x  52
 44 residuo
2
© copywriter
26
27
Resultado:
 44
5x  6 x  8
2
 5 x  10x  26 
x2
x2
3
44
 5 x  10 x  26 
x2
2
Usando el algoritmo de división tenemos,
5 x  6 x  8   x  2   5 x  10 x  26   44
3
2
© copywriter
2.  5 x  17 x  12    x  4  
2
5x  3
5x  3
x  4 5 x  17x  12
2
5x  20 x
2
3 x  12
3 x  12
0 residuo
© copywriter
28
x  3x  7
3
3.
 x  1
2
29

x  3x  7
 2
x  2x  1
3
x  0 x  3x  7

2
x  2x 1
3
2
© copywriter
x 2
30
x  2 x  1 x  0 x  3x  7
2
3
x  2x  x
2
2x  2 x  7
2
2x  4 x  2
6 x  5 residuo
2
3
2
© copywriter
31
Resultado:
x  3x  7
3
 x  1
2
6x  5
 x2  2
x  2x 1
Usando el algoritmo de división tenemos,
x  3x  7   x  1  x  2   6 x  5
3
2
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