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ANGULOS
y sus aplicaciones
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1
ANGULO.Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
C
O
A
D
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B
2
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
Mayor que 0, pero menor
de 180 grados.
A
a.1) ÁNGULO AGUDO
B
Mayor que 0, pero
menor de 90 grados.
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3
a.2) ÁNGULO RECTO
Angulo de 90 grados
A
a.3) ÁNGULO OBTUSO
B
Mayor de 90 grados. Pero
meno de 180 grados.
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4
PARE
Solución:
I. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo:
C
1)
m BOC
2)
m FOG
= 50
3)
m GOH
= 10
4)
m COF
= 30
5)
m GOB
= 150
6)
m HOA
= 180
7)
m GOC
= 80
8)
m GOF
F
G
B
120
140
20
H
O
A
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= 70
= 50
5
PARE
II. Resuelve. Halla la medida de cada ángulo.
1)
C
2)
F
3)
50
O
A
4)
B
5)
E
6)
D
7)
8)
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Solución:
m
m
m
m
FOB = 50
DOC = 180
AOC = 90
AOC  m BOC
m AOE = 50
m COF = 40
m AOF
= 130
m FOD = 140
6
Práctica adícional: (Relación de ángulos):
`125
z
y
x
Solución:
X = 125 Opuestos por el vértice.
Y = 55
Par lineal con 125 o con x.
Z = 55 Opuesto por el vértice o par lineal.
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7
Tema:
Relación Entre Angulos
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8
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
A  B = 90º
A
B
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
C + D = 180º
C
D
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9
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES
A
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
A B
B
C
Puede formar más ángulos
Un lado común
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
A
B
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Son congruentes
10
Transportador: instrumento que se utiliza para medir ángulos.
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11
Ejemplo número 1: Halla el valor de X y la medida
del ángulo
16x  20
13x  7 
16x  20  13x  7
Son congruentes
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Ejemplo número 2: Halla el valor de X y la
medida del ángulo:
1
2
Son suplementarios
Si la medida del <1 = 2x – 40, y la m<2 es 40 entonces <1 es?
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13
I.
CF es la bisectriz del
y CD es la bisectriz
del ECB. Calcula la medida de cada ángulo.
ECA
1) m 4  2 x  3, m ECA  90
E
F
2) m 3  5 x  10, m ACD  135
D
4
5
A
G
3 2
C
1
B
3)
m FCD  90  x, m ACD  160
4)
m FCB  140, m 4  10 x  10
5) m 4  9  9 x, m 3  9 x  2, m 2  5x  2.
Halla la m DCA, si m DCA  120  x.
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14
II. En cada una de las siguientes situaciones halla el valor
de la variable y la medida de cada ángulo.
1)
3)
5x
(4x + 3)
x + 16
(x – 8)
Complementarios
Opuestos por el vértice
4)
64
26
2)
(7x + 10)
3x
4x
Suplementarios
Opuestos por el vértice
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15
III. En cada una de las siguientes situaciones halla la
medida de cada ángulo.
A
2)
1)
(6x – 3)
(7x – 11)
(5x + 10)
(7x + 20)
D
(5y + 5)
C
(3x + 18)
B
Para hallar X; suplementarios
Para hallar X
complementarios
Para hallar Y
Opuesto por el
vértice
Para hallar la segunda X; sustituir
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Práctica Adicional:
IV. En cada una de las siguientes situaciones halla la medida de
cada ángulo.
1)
2)
X
85
3)
3X
X
Complementarios
4)
k+5
y x
2X
Suplementarios
Opuestos por el vértice
6)
5)
145
100 z
135
2x – 5
4x – 10
X
Suplementarios
Opuestos por el vértice
Complementarios
O
Suplementarios
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17
Tema:
Rectas Paralelas & Transversales
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18
Introducción
Cuando dos planos no se intersecan, reciben el
nombre planos paralelos. De la misma manera
son paralelas las rectas en un mismo plano que
no se intersecan. Pero cuando estas no estan en el
mismo plano y no se intersecan reciben el nombre
de rectas alabeadas o rectas oblicuas. Una recta
que interseca dos o más rectas en un mismo plano
y en puntos distintos recibe el nombre de
transversal.
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19
Rectas Paralelas
Son dos rectas o segmentos que no se
intersecan. Estos van en la misma dirección.
Ejemplo: dos rectas paralelas
Ejemplo: planos paralelos
m
A
B
D
C
n
E
G
F
H
Utilizar plasticina y los segmentos dados para construir cada figura.
Se recomienda que cada segmento tenga la misma medida. Esto
para construir un cuadrado.
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20
Rectas Oblicuas
Ejemplo:
A
B
D
C
E
G
F
H
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21
DOS RECTAS PARALELAS
CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL
1
4
5
Construir con segmentos
8
01. Ángulos alternos internos:
m 3 = m 5; m 4 = m 6
02. Ángulos alternos externos:
m 1 = m 7; m 2 = m 8
2
3
6
7
04. Ángulos NO definidos:
m 1+m 8=180
m 2+m 7=180
m 2+m 5=180
m 3+m 8=180
m 2+m 5=180
m 2+m 7=180
m 1+m 6=180
m 4+m 7=180
03. Ángulos internos consecutivos:
m 3+m 6=180
05. Ángulos correspondientes:
m 4+m 5=180°
m 1 = m 5; m 4 = m 8
© copywriter m 2 = m 6; m 3 = m 22
7
Ejemplo 1: Identifica los planos y rectas paralelas
Construir la figura utilizando plasticina
M
O
N
R
Q
P
Contesta las siguientes preguntas:
1) Identifica dos pares de segmentos paralelos.
2) Identifica dos transversales de las rectas NO y PQ.
3) Identifica un segmento paralelo al plano MRQO.
4) Identifica un par de planos paralelos.
5) Menciona todos los planos paralelos posibles.
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23
A
Ejercicios
de práctica:
B
E
F
C
D
Contesta las siguientes preguntas:
G
J
H
I
1) Identifica TODOS los segmentos paralelos posibles.
2) Qué segmento es paralelo con BG.
3) Que segmento es paralelo con GH.
4) Identifica un plano paralelo con el plano FGHJI.
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24
Ejemplo 2:
Rectas Paralelas y Transversales
Relación de ángulos:
1) <1 y <2
1 2
Suplementarios
3 4
5 6
7 8
2) <2 y < 3
Opuestos por el vértice
9
3) <9 y <13
10
13 14
11 12
15 16
7) <9 y <16
Alternos Externos
8) <12 y <15
Internos consecutivos
Correspondientes
4) <2 y <6
Correspondientes
5) <2 y <5
Internos consecutivos
6) <1 y <8
© copywriter Angulos Alternos Externos
25
Angulos y Rectas Paralelas
• Si dos rectas paralelas son cortadas por una
transversal entonces los siguientes pares de
ángulos son congruentes.
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26
RELACION
SEGUN SU MEDIDA
(Congruencia)
• Angulos que tienen la misma medida:
–
–
–
–
Angulos alternos internos
Angulos alternos externos
Angulos correspondientes
Angulos opuestos por el vértice
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27
RELACION
SEGUN SU MEDIDA
(Suplementarios)
• Angulos que la suma de sus medidas es
180:
– Par lineal
– Internos consecutivos
– Angulos NO Definidos
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Ejercicio de práctica: En la figura, N es paralelo con O. Halla la
medida de cada ángulo:
t
1
2
3
4
4) Si la m<4 = 20, halla la m<7.
n
8
7
6
No Definidos
5) Si la m<3 = 140, halla la m<8.
o
5
No Definidos
6) Si la m<4 = 30, halla la m<1.
No Definidos
Resuelve:
7) Si la m<4 = 40, halla la m<2.
1) Si la m<7 = 100, halla la m<3.
Correspondientes
Alternos Internos
8) Si la m<7 = 125, halla la m<4.
2) Si la m<7 = 95, halla la m<6.
No definidos
Consecutivos
9) Si la m<1 + m<3 = 230, halla
la m<6.
3) Si la m<1 = 120, halla la m<5.
Alterno Externos
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Par lineal o Suplementario
29
Contesta las siguientes preguntas
s
t
115
1
2
32
3
4
1)
M<1 = 115
Alternos Internos
2)
M<2 = 115
Opuestos por el vértice
3)
M<3 = 148
Internos consecutivos
4)
M<4 = 148
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Opuestos
por el vértice
30
Opcional:
Halla la relación de ángulos
1
8
2
3
7
6
15 16
14
1)
13
9
11
4
r
5
10
s
12
l
m
Angulos Alternos Externos
3 y 12; 4 y 11; 1 y 13; 2 y 14;
2)
Angulos Internos Consecutivos
8 y 15; 7 y 16; 6 y 9; 5 y 10; 7 y 6; 16 y 9; 2 y 3; 13 y 11
3)
Angulos Alternos Internos
8 y 16; 7 y 15; 6 y 10; 5 y 9
4)
Angulos Correspondientes
1 y 15; 8 y 14; 2 y 16; 7 y 13; 3 y 9; 6 y 11; 4 y 10; 5 y 12
1 y 3; 2 y 4; 8 y 6; 7 y 5; 15 y 9; 16 ©
y copywriter
10; 14 y 11; 13 y 12
31
Ejemplo1:
Halla el valor de la variable:
r
(3x – 15)
s
(2x + 7)
Paso 1: Establecer relación de ángulos.
Angulos correspondientes
Paso 2: Establecer la ecuación algebraica.
3x – 15 = 2x + 7
Paso 3: Resolver para hallar x:
OBSERVAR PROCESO EN LA PIZARRA PARA
HALLAR EL VALOR DE LA
VARIABLE
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Ejercicio de practica: (1)
1)
120
x
(3y + 6)
3)
2)
H
(5y + 2)
M
(3w + 20)
4z
2x
T
(2w + 40)
72
K
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33
Ejercicio de practica: (2)
2)
1)
2x
(4x – 10)
(2x + 20)
(3x + 40)
3)
5)
4)
(5x – 10)
(4x)
100
(½ x + 40)
(8x – 5)
© copywriter
34
Opcional
Ejercicio de practica: (3)
(3x + 5)
1)
(x – 5)
2)
105
k
© copywriter
35