Transcript UC POLINOMIOS DE ZERNIKE

UC
POLINOMIOS DE ZERNIKE
M. P. Cagigal, V. F. Canales
Optica adaptativa en astronomía y medicina
Universidad de Laredo. Septiembre. 2000.
CONTENIDO
UC
- Descripción de los polinomios de Zernike.
- Simulación de frente de ondas ditorsionados
por la atmósfera.
- Reconstrucción del frente de ondas a partir de
los datos del sensor.
UC
ABERRACION DE ONDA
P0
Q
Q’
P’0
La función f(r,t) = Q-Q’ definida sobre la pupila del sistema se
denomina aberración de onda.
Se puede desarrollar en polinomios de Zernike.
E(r,t) = E 0(r,t) exp(ik f(r,t) )
UC
Polinomios de Zernike
Z i impar
Zi
n  1 R (r ) 2 cos( m )

Z i par
m
n


R mn (r ) 
n  1 R mn (r ) 2 sen( m )
n  1 R 0n (r )
( n m) / 2

s 0
m0
m0
m0
(1)s (n  s)!
r n 2s
s![(n  m)/2  s]! [(n  m)/2  s]!
UC
Polinomios de Zernike
Frecuencia acimutal (m)
0
0
1
2
Z2=2r cos 
Z3=2r sen
Tilts
1/2
1/2
Z5 =6
2
Z4 =3
(2r -1)
Desenfoque
r sen2 
2
Z6 =61/2 r 2 cos2
Astigmatismo
2
Z9 =81/2 r 3
sen3 
Z7 =81/2 (3r 3 -2r)
sen 
Z8 =8
1/2
Z10 =81/2 r 3
cos3
Coma de
curvatura 0
3
(3r -2r)
cos
Coma
3
1/2
Z12 =10
1/2
Z11 =5
2
4
(6r -
6r +1)
Esférica
4
4
Z1 =1
Constante
1
orden radial (n)
3
4
(4r -
3r )cos2 
2
1/2
Z13 =10
4
(4r -
3r ) sen2
Astigm. 5º orden
2
1/2
Z14 =10
r 4 cos4 
Z15 =101/2 r 4
sen4
UC
Polinomios de Zernike
m
0
1
2
3
4
n
0
piston
Z1
1
tilttilt
Z2
2
Z3
desenfoque
astigmatismo
Z4
Z6
3
Z5
coma
Z8
Z7
Z10
esférica
4
Z11
Z9
astigmatismo 5º orden
Z12
Z13
Z14
Z15
UC
Desarrollo en Pol. De Zernike

f (r ) 
i max

 a i Zi (r )
i 2
j


f (r )
2


a
i 2
2
i


a
i j
2
i
 D
 coef ( j)  
 r0 
5/3
UC
Varianza residual
Índice del último modo corregido j
Varianza residual j rad2
1
1.0299 (D/r0)5/3
2
0.582 (D/r0)5/3
3
0.134 (D/r0)5/3
4
0.111 (D/r0)5/3
5
0.0880 (D/r0)5/3
6
0.0648 (D/r0)5/3
7
0.0587 (D/r0)5/3
8
0.0525 (D/r0)5/3
9
0.0463 (D/r0)5/3
10
0.0401 (D/r0)5/3
11
0.0377 (D/r0)5/3
12
0.0352 (D/r0)5/3
SIMULACION
- Obtención de datos realistas.
- Realización de aproximaciones.
- Separación de las distintas contribuciones.
- Manejo del ruido.
- Elevado número de muestras.
- Condiciones poco frecuentes.
UC
UC
SIMULACION

f (r ) 
i max

 a i Z i (r )
i 2
Simulación de los valores de
ai
Polinomios de Karhünen-Loève
UC
- Base con coeficientes estadísticamente independientes.
- Funciones no analíticas.
- Desarrollable en modos de Zernike.
UC
Covarianzas de los coef. de Zernike
5/3
Cii´   a i a i´  
 n  n´-5/3   D 
K zz´ δ z 
 
2

  r0 
 n  n´17/3   n´n  17 /3   n  n´23/3 

 


2
2
2

 
 


 j  j'  par
 1 si m  m´ y si 
δz  
m  0
0
en el resto de casos

K zz´  2.2698 (-1)(n n´-2m)/2
(n  1)(n´ 1)
UC
Matriz de covarianzas-SVD
X Diagonal
S Unitaria
C = X S XT
C 
 0.4557


0


0


0


0


0


  0.0144


0


0


0


0


0


0


0

0
0
0
0
 0.0144
0
0
0.4557
0
0
0
 0.0144
0
0
0
0.0236
0
0
0
0
0
0
0
0.0236
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
0
0
0.0236
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
 0.0144
0
0
0
0.0063
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0063
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
0
0
0
0.0025
0
0
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
0
0
0.0025
0
0
0
0
0
 0.0039
0
0
0
0
0
0
0
0.0025
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0025
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.0025
0.0063
0
0
0.0063





























UC
Algoritmo simulación
1 - Estimación del número de polinomios NR en la simulación. Sin piston.
2 - Descomposición SVD de la matriz de covarianzas.
3 - Generación de NR variables gauss. bi (1 <i< NR). < bi >=0 y varianza Sii
4 - Cálculo de coef. de Zernike usando: A=XB. A: vector de coef. ai de Zer.
B: vector de coef. bi de Karhünen-Loève. X matriz de cambio de base.
5 - Multiplicación de los ai por (D/r0)5/6 para incluir la atmósfera.

6 - Cálculo del frente de onda a partir de f (r ) 
i max

a
Z
(
r
i i )
i 2
UC
Simulación de frentes de onda
SVD
descomposicion de la matriz
de covarianxa de Zernike
CNxN = X S XT
Coeficientes
Karhünen-Loève : B
(b1...bi...bN)
Números Gaussianos
aleatorios, var Sii
N número de
modos
Coef. Zernike.:
A=XB
Condiciones
Atmosféricas
ai = ai*(D/r0)5/6
Corrección:
a1...aC = 0
Frente de onda
Simulación de frentes de onda
UC
UC
Reconstrucción modal

f (r ) 
i max

 a i Zi (r )
i 2

f (r )
x m

Z i (r )
 ai
x m
i 1

f (r )
y

Z (r )
 ai i
y
i 1
k
k
m
m
UC
Reconstrucción de frentes de onda
S  B a
 a1 
 
 a2 
a 

 
a 
 k

 f ( r )

 x 1
 f ( r )

 x 2

 
 f ( r )

 x M2
S 

 f ( r )
 y
1


 f ( r )

 y 2


 f ( r )

 y M
2

























UC
Matriz de derivadas



 Z1 (r ) Z 2 (r )
Z k (r )


x 1
 x 1 x 1





Z
(
r
)

Z
(
r
)

Z
(
r
)
2
k
 1

 x 2 x 2
x 2



 Z (r ) Z (r )

Z
(
r
)
2
 k
 1
x M
 x M x M
2
2
2

B  



Z1 (r ) Z 2 (r )
Z k (r )



y 1
 y 1 y 1

 Z (r ) Z (r )

Z
(
r
)
2
k
 1


y

y
y 2

2
2



 Z (r ) Z (r )

Z
(
r
)
2
 1
 k
y M
 y M y M
2
2
2

























UC
Reconstrucción modal

a B B
T

1

B S
T
El uso de polinomios de Zernike permite encontrar de
forma explícita los coeficientes de B
Conclusiones
- Descripción de la aberración de onda estableciendo
conexión con las aberraciones clásicas.
- Simulación.
- Reconstrucción modal.
UC