Transcript Oscillationer

Fysikens grunder
Föreläsning 11
Oscillationer
1
Repetition – föreläsning 10
Harmonisk svängningsrörelse
Partikelns läge: x (t ) = xm cos(ωt + φ )
dx (t )
Partikelns hastighet: v(t ) =
= −ωxm sin(ωt + φ )
dt
d 2 x (t )
2
xm cos(ωt + φ )
Partikelns acceleration: a(t ) =
=
−
ω
2
dt
Vanlig i naturen eftersom totala energin bevaras
2
Svängningstider
Block-fjädersystem:
m
T = 2π
k
Matematisk (enkel) pendel:
Fysisk pendel:
L
T = 2π
g
T = 2π
I
mgh
I = tröghetsmomentet
3
Dagens föreläsning
Oscillationer
Dämpade harmoniska svängningar
Resonans
Genomgång av laboration 4
4
Dämpade svängningar
Verkliga svängningar i naturen är mer eller mindre dämpade
Dämpningen
minskar svängningens amplitud
minskar partikelns hastighet
minskar partikelns acceleration
minskar energin i svängningen
5
Dämpningskraften
m
Dämpningskraften beror av hastigheten:
Fd = − bv
6
Kraftekvationen
Två krafter
i) Fjäderspänningen enligt Hookes lag, F = − kx
ii) Dämpningskraften, Fd = − bv
Kraftekvationen:
dx
d2x
=
=
−
−
⇒
=
−
kx
−
b
F ma
kx bv
m 2
dt
dt
Ger upphov till differentialekvation:
d 2 x b dx k
+ x=0
2 +
m dt m
dt
7
Exempel 1
Finn den allmänna lösningen till differentialekvationen för dämpade
svängningar!
8
Lösning
x (t ) = Ae − bt 2 m cos ω ′t + Be − bt 2 m sin ω ′t = xm e − bt 2 m cos(ω ′t + φ )
k
b2
där ω ′ =
−
m 4m2
Tolkningar
Svänger med vinkelfrekvensen ω ′
Amplituden avtar som e − bt 2 m
9
Amplituden som funktion av tiden
Amplitud
f = 1 Hz
0
5
10
15
20
Tid / s
10
Exempel 2
Ett dämpat block-fjädersystem har massan 1,5 kg, fjäderkonstanten
8,00 N/m och dämpningskonstanten 230 g/s. I startläget dras
fjädern ut 12,0 cm. Hur lång tid tar det innan svängningen har en
amplitud som understiger 1,0 cm?
11
Resonans
Uppkommer vid påtvingad extern svängningsrörelse
Påtvingad frekvens = systemets frekvens
Tre krafter
i) Fjäderspänningen enligt Hookes lag, F = − kx
ii) Dämpningskraften, Fd = − bv
iii) Kraft från yttre svängningsrörelse, F = F0 cos ω d t
12
Kraftekvationen
dx
d2x
F = ma = − kx − bv + F0 cos ω d t ⇒ m 2 = − kx − b + F0 cos ω d t
dt
dt
Ger upphov till differentialekvation:
d 2 x b dx k
F0
+ x = cos ω d t
2 +
m dt m
m
dt
Lösningen till differentialekvationen har två delar
i)
Homogen lösning, xh(t)
ii)
Partikulärlösning, xp(t)
13
Homogena lösningen
Fås ur diffentialekvationen
d 2 x b dx k
+ x=0
2 +
m dt m
dt
Löses på samma sätt som ovan
xh (t ) = xm e − bt 2 m cos(ω ′t + φ )
Exempel 3
Bestäm partikulärlösningen till differentialekvationen
d 2 x b dx k
F0
+
+
x
=
cos ω d t
2
m dt m
m
dt
14
Amplituden hos partikulärlösningen
25
F0/mω2
20
15
0.05
b/mω
10
0.1
5
0
0.2
0.6
0.8
1.0
ωd/ω
1.2
1.4
Tolkning
Maximum då ω d = ω = k m (självsvängning, resonans)
15
Självsvängningar
Viktigt att tänka på då man konstruerar
hus
broar
flygplan
bilar
etc
16