Transcript Volymberäkning med trippelintegralen

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Volymberäkning med trippelintegralen
VOLYMBERÄKNING MED TRIPPELINTEGRALEN
För att beräkna volymen av en kropp K , förutom att använda dubbelintegralen, kan
man också använda trippelintegralen,
Volymen( K ) = ∫∫∫1dxdydz.
K
Beräkning med trippelintegralen kan i några fall leda till enklare beräkningar, speciellt
de fall där variabelbyte leder till konstanta gränser.
Uppgift 1
a) Visa att klotet K med radien a, x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 , har volymen
4 3
a π (volymen av ett klot).
3
Tips. Använd sfäriska koordinater.
V =
2
b) Visa att ellipsoiden
V =
4
abcπ
3
x
y2 z2
+
+
≤ 1 har volymen
a2
b2 c 2
(volymen av en ellipsoid med halvaxlarna a,b,c).
Tips. Använd variabelbyte u =
x
y
z
, v = , w = och resultat i a.
a
b
c
Lösning:
V ( K ) = ∫∫∫ 1dxdydz
a)
(sfäriska koordinater, Jacobis determinant J = r 2 sin θ )
K
2π
π
2π
π
3
π ⎡r ⎤ a
= ∫ dϕ ∫ dθ ∫ 1 ⋅ r sin θ dr = ∫ dϕ ∫ sin θ dθ ∫ r 2 dr = 2π [− cos θ ]0 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦0
0
0
0
0
0
0
a 3 4a 3
= 2π ⋅ 2 ⋅
=
π vad skulle visas.
3
3
a
a
2
b) Från u =
x
y
z
, v = , w = har vi x = au,
a
b
c
1 av 5
y = vb,
z = bw och
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
∂x
∂u
∂y
J =
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
Volymberäkning med trippelintegralen
∂x
∂w a 0 0
∂y
= 0 b 0 = abc
∂w
0 0 c
∂z
∂w
2
x
y2 z2
+
+ 2 ≤ 1 ⇒ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1 ( ett klot i uvw-rummet med radien 1)
2
2
a
b
c
Dessutom
Därför V ( K ) = ∫∫∫ 1dxdydz =
∫∫∫ abcdudvdw = abc ∫∫∫ dudvdw .
K ( u ,v , w )
K
K ( u ,v , w )
Vi kan nu byta (u,v,w) till sfäriska koordinater eller direkt använda resultat i a delen (som vi
gör):
V (K ) = abc
4
4
∫∫∫ dudvdw = abc ⋅ 3 ⋅ 1 π = 3 abcπ ,
3
vad skulle visas.
K ( u ,v , w )
Uppgift 2. Beräkna volymen av kroppen K som definieras av
{
K = {( x, y , z ) : z ≤
a) K = ( x , y , z ) : z ≥
b)
x2 + y2 ,
x2 + y2 ,
}
≤ 25}
x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25 ,
x2 + y2 + z2
Lösning:
a) Kroppen består av punkter som ligger mellan en konisk yta och en sfärer med radien 5.
Vi använder sfäriska koordinater där gränser ges av 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π / 4 och
0 ≤ r ≤ 5 . Jacobis determinant är J = r 2 sin θ
där
0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π / 4 och 0 ≤ r ≤ 5 .
Volymen( K ) = ∫∫∫ dxdydz =
K
=
2π
∫
0
dϕ ⋅
π /4
∫ sin θ
0
2π
π /4
5
0
0
0
∫ dϕ
2
∫ dθ ∫ r sin θ dr
5
dθ ⋅∫ r 2 dr
0
3
π /4 ⎡ r ⎤ 5
= 2π [− cos θ ]0 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦0
2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
250
2
2 125
=
(1 −
)π
)
3
2
2
3
= 2π ⋅ (1 −
b) Volymen( K ) = ∫∫∫ dxdydz =
K
=
∫
π
∫ sin θ
dϕ ⋅
π /4
0
2π
π
5
0
π /4
0
2
∫ dϕ ∫ dθ ∫ r sin θ dr
z
5
dθ ⋅∫ r dr
z=
y
2π
Volymberäkning med trippelintegralen
2
0
⎡ r3 ⎤ 5
π
= 2π [− cos θ ]π / 4 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦0
O
y
x
= 2π ⋅ (1 +
2
2 125 250
=
(1 +
)
)π
3
2
2
3
Svar: a) =
250
2
(1 −
)π
3
2
b) =
250
2
(1 +
)π
3
2
Uppgift 3. Beräkna massan av kroppen K där K är det område som ligger mellan en konisk
yta och två sfärer:
{
K = ( x, y , z ) : z ≥
}
x 2 + y 2 , a 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ b2 ,
Lösning: Vi använder sfäriska koordinater där gränser ges av 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π / 4
och a ≤ r ≤ b . Jacobis determinant är J = r 2 sin θ
Volymen( K ) = ∫∫∫ dxdydz
K
=
2π
b
∫ dϕ ∫ dθ ∫ r
0
=
π /4
2π
∫
0
dϕ ⋅
2
sin θ dr
a
π /4
b
0
a
2
∫ sin θ dθ ⋅∫ r dr
0
3
π /4 ⎡r ⎤ b
= 2π [− cos θ ]0 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦a
= 2π ⋅ (1 −
2 b3 a 3
)( − )
2 3
3
Svar: V (K ) = 2π ⋅ (1 −
2 b3 a 3
)( − )
2 3
3
3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Volymberäkning med trippelintegralen
Uppgift 4. Beräkna massan av kroppen K där K definieras av
{
K = ( x, y , z ) : z ≥ k x 2 + y 2 , a 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2
}
där k > 0 är en given konstant.
Lösning: Den koniska ytan z = k x 2 + y 2 uppstår då z = kx , x > 0 (eller z = ky , y > 0 )
roterar kring z-axeln
z
v
y
x
O
Låt v beteckna vinkeln mellan z = kx och den positiva z- halvaxeln ( se figur).
Anmärkning: tan( v ) = k , men i den här uppgiften kommer vi att behöva bestämma cos(v ) .
Vi använder sfäriska koordinater där gränserna ges av 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ v och
a ≤ r ≤ b . Jacobis determinant är J = r 2 sin θ
Volymen( K ) = ∫∫∫ dxdydz
K
=
2π
b
∫ dϕ ∫ dθ ∫ r
0
=
v
2π
∫
0
0
2
sin θ dr
a
v
b
0
a
dϕ ⋅ ∫ sin θ dθ ⋅∫ r 2 dr
3
v ⎡r ⎤ b
= 2π [− cos θ ]0 ⋅ ⎢ ⎥
⎣ 3 ⎦a
= 2π ⋅ (1 − cos v )(
= 2π ⋅ (1 −
b3 a 3
− ) = ( se nedanstående bärekning av cos v )
3
3
k
1+ k2
)(
b3 a 3
− ).
3
3
4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Volymberäkning med trippelintegralen
Uttrycket för cos v kan vi bestämma ur följande figur:
cos v =
OC
k
=
.
OA
1+ k2
{ Alternativt kan vi beräkna cos v med hjälp av följande
relation mellan cos v och tan v ,
tan 2 v + 1 =
1
cos 2 v
som vi får om vi delar sin 2 v + cos 2 v = 1 med cos 2 v . }
( I vår uppgift är antagandet k > 0 .)
Svar. Volymen ( K ) = 2π ⋅ (1 −
k
1+ k2
)(
b3 a 3
− )
3
3
5 av 5