Transcript Repetition Mekanik, grundkurs

Repetition Mekanik, grundkurs
Kraft är en vektor och beskrivs med storlek riktning och angreppspunkt
F = Fx e x + Fy e y + Fz e z
Kraften kan flytta längs sin verkninglinje
Addera krafter
Moment i planet
Kraftmoment-Kraftens vridande förmåga
M=
Rd
= Pp + Qq
o
M0 = r × F
Kraftmoment i 3D
Kraftmoment m a p en punkt
M0 = r × F
Kraftmoment m a p en axel
M λ = (M 0 ⋅ n)=
n ((r × F) ⋅ n)n
Kraftpar
I planet
I 3D
Resultant i planet
Resultant i 3D
R = ∑ Fi
i
M = ∑ Mi
i
Positiv kraftskruv
negativ kraftskruv
∑F = 0
∑M = 0
JÄMVIKT
i
i
i
i
=
Friläggning
1. Fatta beslut om vilken eller vilka
delar som ska friläggas
2. Rita en figur av den frilagda kroppen.
(Kroppen ska vara totalt isolerad från
omgivningen)
3.Sätt ut alla yttre krafter som verkar på
kroppen inklusive tyngdkraft och alla ev.
andra fältkrafter. Gå igenom ytterkonturen
och sätt ut krafter och moment i de
punkter där kroppen skurits av från
omgivningen.
4. Lägg in ett lämpligt koordinatsystem i
figuren.
Jämvikt i 3D
I 2D kan man ställa
upp högst 3 oberoende
jämviktsekvationer
I 3D kan man ställa
upp högst 6 oberoende
jämviktsekvationer
Fackverk
Tvåkraftsystem
Tryck
Drag
Knutpunktsmetoden
Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna
Steg 2 : Gå systematiskt igenom alla knutpunkret och bestäm
krafterna genom att ställa upp kraftekvationer i två
riktningar
Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna
knutpunkt A
knutpunkt B
knutpunkt F
knutpunkt C
knutpunkt E
knutpunkt D
Fackverk
Snittmetoden
Steg1 : Frilläg hela systemet och bestäm reaktionskrafterna
Steg 2 : Välj ut ett en av systemet och gör ett snitt.
Rita ut alla krafter i stängerna som snittades.
Steg 3 : Bestäm krafterna genom att ställa upp kraft- och
momentekvationer (högst 3 oberoende ekv.)
Steg 3: Avgör om det är tryck eller drag i stängerna
Strukturer
Steg1 : Frilägg hela systemet. Om man har fler
än tre obekanta går det inte att räkna
ut alla krafter.
Steg 2 : Frilägg varje del för sig och bestäm
krafterna genom att ställa upp kraft- och
momentekvationer.
Masscentrum
Masscentrum
Exempel
Papus första regel - rotationsarea
Papus andra regel - rotationsvolym
Friktion
Remfriktion
Torr (Coulomb )friktion
F ≤ µs N
T2 = e µβ T1
Exempel
Frilägg
Partikelkinematik
•Läge (position)
r = r (t )
•Hastighet
v (t ) = r (t ) =
•Medelhastighet
v medel
=
•Fart
v= v =
•Acceleration
dr
dt
∆r r (t + ∆t ) − r (t )
=
∆t
∆t
dr
dt
a(=
t ) r(=
t)
dv dv ds
dv
=
= v
dt ds dt
ds
Kartesiska koordinater
r = xe x + ye y + ze z
v r = xe x + y e y + ze z
=
(e x , e y , e z )
a 
r = 
=
xe x + 
ye y + 
ze z
Kastparabel

y = −g
y =
− gt + v0 sin β

x=0
x = v0 cos β
1
y=
− gt 2 + v0 sin β t
2
x = v0 cos β t
2
Bankurvan: eliminera t
Kastvidd
Stighöjd
1 
x   v0 sin β
⇒ y =y ( x) =
− g
 +
2  v0 cos β   v0 cos β
v02
y = 0 ⇒ x = sin 2 β
g
v0
v02
y = 0 ⇒ t = sin β ⇒ y =
sin 2 β
g
2g

x

Naturliga koordinater
(et , e n , eb )
Normal riktningen pekar mot
Krökningskurvans centrum
Tangetial riktningen är tangenten
till kurvans i rörelseriktningen
v = r = set
se t +
=
a 
r = 
s 2
ρ
en
cirkelrörelse
s = rθ
s = rθ

s = rθ
v = set = rθet
(rθ) 2

a = 
set + e n =rθ et +
en
r
ρ
s 2
Cylinderkoordinater
(e r , eθ , e z )
v =re r + rθeθ + ze z
a =(
r − rθ 2 )e r + (rθ + 2rθ)eθ + 
ze z
Cirkelrörelse med konstant fart
v2
a = − er
r
Relativ rörelse
r=
rA + rA / B
A
vA =
v B + v A/ B
aA =
a B + a A/ B
v A/ B =
v REL
a A/ B =
a REL
F = ma
Kraftekvationen
Kartesiska koordinater
Fx = mx
Fy = my
Fz = mz
Naturliga koordinater
Fn ma
m
=
=
n
v2
ρ
Ft ma
mrθ
=
=
t
Fb = 0
Cylinder koordinater
2 )

=
Fr ma
=
m
(
r
−
r
θ
r
=
F ma
= m(rθ + 2rθ)
θ
θ
Fz = mz
Arbete och Energilagar
dU= F ⋅ dr
dv
dv ds
ds
Ft ma
m
m
mv
=
=
=
=
t
dt
ds dt
dt
s2
s2
1 2 1 2
Ft ds ∫ mvdv
=
mv2 − mv1
∫s1=
2
2
s1
T - kinetisk energi
U1−=
T2 − T1
2
Tyngdkraftens arbete
2
y2
1
y1
U=
mg ( y1 − y2 )
∫ ( Fx dx + Fy dy) =
∫ −mgdy =
Fjäderkraftens arbete
x2
x2
1
2
2
(
)
U=
F
dx
=
−
kxdx
=
k
x
−
x
1
2
x
∫x1
∫x1
2
Konservativa krafter - arbetet är oberoende av bankurvan och
motsvaras av en potentialfunktion V
V = − ∫ Fdr
y
Tyngdkraftens potentialfunktion
V =− ∫ −mgdy =mgy
0
x
Fjäderkraftens potentialfunktion
1
V =− ∫ −kxdx = kx 2
2
0
Mekaniska energilagen
T + V = T0 + V0
Effekt
dU
dr
P=
= F ⋅ = F ⋅ r = F ⋅ v
dt
dt
Enhet: 1Watt =1Nm/s
1hp=745.6 Watt
Impulsekvationen
Impuls-kraftens verkan under en viss tid
Newton andra lag ger:
t2
dv
d
dp
= m ⋅ v =
= p
(mv ) =
dt
dt
dt
t2
p
dt ∫ =
dp
∫ F=
t1
F = ma = m ⋅
p(t ) − p(t0 )
p0
Om inga yttre krafter verkar på systemet,
dvs F=0 bevaras systemets rörelsemängd
eller
p(t0 ) + ∫ Fdt =
p(t )
t1
p(t ) = p(t0 )
Exempel:
m/s
m/s
Bestäm kraften R som påverkar
Bollen om slaget varar i 0.05 s
∆t =0.05 s
m = 0.5 kg
Impulsekvationen i x- och y-led
Sned central stöt
Rörelsemängden för hela systemet bevaras i n-led
1.
Rörelsemängden för vardera kroppen bevaras i t-led
2.
3.
Studstalet e är definierad i n-led
4.
H 0 = r × mv
Rörelsemämngdsmoment
Differentiera med avseende på tiden t:
 =
H
0
r × mv
parallela vektorer = 0
+ r × mv = r × mv
Insättning av Newtons andra lag ger:
 =r × mv =r × ma =r × F =M
H
0
0
Momentekvationen
= dH 0
M=
H
0
0
dt
t
Integrering ger impulsmomentekvationen:
dt
∫ M=
0
H 0 (t ) − H 0 (t0 )
t0
Rörelsemängdsmomentet bevaras om
Inget impulsmoment verkar på systemet:
H 0 (t ) = H 0 (t0 )
Exempel: Bestäm bollens rörelsemängdsmoment
kring O på fem olika sätt:
1.
H 0 = r × mv
=
r 4e x + 3e y
v=
(−7 cos 30e x + 7 sin 30e y )
H 0 = m(r × v ) = 64.4 e z kg m/s 2
2.
H 0 = mvd
H 0 = mvd = 2 ⋅ 7 ⋅ 4.6 = 64.4 kg m/s 2
moturs
3.
H=
mvx ⋅ 3 + mv y ⋅ 4= 12.12 ⋅ 3 + 7 ⋅ 4
0
H 0 = 64.4 kg m/s 2
4.
moturs
H 0 = mv y d x = 7 ⋅ 9.2
H 0 = 64.4 kg m/s 2
moturs
5.
12.12 ⋅ 5.31
=
H 0 mv=
xd y
H 0 = 64.4 kg m/s 2
moturs