Transcript TREVLIG SOMMAR! - Lunds Tekniska Högskola

MATEMATIK
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA
TENTAMENSSKRIVNING
Linjär algebra
2010–05–26, kl. 8–13
INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga och tydliga
motiveringar. Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade och positivt
orienterade.
1. Bestäm för varje reellt värde på 𝑎 antalet lösningar till ekvationssystemet
⎧
⎨ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 =
𝑎
⎩
𝑎𝑥 + 𝑦
=
3
Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.
2. Två linjer har ekvationerna
⎧
⎨ 𝑥 = 1 + 𝑡
𝑦 = 1 + 2𝑡
𝑙1 :
⎩
𝑧 = 1 + 3𝑡
3.
och
⎧
⎨ 𝑥 = 2 + 𝑡
𝑦 = 4 + 𝑡
𝑙2 :
⎩
𝑧 = 9 − 2𝑡
a) Visa att linjerna skär varandra och bestäm skärningspunkten.
(0.5)
b) Bestäm en ekvation på affin form för det plan som innehåller både 𝑙1 och 𝑙2 .
(0.5)
a) Definiera begreppen egenvektor och egenvärde till en matris.
(0.3)
b) Diagonalisera matrisen
(
𝐴=
1 2
4 3
)
,
dvs bestäm en inverterbar matris 𝑆 samt en diagonalmatris 𝐷 så att
𝑆 −1 𝐴𝑆 = 𝐷.
(0.7)
4. Låt 𝑂e1 e2 e3 vara ett positivt orienterat ON-system i rummet. Bestäm en ny
positivt orienterad ON-bas ˆ
e1 , ˆ
e2 , ˆ
e3 sådan att ˆ
e1 är parallell med vektorn (1, 1, 0)
och ˆ
e2 är parallell med planet 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3. Bestäm sedan en ekvation för linjen
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑡(2, 0, 1) i det nya koordinatsystemet 𝑂ˆ
e1ˆ
e2ˆ
e3 .
5. Låt 𝐹 : R3 → R3 vara en linjär avbildning definierad genom 𝐹 (u) = u × (1, 1, 1).
Låt vidare 𝐺 : R3 → R3 vara den linjära avbildning som roterar punkterna i
rummet vinkeln 𝜋/2 radianer moturs kring 𝑥-axeln, sett från spetsen av 𝑥-axeln.
a) Bestäm avbildningsmatrisen för 𝐹 och avgör om 𝐹 är bijektiv.
(0.5)
b) Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som ges av avbildningen 𝐺 åtföljd av avbildningen 𝐹 .
(0.5)
6.
a) Bestäm spegelbilden av punkten (3, 1, 1) i planet 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0.
(0.2)
b) En ljusstråle utgår från punkten (3, 1, 1) och reflekteras i planet 𝑥−𝑦 +𝑧 = 0.
Den reflekterade strålen reflekteras i sin tur i planet 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 0, och
ljusstrålen som utgår från detta plan passerar genom punkten (2, −1, 3). Ange
ekvationen för den linje som strålen följer mellan planen.
(0.8)
TREVLIG SOMMAR!