Transcript Föreläsningsunderlag

FL7
732G22
Grunder i statistisk metodik
Exempel tvådimensionell
sannolikhetsfördelning
En viss typ av maskin består av 2 komponenter.
Y = antalet fel på komponent 2
Varje komponent kan ha 0, 1, 2 eller 3 fel vardera.
X = antalet fel på komponent 1
0
1
2
3
p(y)
0
0.41
0.12
0.02
0.01
0.56
1
0.10
0.11
0.03
0.02
0.26
2
0.05
0.02
0.01
0.00
0.08
3
0.02
0.08
0.00
0.00
0.10
p(x)
0.58
0.33
0.06
0.03
1.00
2
Linjära kombinationer av två
slumpvariabler (generella fallet)
Vi är intresserade av relationen
aX + bY + c
där
a, b och c är konstanter.
Då gäller
E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c
Var(aX + bY + c) = a2Var(X) + b2Var(Y) + 2abCov(X, Y)
3
Exempel 407
Antalet tryckfel på en slumpmässigt vald sida i en viss upplaga av
en bok har följande sannolikhetsfördelning.
Antal tryckfel (x) 0
1
2
Sannolikhet p(x) 0.90
0.09
0.01
Beräkna väntevärde och varians för antalet tryckfel på två
slumpmässigt valda sidor.
4
Exempel 401
Tabellen visar den simultana sannolikhetsfördelningen p(x,y) för
de båda slumpvariablerna X och Y.
y\x
0
1
2
0
0.40
0.20
0.07
1
0.15
0.09
0.02
2
0.04
0.02
0.01
Bestäm
a)
p(x) och p(y)
f) Var(X|Y = 1)
b)
Var(Y)
g) Är X och Y oberoende slumpvariabler?
c)
Pr(X + Y) ≤ 2
d)
P(x|Y = 1)
e)
E(X|Y = 1)
5
Exempel 404
a) Bestäm kovariansen mellan X och Y.
b) Bestäm korrelationskoefficienten mellan X och Y.
c) Bilda variabeln S = X + Y. Bestäm sannolikhetsfördelningen
p(s) för denna variabel. Bestäm väntevärdet och variansen för
S med hjälp av p(s).
d) Bestäm väntevärdet och variansen för S med hjälp av
räkneregler för summor av slumpvariabler.
6