Transcript Tentamen i TFYA55/9FYA11 Mekanik, fördjupningskurs

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Institutionen för Fysik, Kemi och Biologi
Magnus Johansson
Tentamen i TFYA55/9FYA11
Mekanik, fördjupningskurs 2011­08­20 kl 8.00­12.00
Tillåtna hjälpmedel: Physics Handbook utan egna anteckningar, avprogrammerad räknedosa. Även vissa andra formelsamlingar som Tefyma och Beta är tillåtna.
Examinator (Magnus Johansson) träffas under skrivningstillfället efter kl 9.15 Telefonnummer: 281227.
Lösningsförslag finns på IFM:s anslagstavla efter skrivtidens slut.
Skrivningen omfattar fem frågor eller problem av teoretisk och mer praktisk natur.
Följande betygsskala gäller preliminärt:
9FYA11:
betyg G: 10­14 poäng
betyg VG: 15­20 poäng
TFYA55:
betyg 3: 10­12 poäng
betyg 4: 13­16 poäng
betyg 5: 17­20 poäng
Betygsgränserna kan i undantagsfall komma att sänkas om någon uppgift visar sig svårare än avsett, dock ej höjas.
Anvisningar: Införda beteckningar skall definieras, gärna med hjälp av figur, och uppställda ekvationer motiveras. Lös alltid uppgifterna analytiskt först och stoppa in eventuella numeriska värden på slutet. Lös inte flera uppgifter på samma blad, och skriv enbart på ena sidan av papperet, tack! Ange ditt AID­nr på varje blad. Det som efterfrågas i uppgifterna skrivs i fet stil.
Uppgifterna är ej ordnade i stigande svårighetsgrad! Obs. också att flera uppgifter inne­
håller olika delmoment med skiftande svårighetsgrad. Det kan därför vara fördelaktigt, att börja med att ögna igenom samtliga uppgifter och lösa de enklare delarna, för att sedan vända tillbaka och angripa de svårare.
Lycka till!
Uppgift 1: Karusellen
En karusell med diameter D = 5.0 m roterar initialt med konstant vinkelhastighet moturs, så att det tar T = 4.0 s för den att gå ett varv. Ett barn som väger m = 25 kg sitter på karusellens utkant. Vid tiden t = 0 bromsas karusellen in med konstant vinkelacceleration, så att den stannar vid tiden tb = 20 s efter att inbromsningen börjat.
(a) Uttryck barnets hastighetsvektor v(t) vid tiden t i polära koordinater, v = (vr, v). (1p)
(b) Uttryck barnets accelerationsvektor a(t) på motsvarande sätt, dvs a = (ar, a).
(1p)
(c) Hur stor är den största nettokraft som måste verka på barnet, för att det ska följa med karusellens rörelse i hela förloppet?
(1p)
(d) Beräkna vinkeln mellan nettokraften på barnet och dess hastighetsvektor, vid den tidpunkt då kraften är störst!
(1p)
barn
D = 5.0 m
Uppgift 2: Speedski
Sedan 2006 har svenskan Sanna Tidstrand världsrekordet i Speedski: I en 2 km lång skid­
backe i franska Les­Arcs (latitud  = 43.45) uppnådde hon den imponerande hastigheten v = 242.59 km/h. Därefter kom hon in på en x = 700 m lång inbromsningssträcka, som vi för enkelhets skull kan anta är horisontell och riktad rakt norrut. (a) Bestäm, till storlek och riktning, den Corioliskraft som p.g.a. jordens rotation kring sin axel verkar på skidåkaren, just när hon kommer in på inbromsningssträckan! Hennes vikt inklusive utrustning kan uppskattas till m = 60 kg, och eventuella effekter av jordens rotation runt solen kan försummas.
(2p)
(b) För att få en uppfattning om hur stor inverkan denna Corioliskraft kan ha på skidåkarens rörelse gör vi följande tanke­experiment: antag att hon åker hela inbromsningssträckan utan att bromsa, dvs vi försummar både friktionen från snön och luftmotståndet. Hur långt kommer hon då att glida i sidled (öst/väst) p.g.a. Corioliskraften? Försumma ev. inverkan av jordens krökning, och notera att farten i sidled blir mycket mindre än utgångsfarten... (2p)
Uppgift 3: Trådrulle
En rät och massiv cylinder med radie R = 1.0 m ligger i vila på en plan, horisontell, friktionsfri is. Längs cylinderns periferi är en otänjbar tråd lindad. Man drar plötsligt i tråden på cylinderns överkant med en kraft F i horisontell riktning, så att tråden lindas av och cylindern börjar röra sig på isen. Kraftens storlek är vald så att cylinderns masscentrum får en acceleration som är lika stor som tyngdaccelerationen g. (a) Bestäm vinkelaccelerationen för cylindern. (1p)
(b) Bestäm läget för de punkter på cylindern, som i första ögonblicket efter att man börjat dra har accelerationen noll!
(3p)
 är parallell med isen och
F

R v
vinkelrät mot cylinderaxeln !
Uppgift 4: Ishockeypuckar
En sommarledig ishockeyspelare roar sig med följande lilla experiment: Han tar två ishockeypuckar, som vardera kan beskrivas som homogena, cirkulära cylindrar med massa m och radie R, och klistrar ihop dem 'kant i kant' enligt figuren nedan. Han fäster sedan hela anordningen vid målställningen, på ett sådant sätt att puckarna kan rotera som en stel kropp kring godtycklig axel genom den fixa punkten O (origo) i figuren. (Hur han gör detta rent praktiskt bekymrar vi oss inte om här!)
(a) Bestäm systemets tröghetstensor uttryckt i koordinatsystemet (x,y,z) enligt figuren! z­axeln pekar ut ur papperet, och punkten O är vald så att puckarna har lika mycket massa för positiva och negativa z. (Ledning: Det är tillåtet att använda formler från Physics Handbook F­1.9 och F­1.10.)
(2p)
(b) Eftersom han har vissa grundläggande mekanikkunskaper inser han direkt, att om han roterar systemet kring z­axeln uppstår en 'trevlig', balanserad rotation där rörelsemängds­
momentet är parallellt med rotationsaxeln. Han har dock hört ryktas att det ska finnas fler sådana 'trevliga' rotationsaxlar, men när han prövar att rotera runt x­ och y­axlarna märker han att det kränger rejält i målställningen. Er uppgift är nu att hjälpa honom, genom att bestämma hur stor vinkel han måste vrida axlarna (x,y) runt z­axeln för att få rotationsaxlar och rörelsemängdsmoment parallella! (Det finns förstås två möjliga vinklar, men om ni bestämmer den ena så inser han direkt den andra!) (2p)
y
x
z O
Uppgift 5: Kula, fjäder och ramp!
En liten homogen, sfärisk kula med massa m trycks mot en horisontell, masslös fjäder med fjäderkonstant k, varvid fjädern trycks ihop en längd x0 från sin naturliga längd. Efter att kulan släppts, glider den först utan att rulla längs en friktionsfri, horisontell yta. Just när fjädern återfått sin naturliga längd upphör kontakten mellan fjädern och kulan, och kulan rullar därefter utan att glida uppför en sträv ramp med lutning  mot horisontalplanet (se figur), under inverkan av tyngdaccelerationen g. (Rullfriktionen är försumbar.)
(a) Välj en generaliserad koordinat x definierad som kulans masscentrums avvikelse från sitt jämviktsläge (där fjädern är osträckt och kulan i samtidig kontakt med fjädern, horisontal­
planet och rampen) enligt figuren. Skriv upp Lagrangefunktionen L  x , x˙  för kulan. Låt kulans totala potentiella energi vara noll då x = 0.
(1p)
(b) Bestäm Lagranges rörelseekvation för x. (Ledning: Behandla x < 0 och x > 0 separat.) (1p)
(c) Man önskar designa detta system så att den totala periodtiden för kulans rörelse blir lika stor som för en hel 'normal' fjädersvängning (dvs, kulan ska tillbringa lika stor tid på rampen som i kontakt med fjädern!). Bestäm vinkeln  som krävs för detta! Vilket villkor på kvoten kx0 / mg måste vara uppfyllt för att det överhuvud taget ska vara möjligt?
(2p)
(Anm.: Den som inte gillar Lagrange kan få poäng på (c)­uppgiften även med alternativa lösningsmetoder!) x
k
m
g

x0