Transcript 131207 - Matematik

Karlstads unversitet
Institutionen för matematik och datavetenskap
Tentamen för Matematik för ingenjörer II, 7,5 hp, MAGA46.
2013-12-07 kl. 9.00-14.00
Max: 24p. 5: 20p; 4: 16p; 3: 12p.
Ansvariga lärare: Niclas Bernhoff (2024)
Hjälpmedel: Miniräknare (ej symbolhanterande), bifogad formelsamling.
MOTIVERA DINA LÖSNINGAR NOGGRANT.
′
(1p)
1. a) Lös ekvationen f (x) = 0 om
2
f(x) = x8 e−x .
(1.5p)
b) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan
x2
− x3 y + y 3 = 1
y
i punkten (x, y) = (1, 1).
(1.5p)
2. Bestäm Taylorpolynomet av ordning 2 till funktionen
f (x) = 1 + x2
kring x = 1.
3. Bestäm definitionsmängd, eventuella vågräta eller lodräta asymptoter samt (2.5p)
alla lokala extrempunkter till funktionen
f (x) =
x
.
ln x
4. Beräkna följande integraler exakt:
(1.5p)
a)
π
x2 sin
x
dx
2
0
(1.5p)
b)
3
3
dx
x3 + 3x
1
(2p)
c)
ln
3
e2x
ex
dx;
+ 2ex + 5
0
5. Bestäm volymen som uppstår när det ändliga området mellan kurvorna
y = 4e−x och y = ex samt y-axeln roterar kring x-axeln. Skärningspunkten ska beräknas och svaret ska förenklas så långt som möjligt.
var god vänd
1
(2p)
6. Lös följande differentialekvationer:
(2p)
a)
y ′ + (cos x) y = 4 cos(x), y(0) = 0;
(2.5p)
b)
xy ′ = y2 − 4y, y(1) = 2, x > 0;
(2p)
c)
y ′′′ − 9y′ = 18xe3x .
7. I en halvcirkel med radie R inskrivs en rektangel, så att rektangelns ena
sida ligger längs med halvcirkelns diameter. Beräkna rektangelns största
möjliga area.
(2p)
8. Ett kärl innehåller 400 liter rent vatten. Vid en viss tidpunkt börjar
man att med hastigheten 8 liter per minut tappa i förorenat vatten, där
koncentrationen av föroreningen är 3 gram per liter. Samtidigt startar
en omrörare, så att vätskan i kärlet kan anses vara väl blandad. Man
släpper också ut vattnet i kärlet med hastigheten 8 liter per minut, så
att vattenvolymen i kärlet är konstant. Hur lång tid dröjer det innan
föroreningens koncentration i kärlet är 2 gram per liter?
(2p)
Lycka till!
2