Transcript Kap. 12.9. Taylors formel.

Kap. 12.9.
Taylors formel.
801.
Bestäm MacLaurinpolynomet av andra graden till funktionen
A
a.
ln (1 + x + y2)
A
b.
exy cos (x + y)
A
c.
ex – y + xy + ey – z + yz + ez – x + xz
A
d.
A
e.
A
f.
1 + sin (x + y)
ex + y
cos (x – y)
cos xy
1 + sin z
B
g.
A 802.
Bestäm Taylorpolynomet av andra graden till funktionen
x + y i punkten (1,0)
a.
x–y
b.
c.
d.
803.
(cos x)x + y.
ln (x + y2) i punkten (1,1)
y – x + sin (2x – y) i punkten (1,2)
cos (x – y) cos (y – z) cos (z – x) i punkten (1,1,1).
Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning
funktionerna
3
med ordorestterm av
A
a.
xy – x2 + xy3
A
b.
(1 + 2x – z)2y
A
c.
ln (x + cos y)
A
d.
A
e.
x4 – y4 + 3 sin (x + y) sin (x – y)
sin (x + y + z)
1 + cos xy
B
f.
C 804.
Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning n av funktionen
2
2
f(x,y) = 2 arctan cos x – cos y – arcsin cos2 x – cos 2y .
cos x + cos y
cos x + cos y
805.
cos (x + y) .
cos (x – y)
Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 3 med ordoresterm av
A
a.
xy – x2 + (2x – y)4 i punkten (1,2)
B
b.
ln (x + cos y) i punkten (1,0).
1
B 806.
Ekvationen z3 – 2xz + y = 0 definierar en funktion z = z(x,y), så att
z(1,1) = 1. Bestäm Taylorutvecklingen av ordning 2 till z i punkten
(1,1).
B 807.
Bestäm MacLaurinutvecklingen av ordning 2 till funktionen
1
f(x,y) =
∫ (1 + x)yt dt .
2
0
A 808.
Bestäm konstanterna a , b, c och d, så att
a + bx + cy + dz – cos (x + y) + ln (1 + z) = O(x2 + y2 + z2).
B 809.
810.
A
Ange ett polynom p(x, y – 1) av högst andra graden, vilket approximerar funktionen (x + y)sin x med ett fel, som är O (x2 + (y – 1)2) , då (x,y) →
(0,1).
Beräkna gränsvärdet
sin 2x + sin2y
a.
lim
x2 + y2
(x,y)→(0,0)
A
b.
A
c.
B
d.
B
e.
x2 + y2
(x,y)→(0,0) 1 – cos x cos y
x + y – ln (1 + x + y + xy)
lim
(x,y)→(0,0) x sin (x + y) – y sin (x – y)
ln xy
lim
(x,y)→(1 +,1 +) ln (3 – x – y)
lim
lim
(x,y)→(0,0)
B
f.
lim
(x,y)→(0,0)
ex – ey
x–y
ex + ey – 2 .
x–y
C 811.
Funktionen f(x,y) har kontinuerliga partiella derivator av andra ordf(x2,y2) – f(–y2,–x2) .
ningen. Beräkna
lim
(x,y)→(0,0)
x2 + y2
A 812.
Beräkna differentialerna df och d2f av funktionerna
a.
b.
f(x,y) = sin (x2 + y2) i punkten (0,0)
f(x,y,z) = cos x + cos y + cos z i punkten (0,0,0)
c.
f(x,y) = ex + y – ex – ey i punkten (0,1)
d.
f(x,y) = (x + y)xy i punkten (1,0).
2
813.
A
B
Beräkna
∂6f
a.
i punkten (0,0), då f(x,y) = x3sin y + y3sin x
∂x3∂y3
∂10f i punkten (0,0), då f(x,y) = (1 + x – y) e2x + y.
b.
∂x4∂y6
3
Ledningar till uppgifterna 801–813.
801 a.
Sätt x + y2 = t och MacLaurinutveckla ln(1 + t).
b.
Sätt xy = t , x + y = u och MacLaurinutveckla et och cos u.
c.
Sätt x – y + xy = t och MacLaurinutveckla et. De övriga termerna kan
behandlas likadant.
d.
Sätt sin(x + y) = t och MacLaurinutveckla (1 + t)1/2 . Utveckla därefter
sin s, där s = x + y.
e.
MacLaurinutveckla cos t, där t = x – y. Man får ett uttryck på formen
1 + s. Sät x + y = u. Det ursprungliga uttrycket övergår på eu (1 + s)–1.
MacLaurinutveckla de båda faktorerna.
f.
MacLaurinutveckla (1 + sin z)–1 cos t, där t = xy.
g.
(cos x)x + y = e(x + y)ln cos x .
802 a.
Sätt x = 1 + h och bestäm MacLaurinpolynomet till den erhållna funktionen. Jämför ex 7.4 sid 141.
b.
Sätt x = 1 + h, y = 1 + k . Man får ett uttryck på formen
ln 2 + ln(1 + t). Bestäm MacLaurinpolynomet.
c.
Sätt x = 1 + h, y = 2 + k . MacLaurinutveckla sin t, där
t = 2h – k. Detta leder till (1 + s)1/2 . MacLaurinutveckla.
d.
Sätt x = 1 + h, y = 1 + k, z = 1 – l och MacLaurinutveckla.
803 a.
Ett polynom är sin egen MacLaurinutveckling.
b.
Sätt 2x – z = u, 2y = v. Man får (1 + u)v = evln(1 + u) .
c.
MacLaurinutveckla cos y.
d.
Sätt x + y = u, x – y = v.
e.
Sätt x + y + z = u, xy = v. MacLaurinutveckla (1 + cos v)–1sin u.
f.
MacLaurinutveckla först (cos u)–1cosv där u = x – y, v = x + y. Man får
ett uttryck på formen 1 + t. MacLaurinutveckla (1 + t)1/2 .
2
804 Sätt t = cos x . Betrakta funktionen g(t) = 2arctan t – 1 – arcsin t2 – 1 .
cos y
t+1
t +1
MacLaurinutveckla först g´(t) och integrera sedan.
805 a.
b.
Sätt x = 1 + h, y = 2 + k och MacLaurinutveckla.
Sätt x = 1 + h, y = k och MacLaurinutveckla.
4
806.
Derivera implicit. Beräkna i punkten (1,1) partialderivatorna av första
och andra ordningen till z. Använd Taylorutvecklingens definition:
z(x,y) = z(1,1) + z´x(1,1)(x – 1) + z´y(1,1)(y – 1) + … .
807.
MacLaurinutveckla integranden. Integrera det erhållna uttrycket.
(1 + x)yt2 = eyt2ln(1 + x) = 1 + t2(xy + O(x2y)) = 1 + t2(xy + O(r3)) .
cos(x + y) = 1 + O(x2 + y2 + z2), ln(1 + z) = z + O(x2 + y2 + z2) ⇒
808.
cos(x + y) + ln(1 + z) = { t = z + O(x2 + y2 + z2) } = (1 + t)1/2 = 1 + t + O(t2)
2
alltså
a + bx + cy + dz – cos(x + y) + ln(1 + z) =
= a + bx + cy + dz – 1 – 1 (z + O(x2 + y2 + z2)) = O(x2 + y2 + z2) om
2
a = 1, b = c = 0, d = 1 .
2
809.
Det sökta polynomet = Taylorpolynomet av andra graden av (x + y)sin x i
punkten (0,1). Sätt x = h, y = 1 + k och MacLaurinutveckla
(x + y)sin x = (1 + h + k)sin h = esin h ln(1 + h + k) = … .
810 a.
b.
c.
d.
e.
f.
sin 2x + sin2y = x2 + O(x4) + y2 + O(y4) = x2 + y2 + O((x2 + y2)2) .
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
x2 + y2
=
=
1 – cos x cos y 1 – (1 – 1 x2 + O(x4)) . (1 – 1 y2 + O(y4))
2
2
2 + y2)
2(x
=
.
x2 + y2 + O((x2 + y2)2)
1 (x2 + y2) + O((x2 + y2)3/2 )
x + y – ln (1 + x + y + xy) = 2
.
x sin (x + y) – y sin (x – y)
x2 + y2
2
2
ln xy
= { x = 1 + h, y = 1 + k } = h + k + O(h 2 + k 2) =
ln (3 – x – y)
–h – k + O(h + k )
cos
v
+
sin
v + O(r) .
= { h = rcos v, k = rsin v } =
–cos v – sin v + O(r)
ex – ey = ey(ex – y – 1) = { x – y = t } = ey(et – 1) = ey(t + O(t2)) .
x–y
x–y
t
t
ex + ey – 2 = x + y + O(x2 + y2) . Betrakta fallen y = 2x och y = –x.
x–y
x–y
5
811. Sätt u = x2, v = y2 och betrakta funktionen g(u,v) = f(u,v) – f(–v,–u). Man har
g(0,0) = 0, g´u = f´u – f´v(–1) = f´u + f´v, g´v = f´v – f´u(–1) = f´u + f´v
vilket medför att
g(u,v) = g(0,0) + g´u(0,0)u + g´v(0,0)v + O(u 2 + v 2) = (f´u(0,0) + f´v(0,0)) (u + v) och
(f´u(0,0) + f´v(0,0)) (u + v) .
f(x2,y2) – f(–y2,–x2) = lim
vi får
lim
2
2
u+v
(x,y)→(0,0)
x +y
(u,v)→(0,0)
812. Taylorutveckla i den aktuella punkten. Ta hänsyn till att
f(p + h) = f(p) + df(p) + 1 d2f(p) + O(|h|3).
2
Allternativt kan differentialens definition användas.
a.
sin(x2 + y2) = { x2 + y2 = t } = sin t = t – O(t3) = x2 + y2 + O((x2 + y2)3) . Å andra sidan gäller det att
f(x,y) = f(0,0) + f´x(0,0)x + f´y(0,0)y +
2
2
2 3/2
+ 1 ( f´´
(0,0)x2 + 2f´´
xy (0,0)xy + f´´
yy(0,0)y ) + O( (x + y ) ) .
2 xx
Detta medför att df(0,0) = f´x(0,0)x + f´y(0,0)y = 0 och
2
2
2
2
d2f(0,0) = f´´
x x (0,0)x + 2f´´
xy (0,0)xy + f´´
yy(0,0)y = 2(x + y ).
813. Utnyttja MacLaurinutvecklingens entydighet. Sök koefficienten till x3y3 respektive x4y6 i MacLaurinutvecklingen till f.
a. f(x,y) = x3sin y + y3sin x = … – 2 x3y3 + O(r7), där r = x2 + y2.
3!
Å andra sidan
6 6
f(x,y) = … + 1 d6f(0,0) + O(r7) = … + 1  3 ∂ f(0,0)
x3y3 + O(r7)
6!
6!
∂x3∂y3
6
6 6
vilket medför att – 2 = 1  3 ∂ f(0,0)
alltså ∂ f(0,0)
= –12.
3
3
3! 6!
∂x ∂y
∂x3∂y3
b.
Jämför med 813a.
6
Svar till uppgifterna 801–813.
x – 1 x2 + y2.
2
b.
c.
3 + x2 + y2 + z2.
d.
e.
1 + x + y + x2 + y2.
f.
g.
1.
801 a.
802 a.
b.
c.
d.
803 a.
b.
c.
e.
1 – 1 x2 – 1 y2.
2
2
1 + 1 (x + y) – 1 (x2 + 2xy + y2).
2
8
1 – z.
1 + 2y – 2(x – 1)y + 2y2.
ln 2 + 1 h + k – 1 h 2 – 1 hk, där h = x – 1 och k = y – 1.
2
8
2
1 + 1 (x – 1) – 1 (x – 1)2.
2
8
1 + hk + hl + kl – h 2 – k2 – l2, där h = x – 1, k = y – 1 och l = z – 1.
xy – x2 + O(r4).
1 + 4xy – 2yz – 4x2y + 4xyz – yz2 + O(r4)
x – 1 x2 – 1 y2 + 1 x3 + 1 xy2 + O(r4).
d.
2
2
3
2
1 (x + y + z) – 1 (x + y + z)3 + O(r4).
f.
2
12
3x2 – 3y2 + O(r4).
1 – xy + O(r4).
804.
0.
805 a.
1 + (y – 2) – (x – 1)2 + (x – 1)(y – 2) + O(r4), r2 = (x – 1)2 + (y – 2)2.
ln 2 + 1 h – 1 h 2 – 1 k2 + 1 hk 2 + 1 h 3 + O(r4), där h = x – 1, k = y
2
8
4
8
24
b.
och r2 = h 2 + k2.
806.
1 + 2h – k – 8h 2 + 10hk – 3k2 + O(r3), där h = x – 1, k = y – 1 och
r = h 2 + k2.
807.
1 + 1 xy + O(r3).
3
808.
a = 1, b = c = 0, d = 1 .
2
809.
1 + x2 + x(y – 1).
7
810 a.
c.
e.
1.
1.
2
b.
2.
d.
–1.
1.
f.
existerar inte.
b.
df = 0, d2f = – h 2 – k2 – l2.
811.
f´x(0,0) + f´y(0,0) .
812 a.
df = 0, d2f = 2h 2 + 2k2.
c.
df = (e – 1)h, d2f = (e – 1)h 2 + 2ehk.
d.
df = 0, d2f = 2hk + 2k2.
813 a.
–12.
b.
–48.
8