Transcript Föreläsning 5: Primitiva funktioner: Variabelsubstitution

Karlstads universitet
Matematik
Niclas Bernhoff
Föreläsning 5: Primitiva funktioner:
Variabelsubstitution
Repetition:
Definition: F (x) är en primitiv funktion till f(x) om
F ′ (x) = f(x)
Obestämd integral:
f (x) dx = F (x) + C
Räkneregler:
1.
2.
Notera att:
Partiell integration:
kf (x) dx = k
f (x) + g(x) dx =
f(x) dx för konstant k
f (x) dx +
f ′ (x)
dx = ln |f(x)| + C
f (x)
f g dx = F g −
1
F g ′ dx
g(x) dx
Variabelsubstitution:
Kedjeregeln:
(F (g(x)))′ = F ′ (g(x)) · g ′ (x) = f(g(x)) · g′ (x)
Integrera:
f(g(x)) · g ′ (x) dx = F (g(x)) + C, C - konstant
Variabelsubstitution:
′
f (g(x)) · g (x) dx =
t = g(x)
=
dt
= g ′ (x) ⇒ dt = g ′ (x) dx
dx
=
f(t) dt = F (t) + C = F (g(x)) + C
2
Potenser av sin x respektive cos x :
Använd omskrivningarna:
cos2 x =
1 + cos 2x
1 − cos 2x
respektive sin2 x =
2
2
eller/och trigonometriska ettan.
Example 1
cos2 x dx =
1 cos 2x
x sin 2x
+
dx = +
+C
2
2
2
4
Example 2
cos3 x dx =
cos2 x · cos x dx = (1 − sin2 x) cos x dx =
t = sin x
= (1 − t2 ) dt =
=
dt
= cos x ⇒ dt = cos x dx
dx
t3
sin3 x
= t − + C = sin x −
+C
3
3
Example 3
2 2
1 cos 2x 2
cos4 x dx =
cos x dx = ( +
) dx =
2
2
1 cos 2x cos2 2x
x sin 2x 1
1 cos 4x
=
+
+
dx = +
+
+
dx =
4
2
4
4
4
4
2
2
3x sin 2x sin 4x
x sin 2x x sin 4x
=
+
+ +
+C =
+
+
+C
4
4
8
32
8
4
32
och så vidare. På motsvarande sätt för potenser av sin x
3