Transcript Föreläsning #3

IF1613 Elektromagnetism och vågrörelselära: Föreläsning 3 / Kapitel 10, Urban Westergren
Föreläsning #3
Förra föreläsningen: Maxwells ekvationer för elektromagnetiska fält (kapitel 2, 9
och 10)
Denna föreläsning: Vågekvationen och elektromagnetiska vågor inom optiken
(kapitel 11)
Vågekvationen (fortsättning)
Sätt J=0 och ρ=0 (inga laddningar och därför inga strömmar mellan antennerna) och
eliminera D, H och B från Maxwells ekvationer:
⇒ ∇ 2 E − µε
∂2E
=0
∂t 2
Detta är en 3-dimensionell vågekvation med utbredningshastigheten:
v=
1
εµ
= {µ r = 1} =

1
= c =
ε 0ε r µ 0 
ε 0 µ0
1

c
=
εr

där c är ljushastigheten i vakuum.
Samma ekvation gäller för magnetfältet H:
∂2 H
=0
∂t 2
Om man antar att man kan orientera fältet så att ∂/∂z=∂/∂y=0, dvs E konstant i alla
plan vinkelräta mot x-axeln, får man:
∇ 2 H − µε
∂2E
∂2E  ∂2
∂2 

E = 0
−
µε
=
−
µε
∂x 2
∂t 2  ∂x 2
∂t 2 
där första termen i operatorn har enheten 1/m2 och den andra (s2 /m2 )*(1/s2 )= 1/m2 , E
har enheten V/m.
Detta är en våg som utbreder sig längs x-axeln och där alla värden på elektriska
fältet är konstanta i plan vinkelräta mot x-axeln. Den kallas ”plan våg”.
Riktningen för E-fältet kan väljas godtyckligt i plan vinkelräta mot x-axeln. Antag att
vi väljer y-riktning. På sidan 128 i boken visas att
∂E y
∂B
− z = µε
∂x
∂t
B och H är proportionella mot varandra (i isotropa material). Det betyder att E och Hfälten är vinkelräta mot varandra och mot utbredningsriktningen. Detta kallas TEMmod (finns t.ex. i en koaxialkabel):
E
T ransversella
E lektriska och
M agnetiska fält
Utbredning : E × H
Läsåret 12/13, tisdag 22 januari, 10-12, sal C2
H
1(4)
IF1613 Elektromagnetism och vågrörelselära: Föreläsning 3 / Kapitel 10, Urban Westergren
Om man delar E- och H-fälten med varandra får man
Ey
Hz
=
µ
= {µ r = ε r = 1} = Z 0 = 377Ω
ε
vilket ibland kallas ”fria rummets impedans”. Jämför med Ohms lag V/I=R.
Polarisation
Om de elektriska och magnetiska fälten är orienterade i en viss riktning, som för plana
vågor, kallas de ”linjärpolariserade”. Med polarisationsfilter kan man utesluta fält som
har andra riktningar.
Intensitet i en elektromagnetisk våg
Kretsresonemangen i kapitel 11 återkommer vi till i kapitel 4-8.
Energitäthet i elektriskt fält
We är elektrisk energi (enhet Ws=J), τ är volym (m3 ) och E är elektriskt fält (V/m):
∂We 1
= ED
∂τ
2
D är elektrisk flödestäthet och har enheten mWs/Vm3 =VAs/Vm2 =As/m2 :
D = εrε0 E
Energitäthet i magnetiskt fält
Wm är magnetisk energi (enhet Ws=J), och H är magnetiskt fält (A/m):
∂Wm 1
= BH
∂τ
2
B är magnetisk flödestäthet och har enheten mWs/Am3 =VAs/Am2 =Vs/m2 :
B = µrµ0 H
Total energitäthet ges av summan av We och Wm. Intensitetsvektorn för en plan våg
kan skrivas (ekv 11.7 b):
I = x ⋅ ε 0 c 0 nE 02 sin 2 (kx − ωt )
där n är kvoten mellan fashastighet i vakuum och i ett dielektrikum: brytningsindex
c
c
c
n = 0 = εr ⇒ v = 0 = 0
v
n
εr
Läsåret 12/13, tisdag 22 januari, 10-12, sal C2
2(4)
IF1613 Elektromagnetism och vågrörelselära: Föreläsning 3 / Kapitel 10, Urban Westergren
Plan elektromagnetisk våg i gränsskikt mellan dielektrika
Boken innehåller ett tryckfel: magnetiska flödstätheten B ska bytas mot
magnetiska fältet H från mitten av sid 138 till sid 143. Detta påverkar dock inte
några slutsatser.
Randvillkor vid gränsskiktet: E- och H-fältens tangentkomponenter (parallella med
gränsytan) är kontinuerliga, dvs de har samma värden på båda sidor direkt intill
gränsen (ekv 11.10):
E t1 = E t 2
H t1 = H t 2
Detta kan härledas direkt ur Maxwells ekvationer (se sid 138) och bestämmer hur en
våg passerar en gränsyta, dvs bryts (transmission) och reflekteras.
C
Faradays lag, integralform:
lim ∫ E ⋅ dL = lim{− jω
h →0
Et1
ε1
h
h →0
C
∫∫ B ⋅ dS} =0
S= ∆L⋅h
⇒ E 2 t ⋅ ∆L − E 1t ⋅ ∆L = 0 ⇒ E 2 t = E 1t
ε2
Et2
∆L
På samma sätt: Ht2 =Ht1 genom att jämföra ekv 2:2 och 2:4 (utan strömtäthet J).
∫ E ⋅ dl = ∫∫ −
C
S
∂B
⋅ dS
∂t
∂D
∫ H ⋅ dl = ∫∫ ∂t
C
⋅ dS
S
Randvillkoren leder till slutsatser för reflektion och refraktion (brytning):
Ei
kr
Er
Hi
Hr
ki
θi
θr
n1
n2
ε1
ε2
Eb
θb
Hb
kb
Reflektionslagen
θi = θ r
Läsåret 12/13, tisdag 22 januari, 10-12, sal C2
3(4)
IF1613 Elektromagnetism och vågrörelselära: Föreläsning 3 / Kapitel 10, Urban Westergren
Snells brytningslag
n 1 sin θ i = n 2 sin θ b
Om n1 >n2 får man θb>θi: när θb når 90 grader uppstår totalreflektion.
Fresnels ekvationer 11:15 och 11:17 ger Er och Eb för infallande fält som är riktade
(polariserade) i infallsplanet respektive vinkelrätt mot infallsplanet. Ekv 11:15 för Efält riktade som i figuren ovan:
 n cos θ i − n 1 cos θ b
E or = E oi  2
 n 2 cos θ i + n 1 cos θ b

2n 1 cos θ i
E ob = E oi 
 n 2 cos θ i + n 1 cos θ b
Brewstervinkel: det reflekterade






fältet blir noll.
Reflektionskoefficient R definierad som kvot mellan reflekterad och infallande effekt
för θi=θr=0 (vertikalt):
2
(
n 2 − n1 )
R=
(n 2 + n 1 )2
Transmissionskoefficient T definierad som kvot mellan transmitterad och infallande
effekt för θi=θr=0:
4n 1 n 2
T=
⇒ R + T =1
(n 2 + n 1 )2
För R≠0 uppstår en stående våg. (http://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave)
Ekv 11:17 för E-fält riktade som H-fälten i figuren ovan:
 n cos θ i − n 2 cos θ b 

E or = −E oi  1
n
cos
θ
+
n
cos
θ
i
2
b 
 1


2n 1 cos θ i

E ob = E oi 
 n 1 cos θ i + n 2 cos θ b 
För detta fall finns ingen brewstervinkel. Slutsats: reflekterat ljus är delvis polariserat.
Polarisationsfilter i polaroidglasögon tar bort ljus som polariserats av horisontella ytor
(vatten).
Princip för polarisationsfilter: metalltrådar kortsluter E-fält som är parallella med
trådarna. Randvillkor: Et =0 inne i en metall och då är Et =0 vid metallytan.
Elektromagnetisk energi reflekteras eller blir värme i metallen. Filter vid optiska
frekvenser fungerar på liknande sätt på atomnivå.
(http://en.wikipedia.org/wiki/Polarizer)
Superposition av elektromagnetiska vågor
Elektromagnetiska fält får vektoradderas = superponeras. Fenomen som uppstår på
grund av detta är interferens och diffraktion. Mer om detta i nästa föreläsning.
Läsåret 12/13, tisdag 22 januari, 10-12, sal C2
4(4)