Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok Területszámítás • Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. • A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. • Görbe vonalú trapéz. Görbe vonalú trapéz •
Download
Report
Transcript Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok Területszámítás • Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. • A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. • Görbe vonalú trapéz. Görbe vonalú trapéz •
Határozott
integrál
Összegek, területek,
térfogatok
1
Területszámítás
• Görbe vonal által
határolt terület
kiszámítása.
• A terület felosztása:
minden résznek csak
az egyik határoló
vonala görbe vonalú.
• Görbe vonalú trapéz.
2
Görbe vonalú trapéz
• A görbe vonalat az y=f(x)
függvény grafikonjának
tekinthetjük.
• Keressük az y=f(x)
grafikonja és az x-tengely
közötti rész területét.
3
A görbe vonalú trapéz területe
• Téglalapokkal közelítjük a
keresett területet.
• Az [a,b] szakaszt felosztjuk
az a=x0, x1,..., xn=b pontok
segítségével.
• Az így kapott téglalapok
magasságai az xk pontokban
vett függvényértékek: f(xk).
ΔTk
Tk ( xk 1 xk ) f ( xk )
Tk f ( xk ) xk
A görbe vonalú trapéz területe
T T0 T1 T2 T3 T4
T f ( x0 ) x0 f ( x1) x1 f ( x2 ) x2 f ( x3 ) x3 f ( x4 ) x4
T
n 1
f ( xk ) xk
k 0
Az osztópontok n számának
növelésével pontosabb eredményt
kapunk.
n 1
f ( xk ) xk
n
T lim
k 0
n 1
T
k 0
Példa
• Az y=x2
függvény alatti
terület a [0,1]
intervallumon.
• Osztópontok:
1 1 3
0, , , ,1
4 2 4
xk
0
0,25
0,5
0,75
1
f ( xk ) xk
Δxk
0,25
0,25
0,25
0,25
-
f(xk)
0
0,0625
0,25
0,5625
1
f(xk)·Δxk
0
0,015625
0,0625
0,140625
T 0,21875
A határozott integrál
Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett
határozott integrálja az
b
n
a
k 0
f ( xk ) xk
f ( x) d x nlim
összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum
pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük
levő távolság n növelésével zérushoz közelít.
A határozott integrál jele
Felső határ
b
Integráljel
f ( x) d x
a
Alsó határ
Integrandus
Integrálási
változó
Az integrálási változó
• A függvény egy adott intervallumon vett
határozott integráljának értéke a függvénytől
függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a
független változóját.
• Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az
x-et, nyugodtan írhatjuk
b
b
f ( x) d x
a
helyett
f (t ) d t
a
b
vagy
f (u) d u
a
Geometriai értelmezés
• Az y=f(x) pozitív függvény
[a,b] intervallumon vett
határozott integrálja
egyenlő az adott
intervallumon vett görbe
vonalú trapéz területével.
b
f ( x) d x
a
Példa
• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és
számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:
3
( 2 x 2) d x
1
ah 24
t
4
2
2
3
(2 x 2) d x 4
1
Példa
• Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk
ki az integrál értékét területszámítással:
4
( x 3) d x
1
ab
72
45
t
h
5
22,5
2
2
2
4
45
( x 3) d x 2
1
A határozott integrál tulajdonságai
• Az állandó szorzótényező kiemelhető az
integrál elé:
b
b
a
a
c f ( x) d x c f ( x) d x
A határozott integrál tulajdonságai
• Az összeg, különbség tagonként
integrálható:
b
b
b
a
a
a
f ( x) g ( x)d x f ( x) d x g ( x) d x
+
Példa
1
1
1
1
f ( x) d x 5
g ( x) d x 7
1
1
1
1
1
1
2 f ( x) 3g ( x)d x 2 f ( x) d x 3 g ( x) d x 2 5 3 7 31
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait feloszthatjuk:
b
c
c
a
b
a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
Példa
1
f ( x) d x 5
1
4
f ( x) d x 2
1
4
1
4
1
1
1
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x 5 (2) 3
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:
a
f ( x) d x 0
a
A határozott integrál tulajdonságai
• Az integrálás határait felcserélve, az
integrál előjelet vált.
a
f ( x) d x 0
a
b
a
a
b
f ( x) d x f ( x) d x 0
a
b
b
a
f ( x) d x f ( x) d x
Példa
4
f ( x) d x 2
1
1
4
4
1
f ( x) d x f ( x) d x (2) 2
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény
folytonos és integrálható, akkor van legalább egy
olyan x0 az intervallumban, hogy:
b
f ( x) d x f ( x0 ) b a
a
A határozott integrál tulajdonságai
• Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény
maximuma M, és minimuma m, akkor:
b
(b a) m f ( x) d x b a M
a
Példa
1
• Igazoljuk az egyenlőtlenséget: 1 cos x d x 2
0
A [0,1] intervallumon
y=cosx
cos 1 cos x cos 0 1
1 cos1 1 cos x 1 1 2
1
(1 0) 1 cos1 1 cos x d x 1 0 2
0
1
0
1 cos x d x 2
A Newton-Leibniz tétel
• Ha F(x) az f(x) függvény primitív
függvénye az [a,b] intervallumon akkor:
b
f ( x) d x F (b) F (a)
a
Példa
1
31
0
0
x
2
x dx 3
3
sin x d x
6
13 03 1
3
3 3
cos x 3 cos cos
3
6
6
1
3
2 2
3 1
0,366
2
Feladatok
0
1
2
0
4
4
(2 x 5) d x 6
3
1
x
(5 ) d x 33
4
2
4
3
2
(
x
x)d x 1
0
32
4
x d x 12
5
3
1
0
1
5 6 dx 22
1 x
2
1
x
(3x 4 ) d x 8
( x 2 x 3) d x 12
3
2
2
2
x
2
dx 1
Helyettesítés a határozott integrálnál
• Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra,
hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!
2x 3 t
2d x dt
1
2
51
1 5
1
dt
1t
5
4 dt
4
d
x
t
(1 (1) )
(2 x 3) d x
2
10
5
2 5
2
1
1
x 1 t 1 1
x 2 t 1
Parciális integrálás
b
b
b
u dv u v a vdu
a
a
1
x
1
ux
dv e d x
x
x
x
xe
e
dx
xe
d
x
x
0
d
u
d
x
v
e
0
0
1
1
1 e 0 e
0
x1
e
0
e e1 e0 e0 1
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x
tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által
határolt síkrész területét.
y x
4
4
2 3
t xdx
x
3
1
1
2 3
3 14 4 2
t 4 1
3
3
3
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az
x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek
által határolt síkrész területét.
2
y x x2
2
1
7
1
x x 2 d x 1
6
6
2
1
1
t 1 1
6
6
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a függvény grafikonja, az
x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek
által határolt síkrész területét.
2
y x x2
t
x2 x 2d x x2 x 2d x
2
4
1
2
59
5
t
9
6
6
Területszámítás integrállal
• Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület
nagyságát:
y x2
1.
2.
3.
y x
A grafikonok metszéspontjainak
meghatározása – integrálási határok.
A grafikonok felrajzolása, a keresett
terület azonosítása.
Az integrálok kiszámítása.
Területszámítás integrállal
A grafikonok metszéspontjainak meghatározása –
integrálási határok:
y x2
y x
2
x x
4
x x
4
x x0
x( x3 1) 0
x1 0
x2 1
A grafikon felrajzolása
Területszámítás integrállal
Az integrálok kiszámítása:
1
T x d x x2 d x
0
0
0
1
1
Felső
határoló
görbe
x x d x
2
Alsó
határoló
görbe
3
1
2 3 x
1
T
x
3
3
3
0
A forgástestek térfogata
• Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának
x=a és x=b közötti részének x tengely körüli
forgatásával egy forgástestet kapunk.
A forgástestek térfogata
V f ( x0 )2 x0 f ( x1 )2 x1 ... f ( xn 1 )2 xn 1
V f ( x0 )2 x0 f ( x1 )2 x1 ... f ( xn 1 )2 xn 1
b
V f ( x) d x
2
a
A gömb térfogata
x2 y 2 r 2
y 2 r 2 x2
V
r
r
r
r
2
2
2
y
d
x
(
r
x
)d x
3
2
x
V r x
3
4 3
V r
3
r
r
A görbe ívhossza
• A görbét a P0, P1,...,Pn pontok
segítségével részekre osztjuk.
• A görbe vonalat a pontokon át
húzott húrokkal helyettesítjük
L P0P1 P1P2 Pn1Pn
L L0 L1 Ln1
A görbe ívhossza
• A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):
L2k xk2 yk2
2
y
L2k xk2 1 k
x 2
k
yk
Lk xk 1
xk
2
A görbe ívhossza
L L0 L1 Ln1
2
2
y0
yn 1
y1
L x0 1
x1 1
xn 1 1
x1
x0
xn 1
y
lim
f ( x)
x 0 x
2
L x0 1 f ( x0 )2 x1 1 f ( x1)2 xn 1 1 f ( xn 1)2
b
L 1 f ( x0 )2 d x
a
A kör kerülete
• A félkörív hossza:
2
f ( x) r x
f ( x)2
2
f ( x)
L
r
r 2 x2
x2
r 2 x2
1 f ( x)2 1
r
x
x2
2
r x
1 f ( x) d x r
2
2
r
r
r2
r 2 x2
dx
2
r x
2
r
k 2r
Vége!!!