Transcript Zene és matematika – tűz és víz? Szabadka, 2015. augusztus 12. Béres Zoltán [email protected] http://members.tippnet.rs/beres Előzetes megjegyzések az előadáshoz • tudományos vagy szórakoztató? • lehet-e ezt tanítani? • nem lesz.

Zene és matematika –
tűz és víz?
Szabadka, 2015. augusztus 12.
Béres Zoltán
[email protected]
http://members.tippnet.rs/beres
1
Előzetes megjegyzések az
előadáshoz
• tudományos vagy szórakoztató?
• lehet-e ezt tanítani?
• nem lesz szó:
– a XX. század második felében megjelenő
zenei irányzatokról
– az Európán kívüli zenékről
• nem lesz zenei hangzó anyag
2
Tartalom (1/2)
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Püthagorasz és a többiek
A pszichológiai oldal
A hang
Hangsorok
Hangközök
A hangok hossza
3
Tartalom (2/2)
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
Formák – transzformáció és aranymetszés
Az ókori görög paradoxonok feloldása
Matematikai szöveg és zene
A kotta mint függvény
Az elemző agy
Érzelem vagy értelem
4
I. Püthagorasz és a
többiek
zene
matematika
5
Püthagorasz
(Kr.e. 570 k.–496)
arányok:
 zene
 matematika
6
Anicius Manlius Severinus Boëthius
(480?–524)
A tanítványaival (1385)
A középkori skolasztika egyik megalapítója
Institutio arithmetica (Aritmetikai bevezetés)
Institutio musica (Zenei bevezetés)
7
Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646–1716)
„A zene a lélek
matematikai
gyakorlata.”
8
Marin Mersenne
(1588–1648)
„az akusztika atyja”
Traité de l'harmonie
universelle (1627)
9
Leonhard Euler
(1707–1783)
Tentamen novae theoriae
musicae (1739)
„A zene több, mint
pusztán matematikai
gyakorlat. Feltárja és
felszabadítja agyunk
rejtett nemlineáris
dinamikáját.”
10
Joseph-Louis Lagrange
(1736–1813)
„…[a zene] elszigetel a
környezetemtől; az első
három ütem
meghallgatása után a
negyediknél már semmit
sem látok, átengedem
magam gondolataimnak,
s több nehéz problémát
ilyen állapotban sikerült
megoldanom.”
11
James Joseph Sylvester
(1814–1897)
„A zene az érzelem
matematikája, a
matematika az értelem
zenéje.”
12
Maróthi György
(1715–1744)
Arithmetica, vagy számvetésnek
mestersége (1743)
 kb. 200 évig használták
Soltároknak a kóták szerént
való éneklésének
mesterségének rövid
summája (1740)
 az első magyar nyelvű
zeneelméleti munka
13
A két Bolyai
Bolyai Farkas
(1775–1856)
 zeneelmélet
Bolyai János
(1802–1860)
hegedűjátékos
Muzsikatan –
dolgozat
14
Rátz László
(1863–1930)
matematika-fizika
szakos tanár, a
KÖMAL szerkesztője
 a Dal és Zene
Egyesület elnöke
15
Fejér Lipót
(1880–1959)
matematikus, az MTA
tagja
 kiváló zongorista volt
16
Bonifert Domonkos
(1942–2002)
matematika-fizikaének szakon végzett a
Szegedi Tanárképző
Főiskolán 1964-ben
17
Darvas Ferenc
(1946 –)
(színpadi) zeneszerző,
zongorakísérő,
Erkel-díjas
 fejszámolóművész
18
Freud Róbert
(1947–)
algebra tanár (ELTE)
 kiváló zongorista
19
Gyüdi Sándor
(1959–)
matematika–fizika
szakos középiskolai
tanár
Ma (2010): a Szegedi
Szimfonikus Zenekar
vezető karmestere
Ma (2015): a Szegedi
Nemzeti Színház
főigazgatója
20
Harcsa Veronika
(1982 –)
2001-ben érettségizett a
Fazekas Mihály
Gyakorló Gimnázium
speciális matematika
tagozatán
 dzsesszénekes
20
Vajon ez véletlen?
21
II. A pszichológiai oldal
Bal oldal:
-- nyelv
-- logika
-- számolás
-- fogalomalkotás
Jobb oldal:
-- minták
-- formák
-- humor
-- zene
-- tánc
-- képzelőerő
-- téri
képességek
23
A Mozart-hatás (1993)
A kísérleti alanyok intelligencia-tesztet (tér–
idő feladatokat) töltöttek ki, miközben:
Mozart-szonátát,
ismétlődő relaxációs zenét hallgattak,
illetve
nem hallgattak semmit.
Eredmény: A Mozartot hallgatók 8-9 ponttal
jobb eredményt értek el.
24
Nem létezik a „Mozart-hatás”
A Bécsi Egyetem Pszichológiai Alapkutatások
Intézetének szakértő csoportját Jakob
Pietschnig vezette. A kutatás során nem tudták
bizonyítani a zene hatását a térbeli
képzelőerőre.
Pietschnig: „Mindenkinek ajánlom Mozart
zenéjét, de a kognitív teljesítőképesség
javulásához fűzött elvárások nem teljesülnek a
komponista művei által” – fogalmazott
Pietschnig. (HVG, 2010. május 5.)
25
A zenehallgatás hatása
Azok a diákok, akik 60-70 ütem per perc
sebességű klasszikus zenét hallgattak tanulás
közben, például Beethoven Für Elise-ét, 12
százalékkal jobban teljesítettek
matematikadolgozatnál, tehát egy egész jeggyel
jobbat kaptak – állítja Emma Gray klinikai
szakpszichológus.
(www.life.hu, 2013.9.17.)
26
A Kodály-módszer
• Kodály-módszeren alapuló
Látható hangok elnevezésű,
gyermekek számára
kifejlesztett zeneoktatás
-> „A zenei képzés hosszú
távú hatásai között a kutatók a
matematikai készségek és a
kreativitás fejlődését is
megfigyelték.”
Honbolygó Ferenc
(mta.hu, 2010.11.10.) 27
Gombás Judit és Stachó László:
Matematikai és zenei képességek
vizsgálata 10-14 éves gyerekeknél (2006)
A matematikai képességek korrelálnak a
zenei képességekkel. Különösen a
problémamegoldó képesség van szoros
kapcsolatban a ritmusérzékkel.
Az előzetes zenetanulás évei korrelációban
van a matematikai megértéssel kapcsolatos
teszt eredményeivel.
(http://elib.kkf.hu/okt_publ/tek_2006_35.pdf)
28
III. A hang
29
A zenei hang
a hangerő
a hangszín
a hangmagasság
30
A hangszín
trombita
fagott
hangvilla
A fülünk érzékeli a hanghullám mintáját.
Vajon mitől vannak ezek a minták?
31
Felhangok – A húr rezgése
1. felhang (alaphang)
2. felhang (sin 2x+cos 2x)
3. felhang (sin 3x+cos 3x)
4. felhang (sin 4x+cos 4x)
5. felhang (sin 5x+cos 5x)
6. felhang (sin 6x+cos 6x)
7. felhang (sin 7x+cos 7x)
32
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768–1830)
A rezgő húr és a hővezetés
problémája
Fourier-tétel: Minden
rezgőmozgás felbontható
harmonikus rezgőmozgások összegére.
Következmény:
Minden hangszín végtelen
sok felhangra bontható.
A tétel zenei hangokra vonatkozó következménye
előbb volt ismert, mint maga a tétel.
33
Mit is jelent ez az előállítás?
p(t) = a0 + a1 cos(wt) + b1 sin(wt) +
a2cos(2wt) + b2 sin(2wt) +
a3 cos(3wt) + b3 sin(3wt) + ...
http://phet.colorado.edu/hu/simulation/fourier
Rajzoltassuk meg egy rajzolóprogrammal a következő
függvényeket:
y1=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)
y2=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,2*sin(2x)
y3=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,1*sin(2x)
-0,6*cos(3x)-0,2*sin(3x)
34
Felhangok – egy kis akusztika
35
IV. Hangsorok
36
A szorzási szabály
t 8 = [2/1]
t 5 = [3/2]
t 4 = [4/3]
t5+t4=t8
pl. c–g és g–c’ = c–c’
3 4 9  8 17 2
 


2 3
6
6 1
dó : szó = 2 : 3 => szó = dó · (3/2)
szó : dó’ = 3 : 4 => dó’ = szó · (4/3)
dó’ = (dó · (3/2)) · (4/3) = dó · ((3/2) · (4/3))
Mit jelentene az arányok osztása?
37
Egy versenyfeladat
Matematika Határok Nélkül, 2000/2001, próbaforduló
2. feladat: Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz
sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó’-ré’-mi’
megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang
megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy
tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy
oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dódó’). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük,
így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl.
dó-szó vagy ré-lá). Számítsátok ki a 10 síp hosszát,
állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le
eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok
átmérője 1 cm.
38
A feladat megoldása:
d – r – m – f – s – l – t – d’ – r’ – m’
128 1024 12 32 256 2048
8
16
9
81
3
27
243
s = 16 · 2/3 = 32/3
r = (32/3) : (3/4) = 32 ·4 : (3 · 3) = 128/9
l = 128/9 · 2/3 = 256/27
m = (256/27) : (3/4) = 256 ·4 : (27 · 3) = 1024/81
t = 1024/81 · 2/3 = 2048/243
De mi lett a
szomszédos hangok
f = 16 · 3/4 = 48/4 = 12
aránya?
39
Püthagoraszi hangsor
d – r – m – f – s – l – t – d’
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
9
8
256
243
Püthagoraszi limma: m–f, t–d
A zenetörténetben megjelentek a funkciók
(I,IV,V) és ettől a püthagoraszi hangsor a
háttérbe szorult.
9 9 81
 
 1,27
8 8 64
5

4
40
„Tisztítsuk ki” a fő funkciókat!
d – r – m – f – s – l – t – d’
9
8
10
9
16
15
9
8
10
9
9
8
16
15
T: d – m – s
Ok
S: f – l – d’
Ok
D: s – t – r’
Ok
Hurrrrrrá!
Most már minden rendben van?
41
Énekeljünk nagy szekundot!
(dó – ré)
Mekkorát lépjünk?
1. eset
szó : dó = 4 : 3
szó : ré = 3 : 2
2. eset
4
3
x 
3
2
9
x
8
lá : dó = 6 : 5
6
4
y
5
3
10
y
9
Más baj is van… Mi a megoldás?
lá : ré = 4 : 3
42
A 12-fokú temperált hangsor
dó = C
Cisz = C · q
D = Cisz · q = (C · q) · q = C · q2
Disz = ... = C · q3
...
C’ = C · q12
2C = C · q12
2 = q12
q  2  1,059
12
43
Mi változott?
9/8 = 1,125 -- nagy szekund
10/9 = 1,111… -- nagy szekund
16/15 = 1,0666… -- kis szekund
helyett:
kis szekund:
nagy szekund:
12
2  1,0595
 2
12
2
 6 2  1,1225
44
A háromféle nagy szekund
arány
10
9
 2
12
2
 2
6
9
8
az arány tizedes
törtben kifejezve
1,111
1,1225
1,125
elnevezés
(magyar)
kis
egész
hang
tonus
minor
temperált egész
hang
nagy
egész
hang
tonus
maior
elnevezés
(latin)
45
A temperált hangsor –
pro és kontra
veszteség lista:
 az oktávon kívül nincs akusztikailag tiszta
hangköz.
pl. a kvint 3/2 aránya a temperálással:
7
12
2  1,498 lesz az 1,5 helyett.
nyereség lista:
az összes hangnem egyformán alig-hamis,
vagyis egyformán elfogadható.
46
Miért éppen 12 fok?
 ha több lenne: nehezen tudnánk megjegyezni a
dallamokat (lásd: indiai zene – 24-fokú)
 ha kevesebb lenne: nem lenne elég
kombinációs lehetőség a dallamok szerzésére
(lásd: egészfokú skála)
„Az európai kultúra azért tudott közel 2600 év alatt
ilyen magaslatokra jutni a zenében, mert Püthagorasz
felfedezését, hogy összefüggés van a geometriai
méretek és arányok, valamint a hangmagasság között,
rendszerré tudta szervezni.” (Pap János)
47
És mi a helyzet az ötfokú
hangsorral?
d – r – m – f – s – l – t – d’
9
8
9
8
256
243
9
8
9
8
9
8
256
243
d – r – m
d – r
r – m
s– l
f – s– l
s– l – t
r
f – s– l – t
d’
d’
3
 9  729
  
 8  512
48
V. Hangközök
49
Konszonancia és disszonancia
Minél több felhang esik egybe, annál
kellemesebb érzetet kelt.
c és g
c és e
c és d
50
Konszonancia
Már a püthagóreusok is megfogalmazták azt,
hogy a kis (természetes) számokkal leírható
hangközök szólnak jól.
A t8, t5, t4, n3, k3, n6, k6 (t1) hangközök
számítanak konszonánsnak a klasszikus
zeneelméletben.
51
Különbségi hangok 1.
Az énekkar tiszta intonációjának hatására „olyan
hangok szólalnak meg, amelyeket a kórus nem is
énekel”. (Kodály)
 orgonaépítés
52
Különbségi hangok 2.
53
VI. A hangok hossza
54
A törtek tanítása
Ritmus-egyenletek
Milyen értékű hang hiányzik az ütemből?
55
Pontozott hangok
Egy elméleti kérdés:
Hány pontot kell tennem a félhang után, hogy
az értéke legalább egész legyen?
56
Nem csak felezni lehet!
57
VII. A zenei formák
58
Geometriai transzformációk a
zenében 1.
Eltolás a zenében: kánon, imitáció, szekvencia
Tengelyes tükrözés: tükörkánon, inverzió
Középpontos tükrözés: rákkánon
Hasonlóság – nyújtás: augmentáció
Hasonlóság – zsugorítás: diminúció
Transzformációk kompozíciója
59
Kottapéldák jegyzéke
1A.
1B.
2.
3.
4.
5.
6.
7A.
7B.
7C.
Praetorius
J.S. Bach: A fúga művészete
J.S. Bach: Kétszólamú invenció
??? (Darvas Gábor)
W.A. Mozart
??? (Darvas Gábor)
??? (Darvas Gábor)
J.S. Bach: A fúga művészete
J.S. Bach: A fúga művészete
J.S.Bach: Zenei áldozat
60
1A. Eltolás a zenében: kánon
61
1B. Eltolás a zenében: imitáció
62
2. Eltolás a zenében: szekvencia
63
3. Tengelyes tükrözés:
tükörkánon
64
4. Középpontos tükrözés:
rákkánon
65
5. Hasonlóság – nyújtás:
augmentáció
66
6. Hasonlóság – zsugorítás:
diminúció
67
7A. Transzformációk kompozíciója
68
7B. Transzformációk kompozíciója
69
7C.
Transzformációk
kompozíciója
70
Tillai Aurél: Kvint-kánon (2008)
71
Melyik téglalap a „legszebb”?
a:b=1:1
sectio
aurea
a:b=1:2
2
3
1
a:b=1:3
4
a:b=1:4
5
72
Az aranymetszés
Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek
nevezzük, ha
a : b = (a + b) : a
a
b
Ha a + b = 1, akkor a piros gombóc pontosan a
1 5
 0,618 pontban van.
2
73
A Fibonacci-sorozat
Első két tagja 1. A többi tag az előző kettő
összege.
1. tag: 1
8. tag: 8 + 13 = 21
2. tag: 1
9. tag: 13 + 21 = 34
3. tag: 1 + 1 = 2
10. tag: 21 + 34 = 55
4. tag: 1 + 2 = 3
11. tag: 34 + 55 = 89
5. tag: 2 + 3 = 5
....
6. tag: 3 + 5 = 8
7. tag: 5 + 8 = 13
74
Keressük az aranymetszetet!
OOO
0/2=0; 1/2=0,5; 2/2=1.
OOOOO
0/4=0; 1/4=0,25; 2/4=0,5; 3/4=0,75; 4/4=1.
OOOOOOOO
0/7=0; 1/7=0,14; 2/7=0,29; 3/7=0,34; 4/7=0,57;
5/7=0,71; 6/7=0,86; 7/7=1.
OOOOOOOOOOOOO
7/12=0,58
Fibonacci-számok: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55
Aranymetszés: kb. 0,618
75
Számoljuk meg a taktusokat!
Jadasson szerint:
a 8 ütemes Beethoven dallamok csúcsa
rendszerint a 6. ütemre esik, vagyis a dallam
szerkezete: 5 + 3 = 8.
Vajon tudatosan számolt-e Beethoven?
(Nem csak Beethovennél figyelhető meg
ilyen véletlen(?)!)
76
A Himnusz
2:18 hosszú,
1:31-nél van a
csúcspontja:
91/138 = 0,659
(Φ=0,618)
(Iharos Csabáné,
Szénási Eszter)
77
Az aranymetszés Bartóknál
pozitív aranymetszés
0,618 : 0,382
(a hosszabb rész van elől)
negatív aranymetszés
0,382 : 0,618
(a rövidebb rész van elől)
A következő példa Bartók 2 zongorás ütős
szonátájából való, annak is a kidolgozási részét
láthatjuk (134–247. taktus)
78
0,382
0,618
A 177. taktus: (177–133)/(248–133) = 44/115 = 0,383
A 166. taktus: (160–133)/(177–133) = 27/44 = 0,614
A 205. taktus: (205–176)/(248–176) = 29/72 = 0,402
(28/72 = 0,389; 27/72 = 0,375)
79
Véletlen?
Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele
80
Bartók dallamai
Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele
81
VIII. Az ókori görög
paradoxonok feloldása?
Zénón paradoxonja: Akhilleusz és a teknős
Szamosi Géza:
A polifon zene és a klasszikus fizika (1990)
 „...az idő csak másodlagos, származtatott
dimenzió, amelynek a léte a testek
mozgásához...van kötve” – gondolták a görögök
 Galilei „az időt életünk üteméből dimenzióvá
változtatta, vagyis egy absztrakt paraméterré”
(Gillespie, 1960)
82
 Az idő egészen új szemlélete a fizikában úgy
jelent meg, mintha egyszerűen csak egy okos
matematikai újítás lenne
 Rendkívül meglepő, hogy míg Galilei más
eszméi szenvedélyes ellenzőkre és támogatókra
találtak, addig az idő szerepére vonatkozó
forradalmi felismerése egyáltalán semmiféle
izgalmat nem váltott ki
az idő folyása: a polifon zene – az időütem
tartását felváltotta az idő mérése
83
IX. Matematikai szöveg és
zene
Egykori matektanárom pl. maga
megzenésítette a másodfokú egyenlet
megoldóképletét. Zseniális volt, de így sem
bírtam megjegyezni.
(Bejegyzés egy internetes fórumon)
84
Angol nyelvű példák
Hotel Infinity (Hotel Califonia, Eagles)
A végtelen szálló problémájáról
Stairway to Seven (Stairway to Heaven, Led Zepelin)
A 7-es számról
Imaginary (Imagine, John Lennon)
A képzetes számokról
85
Magyar nyelvű példák
„Az n faktoriális. Mindig aktuális. Az n faktoriális.
Sorrendekből a maximális. Álmodban is
kombináljad, hogy n darab különböző tárgyat n
faktoriális féleképpen rendezhetünk sorba szépen.
Elmondom, hogy 6 lánnyal hányféleképpen
randevúzz: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.”
(Bëlga)
a-szor a az a négyzet, kis angyalom,
b-szer b az b négyzet, kis angyalom,
a kettőnek összege, Pitagorasz tétele, kis angyalom.
(ismeretlen szerző)
86
Erősebb idegzetűeknek:
http://www.kockaeder.hu/
Ha én gyökjel volnék, négyzetgyököt vonnék,
Sok-sok valós számhoz másikat rendelnék,
Ki nem használ engem, az tovább nem léphet,
Hisz gyökvonás nélkül nincs megoldóképlet.
Ha én egész volnék, természetes volnék,
3-mal osztható Catalan-szám volnék,
Két szomszédom közül prím lenne mindkettő,
Például lehetnék én a 42.
87
X. A kotta mint függvény
Mit jelenít meg valójában a kotta?
g:h=c:e
log (g/h) = log (c/e)
log g – log h = log c – log e
Tehát azonos rezgésarányú hangok azonos
távolságra vannak egymástól.
x tengely: idő,
y tengely: a hangok frekvenciáinak a logaritmusa
88
XI. Az elemző agy – minták
89
XII. Értelem vagy érzelem?
matematika  értelem
zene  érzelem
?
„Az ember csak azt hallja meg, amit megért.”
Pap János
90
Ajánlott olvasmányok
Darvas Gábor: A zene anatómiája
Zeneműkiadó, Budapest, 1975
Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása
Magvető Kiadó, Budapest, 1978
Benkő András: A Bolyaiak zeneelmélete
Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975
Kardos Pál: Kórusnevelés – kórushangzás
Zeneműkiadó, Budapest, 1969
Pap János: Hang – ember – hang
Vince Kiadó, Budapest, 2002
Lendvai Ernő: Bartók dramaturgiája
Zeneműkiadó, Budapest, 1964
91
https://www.youtube.com/watch?v=ou_Dl0_Bll0
2:38 -- 4:43
92