Transcript x - Studentportalen - Uppsala universitet

Prov 1
UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Robert Algervik, Inger Sigstam
E NVARIABELANALYS
2014-01-27
Diverse program
Skrivtid: 8.00 – 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon och bifogat formelblad.
Det maximala poängantalet för varje uppgift är 5 poäng. För godkänd deltentamen
krävs minst 18 poäng, inklusive bonuspoäng från redovisningsuppgifterna. LÖSNINGARNA
SKALL VARA VÄLSKRIVNA OCH INNEHÅLLA FÖRKLARANDE TEXT.
1. Bestäm följande gränsvärden
(a)
lim
x →1
x3 − 1
x2 + 2x − 3
(b)
lim
x →0
sin 2x
.
x cos x
2. Bestäm ekvationen för tangenten i punkten ( x, y) = (4, 1) till kurvan
√
√
5 x = 2 y ( x + y2 ).
3. Bestäm Taylorpolynomet av grad två till funktionen f ( x ) =
x = π/2.
1
i punkten
sin x
x2
4. Skissera grafen till funktionen f ( x ) =
.
2x − 4
Följande ska ingå: definitionsmängd, asymptoter, lokala extrempunkter och konkavitet/konvexitet.
4
Ledning: Visa att f 00 ( x ) =
.
( x − 2)3
5. Bevisa att
4 arctan x > π − 3 + 4x − x2 ,
för alla x > 1.
6. Bestäm det största intervall kring x = 0 där funktionen
f ( x ) = x5 − 5x + 3
är inverterbar. Bestäm därefter ( f −1 )0 (3).
Var god vänd!
7. Funktionen f definieras av
(
f (x) =
2 + ln(1 + x )
x2 + ax + b
om x > 0,
om x ≤ 0.
(a) Bestäm alla värden på de reella parametrarna a och b så att f blir kontinuerlig i punkten x = 0.
(b) Bestäm, genom att beräkna höger- och vänstergränsvärdena av differenskvoten, alla värden på de reella parametrarna a och b så att f blir deriverbar i
punkten x = 0.
8. Bestäm den maximala omkretsen av en likbent triangel som är inskriven i enhetscirkeln.
LYCKA TILL!!
Trigonometriska formler
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
sin2 x = 21 (1 − cos 2x ),
cos2 x = 12 (1 + cos 2x )
Maclaurinutvecklingar
x2 x3
xn
+
+···+
+ O ( x n +1 )
2!
3!
n!
x3 x5
x2n−1
x−
+
− · · · + (−1)n−1
+ O( x2n+1 )
3!
5!
(2n − 1)!
x2 x4
x2n
1−
+
− · · · + (−1)n
+ O( x2n+2 )
2!
4!
(2n)!
3
2
x
xn
x
+
− · · · + (−1)n−1 + O( x n+1 )
x−
2
3
n
3
5
x
x
x2n−1
x−
+
− · · · + (−1)n−1
+ O( x2n+1 )
3
5
2n − 1
α
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
α n
1+ x+
x +
x +···+
x + O ( x n +1 )
1!
2!
3!
n
ex = 1 + x +
sin x =
cos x =
ln(1 + x ) =
arctan x =
(1 + x ) α =