Transcript link¨opings universitet exam tams 27 / ten 1

LINKÖPINGS UNIVERSITET
Matematiska institutionen
EXAM TAMS 27 / TEN 1
30 maj 2011, klockan 8.00-12.00
Examinator: Jörg-Uwe Löbus (Tel: 28-1474)
Tillåtna hjälpmedel är en räknare, formelsamling i matematisk statistisk utgiven av
MAI, och ett ytterligare formel-blad (2 sidor).
(1) Antag att vi har en tvådimensionell stokastisk variabel (X, Y ) med simultan täthetsfunktion
1/2 om |x| + |y| ≤ 1
fX,Y (x, y) =
, x, y ∈ R.
0
annars
Det intressanta området är skuggat i nedanstående figur.
(a) Bestäm de marginella täthetsfunktionerna för X och Y . (1p)
(b) Bestäm väntevärdena E[X] och E[Y ]. (0.5p)
(c) Är X och Y oberoende? (0.5p)
(d) Bestäm P |X| ≤ 21 |Y | ≤ 12 . (1p)
(2) Betrakta två fabrikat av armbandsur (A och B) som båda har garantitid 1 år.
De kan råka ut för felet att visarna lossnar. Sannolikheten att detta sker inom
garantitiden är 1/500 för fabrikat A och 1/1000 för fabrikat B. Fabrikat A säljs i
750 och B i 500 exemplar per år.
(a) Låt X beteckna antalet av de 750 klockor av fabrikat A som säljs ett år och
som får ovan nämnda fel inom garantitiden. Beräkna approximativt P (X > 3).
(1.5p)
(b) Beräkna den betingade sannolikheten att en klocka är av fabrikat A givet att
den fått felet inom garantitiden. (1.5p)
(3) En telefonoperatör jobbar med att svara i telefon. Han börjar jobba klockan 08.00
på morgonen och får gå hem när han har besvarat 10 samtal. Samtalen kommer
enligt en Poissonprocess med intensitet 1.5 samtal/timme. Vad är sannolikheten
att:
(a) Det inte kommer några samtal innan kl. 10.00. (1p)
(b) Telefonoperatören sitter kvar efter kl. 16.00. (1p)
(c) Det kom ett samtal klockan 10.30. Vad är den förväntade tiden då nästa samtal
kommer? (1p)
(4) På ett kontor har man satt in 120 nya lampor vars livslängd är exponentialfördelad
med parametern λ = 3. Beräkna sannolikheten att minst 30 av lamporna är
hela efter ett halvår. Lampornas lystid antages vara oberoende. Använd centrala
gränsvärdessatsen. (3p)
(5) En betjäningsstation skall dimensioneras. Till betjäningsstationen inkommer kunder, och man antar att tiderna mellan ankomsterna är oberoende, likafördelade
stokastiska variabler med väntevärde 10 och standardavvikelse 6 (minuter). Tiden
tills första kunden anländer har också denna fördelning. För dimensioneringen
är det väsentligt att veta hur många kunder som kan tänkas inkomma under en
8-timmarsperiod. Beräkna n så att sannolikheten att n kunder eller fler inkommer under en 8-timmarsperiod är högst 10 %. Välmotiverade approximationer får
användas. (3p)
(6) Låt X1 , X2 vara oberoende N (0, 1)-fördelade stokastiska variabler och låt α ∈ [0, 2π).
Låt den stokastiska vektorn Y defineras genom
Y1
sin α cos α
X1
Y≡
=
.
Y2
− cos α sin α
X2
(a) Bestäm väntevärdesvektorn och kovariansmatrisen för Y. (2p)
(b) Beräkna den simultana täthetsfunktionen. (1p)
Lösningar
(1) (a)
fX (x) =
=
fY (y) =
=
 Z 1+x
1


Z ∞
dy om − 1 ≤ x ≤ 0

2
−1−x
Z
fX,Y (x, y) dy =
1−x
1

−∞


dy om 0 ≤ x ≤ 1
−1+x 2
1 + x om − 1 ≤ x ≤ 0
1 − x om 0 ≤ x ≤ 1
Z ∞
fX,Y (x, y) dx
−∞
1 + y om − 1 ≤ y ≤ 0
.
1 − y om 0 ≤ y ≤ 1
(b) E[X] = 0, E[Y ] = 0 p.g.a symmetri av fX resp. fY .
(c)
fX (0) · fY (0) = 1 6=
1
= f(X,Y ) (0, 0)
2
medför att X och Y inte är oberoende.
(d) Det gäller att
P |X| ≤
1
2
|Y | ≤
1
2
=
=
1
, |Y
2
P (|X| ≤
|≤
1
P (|Y | ≤ 2 )
1
)
2
R 21 R 12
=
− 12
− 21
R
fX,Y (x, y) dx dy
1
2
− 12
fY (y) dy
1/2
2
= .
3/4
3
(2) (a) X ∼ Bin(750, 1/500) ≈ P oi(1.5), så
P (X > 3) = 1 − P (X ≤ 3) = 1 −
3
X
P (X = k)
k=0
−1.5
≈ 1−e
1.52 1.53
+
1 + 1.5 +
2!
3!
= 0.0656 .
(b) Låt A = {klockan är av fabrikat A}, B = {klockan är av fabrikat B} och F =
{klockan har fått ett fel}. För en klocka som är slumpvist vald bland de 750 +
500 = 1250 klockorna av fabrikat A eller B gäller
P (F |A)P (A)
P (F |A)P (A)
=
P (F )
P (F |A)P (A) + P (F |B)P (B)
1
750
·
3
500 1250
= 1 750
.
1
500 =
4
·
+ 1000 · 1250
500 1250
P (A|F ) =
(3) Låt X = {# samtal mellan 8 och 10} ∼ P o(2 · 1.5) och Y = {# samtal mellan 8
och 16} ∼ P o(8 · 1.5). I
(a) efterfrågas P (X = 0) = e−3 = 0.05 och i
(b) P (Y ≤ 9) = 0.2424 som kan hittas i tabell. Om operatören sitter kvar efter
kl. 16.00 så har som mest 9 samtal kommit innan denna tid.
(c) Väntetiderna Ti mellan samtal i − 1 och samtal i är Exp(1.5)-fördelade. Det
nedför att E[Ti ] = 1/1.5 (timmar). Den förväntade tiden då nästa samtal
kommer är kl. 11.10.
(4)
P (en enskild lampa hel efter ett halvår) = e−3·0.5 = e−1.5 = 0.2231 .
Låt X = antal hela lampor efter ett halvår ∼ Bin(120, e−1.5 ) ≈ N (120 · e−1.5 , 120 ·
e−1.5 (1 − e−1.5 )) = N (26.78, 20.80) enligt centrala gränsvärdessatsen. Det är rimligt
att använda den centrala gränsvärdessatsen här eftersom np(1 − p) = 20.8012 > 10
i binomialfördelningen.
P (X ≥ 30) = 1 − P (X ≤ 29)
29 − 26.78
X − 26.78
√
≤ √
= 1−P
20.80
20.80
≈ 1 − P (Z ≤ 0.49)
= 1 − Φ(0.49) = 0.31
där Z ∼ N (0, 1). Om man tar hänsyn till approximationskorrektionen får man
P (X ≥ 30) ≈ 1 − Φ(0.60) = 0.27.
Om man har valt t.ex 0.5 år som tidsenhet får man andra lösningsvärde som också
gäller. Viktig är att allt är kompatibel.
(5) P
Låt X1 , X2 , . . . , Xn vara de successiva tiderna mellan kundankomster och sätt Y =
n
i=1 Xi . Enligt centrala gränsvärdessatsen är då Y approximativt N (n · 10, 36 · n)fördelad. Att n kunder eller fler anländer under en 8-timmarsperiod är ekvivalent
med att summan av de n mellanliggande tiderna är högst 480 minuter. Vi skall
alltså beräkna n så att 0.10 = P (Y ≤ 480). Det ger
480 − 10n
480 − 10n
√
√
0.10 = P (Y ≤ 480) ≈ Φ
= −1.28 .
och
6 n
6 n
√
Sätt u = n och vi erhåller (480 − 10u2 )/6u = −1.28, d.v.s andragradsekvationen
10u2 − 7.68u − 480 = 0
√
2
vilken har lösningen
u = 0.384
√ ± 48 + 0.384 . Minustecknet ger ingen äkta lösning
√
varför u = n = 0.384 + 48.1475 = 53.6. Vi får alltså n = 54 eftersom n är ett
heltal.
(6) (a) Låt
A=
sin α cos α
− cos α sin α
X=
X1
X2
.
Det gäller att Y = AX. Det medför att
0
0
µY = A
=
0
0
och
CY
sin α cos α
1 0
= ACX A =
− cos α sin α
0 1
sin α cos α
sin α − cos α
=
=
− cos α sin α
cos α sin α
T
sin α − cos α
cos α sin α
1 0
.
0 1
Vi får
C−1
Y
=
1 0
0 1
.
(b)
1
1 2
2
fY (y1 , y2 ) =
exp − y1 + y2
.
2π
2