Transcript 2013-03-14 - Studentportalen

Prov i matematik
UPPSALA UNIVERSITET
Matematiska institutionen
Gunnar Berg,Inger Sigstam
Envariabelanalys del 2
Diverse program
2013-03-14
Skrivtid: 14.00-19.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Tabell på baksidan. Poäng: det
maximala poängantalet för varje uppgift är 5p. För godkänt krävs minst 18p, här inräknas
ev. bonuspoäng från kryssproblemen. Lösningarna skall vara försedda med förklarande
text.
1. Beräkna integralerna
a)
Z
π/2
3x cos x dx
b)
0
Z
3x cos x2 dx.
2. Bestäm den lösning till differentialekvationen
(1 + x2 ) y ′ = 1/y, x ≥ 0,
som uppfyller villkoret y(0) = 0.
3. Beräkna den generaliserade integralen
Z ∞
0
x2
dx
.
+ 6x + 5
4. Bestäm den lösning till differentialekvationen
y ′′ + 2 y ′ + y = 4 cos 2x − 3 sin 2x,
som uppfyller y(0) = 0, y ′ (0) = 0.
5. Bestäm volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av positiva
y−axeln, kurvan y = x3 + x och kurvan y = x2 + 1 roterar ett varv kring y−axeln.
6. Beräkna integralen
Z
1
4
√
x−2
dx.
4x − x2
7. Undersök konvergensen hos serierna
√
∞
X
n
,
a)
2
1
+
n
n=0
b)
∞
X
e1/n
.
n
n=1
8. En bastubadande person med kroppstemperaturen 40◦ C faller i en isvak ner i nollgradigt vatten. Efter fem minuter har kroppstemperaturen sjunkit till 35◦ C. Enligt
Newtons avsvalningslag är temperaturförändringen per tidsenhet proportionell mot
den aktuella kroppstemperaturen. Efter hur lång tid har kroppens temperatur sjunkit
till 25◦ C (vilket är livshotande)? Du behöver inte beräkna ett närmevärde till svaret.
LYCKA TILL!!