Sammanfattning av Fö 5

Transcript Sammanfattning av Fö 5

Sammanfattning av Fö 5
Rotation i planet
Lösningen till SE för en partikel med massan
m (eller reducerade massan µ) som rör sig i
en cirkulär bana med radien r, där V = 0 :





ψ=



ψ+ =
ψ− =
iml ϕ
e√
2π
ϕ
e−im
√ l
2π
h̄2 m2l
2µr 2
Eml =
ml = 0, ±1, ±2, ...
Där ml är ett rotationskvanttal, som följer ur villkoret att om
vågfunktionen skall vara entydig, krävs att den är periodisk på
cirkeln, så att
ψ(ϕ) = ψ(ϕ + 2π)
Rörelsemängdsmoment
Rörelsemängdsmoment och rotationskinetisk energi är (klassiskt):
L̄ = r̄ × p̄,
L̄2
E=
2I
där I = µr2 är tröghetsmomentet. Med rotation i xy-planet är
L̄ ⊥ xy-planet, och L̄ k z-axeln, så att |L̄| = lz .
Med p = λh och kravet att omkretsen är en heltalsmultipel av λ
för att ge en periodisk funktion blir Lz = ±mlh̄, och den
rotationskinetiska energin blir
Eml
L̄2 lz 2 h̄2m2l
=
=
=
2I
2I
2I
Både energin och rörelsemängdsmomentet är kvantiserade!
Lösningar till SE för rotation i 3D
Ansätt ψ(θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) . Lösningarna till SE är då
klotytefunktionerna (spherical harmonics) Yl,ml (θ, ϕ),
och egenvärdena till Ĥ ger de möjliga energierna:
h̄2
El = l(l + 1)
2I
Rotationen i två vinklar ger två rotationskvanttal:
Rörelsemängdsmomentkvanttalet l = 0, 1, 2...
Magnetkvanttalet
ml = 0, ±1, ..., ±l
Den totala energin för en rotor (där V = 0) ges av
|L|2 h̄2
= l(l+1)
E=
2I
2I
2
⇒
2
|L| = h̄ l(l+1)
⇒
r
|L̄| = l(l + 1)h̄
d.v.s. om E är bestämd är även |L|2 känd. Då är Yl,ml
egenfunktioner till både L̂2, och Ĥ, som alltså kommuterar.
Om ml begränsas av l och endast kan anta 2l + 1 värden innebär
detta dessutom att orienteringen hos en roterande kropp är
kvantiserad ⇒ Rymdkvantisering!
Är Yl,ml egenfunktioner till lˆx , lˆy eller lˆz ? Klotytefunktionerna har
formen Yl,ml (θ, ϕ) = Θ(θ)e±iml ϕ, och är egenfunktioner till lˆz ,
men inte till lˆx eller lˆy :
lˆz Yl,ml
∂
= Θ(θ) −ih̄  e±iml ϕ = ±mlh̄ Yl,ml
∂ϕ


⇒
lz = mlh̄
Slutsats:
Ĥ, L̂2 och lˆz kommuterar (och kan bestämmas samtidigt)
lˆx, lˆy och lˆz kommuterar inte (och kan inte bestämmas samtidigt).

Sammanfattning av Fö 5

Transcript Sammanfattning av Fö 5

Directory