Transcript AB2.6: Stokes` sats

AB2.6: Stokes’ sats
Låt x, y, z vara ett positivt orienterat cartesiskt koordinatsystem och
v(x, y, z) = v1 (x, y, z)i + v2 (x, y, z)j + v3 (x, y, z)k
en deriverbar vektorfunktion. Då kallas vektorfunktionen
curl v = ∇ × v =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
v1
v2 v3
!
=
!
!
∂v3 ∂v2
∂v1 ∂v3
∂v2 ∂v1
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
rotationen av v (rotationen av vektorfältet v.
Betrakta en yta S, som har en orienterad randkurva C som genomlöpes precis ett varv.
Antag att S har en enhetsnormalvektor n, som varierar kontinuerlig längs S, och är riktad
enligt skruvregeln: en normalvektor som rör sig längs C’s genoml, har ytan till vänster av sig.
Om nu F(x, y, z) är ett vektorfält (en vektorfunktion) av klassen C 1 (dvs, F(x, y, z) =
∂F1 ∂F2
[F1 , F2 , F3 ] är deriverbar och partiella derivatorna
,
, etc. är kontinuerlig i ett område
∂x ∂y
T i rummet sådant att S ⊂ T ), så gäller Stokes’ sats
Z Z
S
(curl F) · ndA =
Z
C
F · r0 (s)ds,
(1)
där n är enhetsnormalvektorn till S r0 (s) är enhetstangentvektorn till C, s är bågeslängden av
C och man integrerar längs C enligt skruvregeln.
Vi skall skriva Stokes’ sats komponentvis. Påminn att ytan S på parameterform ges av tre
ekvationer
x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v),
(u, v) ∈ D,
(2)
dvs av vektorfunktionen
r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k [(u, v) ∈ D],
(3)
där variabelna u, v kallas parametrar. Området D ligger i uv-planet och kallas parameterområde.
Då u, v genomlöper området D [(u, v) ∈ D], så genomlöper punkten
P = P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
en viss punktmängd S i xyz-rummet (en yta). Ekvationerna (2) kallas ytans ekvationer på
parameterform. (3) kallas ytans ekvation på vektorform och kan skrivas kort
r = r(u, v)
[(u, v) ∈ D],
där r(u, v) är ortsvektorn för den punkt på S, som motsvarar parametervärdena
~ v).
r(u, v) = OP (u,
(4)
Nu kan vi skriva Stokes’ sats komponentvis
Z Z "
R
!
!
!
#
∂F3 ∂F2
∂F1 ∂F3
∂F2 ∂F1
−
N1 +
−
N2 +
−
N3 dudv
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Z
C̃
(F1 dx + F2 dy + F3 dz),
där R [R = D i (4)] är parameterområdet i uv-planet begränsad av randkurvan C̃ som motsvarar
S med parametervektorfunktionen r(u, v) [(4)] och normalvektorn N(u, v) = [N1 , N2 , N3 ] =
ru × rv .
EXEMPEL 1 Verifiera Stokes’ sats
Verifiera Stokes’ sats för vektorfunktionen
F = [y, z, x] = yi + zj + xk
och ytan (paraboloid) S
z = f (x, y) = 1 − (x2 + y 2 ),
z≥0
Lösning. Kurvan C är cirkeln r(s) = [cos s, sin s, 0]. Enhetstangentvektor till C är r0 (s) =
[− sin s, cos s, 0]. Då får man kurvintegralen
Z
C
0
F · r (s)ds =
Z 2π
0
[sin s(− sin s) + 0 + 0]ds = −π.
Enligt Stokes’ sats, får vi
curl F =
!
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y
z
x
=
!
!
∂y ∂x
∂z ∂y
∂x ∂z
−
i+
−
j+
−
k=
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
−i − j − k = [−1, −1, −1].
Normalvektorn
N = grad (z − f (x, y)) = [2x, 2y, 1].
Vidare, beräknar vi skalärprodukten och får
curl F · N = [−1, −1, −1] · [2x, 2y, 1] = −2x − 2y − 1.
Bestäm dubbelintegralen genom att använda polara koordinater x = r cos θ, y = r sin θ:
Z Z
S
(curl F) · ndA =
Z Z
R
(−2x − 2y − 1)dxdy =
Z Z
R̃
(−2r cos θ − 2r sin θ − 1)rdrdθ,
där R̃ är cirkeln r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π. Vi har
Z Z
R̃
(−2r cos θ − 2r sin θ − 1)rdrdθ =
−2
Z 2π
cos θdθ
0
Z 1
0
rdr − 2
Z 2π
sin θdθ
Z 1
0
0
rdr −
Z 2π
dθ
0
Z 1
0
rdr = 0 + 0 − π = −π.
EXEMPEL 2 Beräkna en kurvintegral med hjälp av Stokes’ sats
Betrakta kurvintegralen
Z
C
F · r0 (s)ds,
där
F = [y, xz 3 , −zy 3 ] = yi + xz 3 j − zy 3 k,
och C är cirkeln
x2 + y 2 = 4,
z = −3.
Beräkna integralen direkt och med hjälp av Stokes’ sats.
Lösning. Låt en yta begränsad av (randkurvan) C vara ytan S : x2 + y 2 ≤ 4 som ligger
i planet z = −3. Då är normalvektorn till S n = k = [0, 0, 1] (dvs, en konstant vektor), och
Stokes’ sats ger
i
j
k
∂
∂
∂
curl F = ∂x ∂y
=
∂z
y xz 3 −zy 3
!
!
!
∂y ∂(−zy 3 )
∂(xz 3 ) ∂y
∂(−zy 3 ) ∂(xz 3 )
−
i+
−
j+
−
k
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
−3z(y 2 + xz)i + (z 3 − 1)k = [−3z(y 2 + xz), 0, z 3 − 1].
curl F · N = curl F · k = z 3 − 1
och
curl F · N|z=−3 = −33 − 1 = −28.
Då
Z Z
S
(curl F) · ndA =
Z
x2 +y 2 ≤4 z=−3
Z
(−28)dxdy = −28π22 = −112π.
PROBLEM 9.9.1
Beräkna ytintegralen
Z Z
S
(curl F) · ndA,
där F = [z 2 , 5x, 0] och S är kvadraten
0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, z = 1.
Lösning. Vi har
r(u, v) = [u, v, 1],
0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 0];
enhetsnormalvektorn
i j k
N = ru × rv = 1 0 0 = k = [0, 0, 1].
0 1 0
På ytan S,
F(r(u, v)) = F(S) = [1, 5u, 0] = i + 5uj.
Då
curl F =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
1
5x
0
!
=
!
!
∂1 ∂0
∂x ∂1
∂x
∂0
i+
j+5
k = 5k
−5
−
−
∂y
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
curl F · n = 5
Parameterna u, v genomlöper kvadraten R : 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1. Nu, kan vi skriva och
beräkna ytintegralen
Z Z
Z Z
curl F · ndA =
5dudv = 5.
S
R
Enligt Stokes’ sats, får vi
Z
Z 1
0
Z 1
0
C
F · r0 (s)ds =
F1 |y=0 dx −
1 · dx −
Z 1
0
Z 1
0
Z
C
(F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
F1 |y=1 dx +
1 · dx +
Z 1
0
Z 1
0
5 · dy −
F2 |x=1 dy −
Z 1
0
PROBLEM 9.9.3
Z Z
S
0
F2 |x=0 dy =
0 · dy = 1 − 1 + 5 − 0 = 5
(vi integrerade i planet z = 1).
Beräkna ytintegralen
Z 1
(curl F) · ndA,
där F = [ez , ez sin y, ez cos y] och S är cylindriska paraboloiden
z = y 2 , 0 ≤ x ≤ 4 0 ≤ y ≤ 2.
Lösning. Sätt x = u, y = v; då får vi z = y 2 = v 2 , och motsvarande parameterekvationerna
för den här cylindriska paraboloiden
r(u, v) = [u, v, v 2 ],
0 ≤ u ≤ 4 0 ≤ v ≤ 2.
Vidare
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 2v],
och normalvektorn
i j k
N = ru × rv = 1 0 0
0 1 2v
= −2vj + k = [0, −2v, 1].
Beräkna rotationen
curl F =
i
j
k
∂
∂x
z
∂
∂y
∂
∂z
z
e
e
z∂
=
z
e sin y e cos y
!
!
!
∂ez ∂ez cos y
∂ez sin y ∂ez
cos y ∂ez sin y
−
i+
−
j+
−
k=
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
−2ez sin yi + ez j.
På ytan S,
2
2
curl F = F(S) = ev [−2 sin v, 1, 0] = ev (−2 sin vi + j).
Då
2
curl F · N = −2vev .
Parameterna u, v genomlöper rektangeln R : 0 ≤ u ≤ 4 0 ≤ v ≤ 2. Nu, kan vi skriva och
beräkna ytintegralen
Z Z
Z Z 2
curl F · ndA =
−2vev dudv =
S
R
Z 4
−
du
0
Z 2
0
v2
2
e dv = −4
Z 4
0
et dt = −4(e4 − 1).
Enligt Stokes’ sats, får vi
Z
Z 4
0
F1 |z=0 dx −
Z 4
0
Z 4
0
Z 2
0
2
0
C
F · r (s)ds =
Z
C
(F1 dx + F2 dy + F3 dz) =
F1 |z=4 dx +
Z 2
1 · dx −
e4 · dx +
Z 4
0
0
2
(F2 + F3 z 0 (y))|x=4 dy −
Z 2
2
Z 2
0
(F2 + F3 z 0 (y))|x=0 dy =
2
(ey sin y + 2yey cos y)dy−
0
ey sin y + 2yey cos ydy = 4 − 4e4 + I − I = −4(e4 − 1).
PROBLEM 9.9.7
Beräkna kurvintegralen
Z
C
F · r0 (s)ds =
Z
C
(F1 dx + F2 dy + F3 dz),
där F = [−5y, 4x, z] och C är cirkeln
x2 + y 2 = 4, z = 1.
Lösning. Cirkeln ligger i planet z = 1; då är enhetsnormalvektorn n = k = [0, 0, 1].
Beräkna rotationen
i
j k
∂
∂
∂
=
curl F = ∂x ∂y ∂z
−5y 4x z
!
!
!
∂z
∂x
∂(−5y) ∂z
∂x ∂(−5y)
−4
i+
−
j+4
−
k = 9k.
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Då
curl F · n = 9,
och ytintegralen i Stokes’ sats ger kurvintegralen:
Z Z
curl F · ndA = 9
S
Z Z
dudv = 9π22 = 36π.
R
PROBLEM 9.9.9
Beräkna kurvintegralen
Z
C
0
F · r (s)ds =
Z
C
(F1 dx + F2 dy + F3 dz),
där F = [4z, −2x, 2x] och C är ellipsen
x2 + y 2 = 1, z = y + 1.
Lösning. Ellipsen ligger i planet z = y + 1; då är enhetsnormalvektorn
N = −j + k = [0, −1, 1]
eftersom
r(u, v) = [u, v, v + 1],
ru = [1, 0, 0],
rv = [0, 1, 1],
och en normalvektor till planet z = y + 1
i j k
N = ru × rv = 1 0 0 = −j + k = [0, −1, 1].
0 1 1
Vidare,
curl F =
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
=
4z −2x 2x
!
!
!
∂x
∂x
∂z
∂x
∂x
∂z
+2
−4
2
i+ 4 −2
j−2
k = 2(j − k).
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Beräkna skalärprodukten
curl F · N = [0, −1, 1] · [0, 2, −2] = −4.
Ytintegralen i Stokes’ sats över parametercirkeln R : u2 + v 2 ≤ 1 ger kurvintegralen:
Z Z
S
curl F · ndA = −4
Z Z
R
dudv = −4π.
Ellipsens ekvation kan också skrivas
√
(y 0 )2
x +
= 1, y 0 = 2y,
2
2
(observera att ellipsen ligger i planet S : z = y + 1), och normalvektorn till det här planet är
1
n = √ [0, −1, 1].
2
Då får vi
Z Z
1 Z Z
1 √
curl F · ndA = −4 √
dA = −4 √ π 2 = −4π,
S
2 S
2
eftersom integralen längs ellipsen S är lika med ellipsens area.