Transcript Mekanik 2
Mekanik 2
Live-L
A
TEX:ad av Anton Mårtensson 2012-05-08
I Newtonsk mekanik beskrivs rörelsen för en partikel under inverkan av en kraft av
p
˙ =
m
¨ =
F
Detta är ett postulat och grundläggande för all Newtonsk mekanik.
T ex =
M
fås ur ovanstående genom att dela upp en kropp i masselement och utnyttja stelkroppsvillkoret. Vi har också stött på ekvationen i diverse förklädnader.
•
Uttryckt i diverse olika koordinatsystem.
•
Arbete–energy-principen.
•
Impuls–rörelsemängd.
•
Impulsmoment–rörelsemängdsmoment.
Vi skall introducera en alternativ formulering av den klassiska mekaniken: analytisk mekanik.
Vi kommer att formulera Lagranges ekvationer och visa att dessa följer från en fundamental princip som kallas verkansprincipen.
Idag
•
Illustrerande exempel utan motivering.
•
Introducera nya begrepp.
•
Generaliserade koordinater.
•
Generaliserade hastigheter.
•
Generaliserade krafter.
•
Generaliserade rörelsemängder.
1
Exempel En massa fäst i en fjäder med en frihetsgrad.
Rörelseekvationen kan fås från Newtons andra lag:
F
=
ma ⇒ m
¨ =
− kx
Istället formar vi den till synes underliga kombinationen för systemets Lagrangian. I vårt fall är
T
= 1 2
mx
2 och
V L
= 1 2 =
T kx
2 .
− V
som vi kallar Sedan introducerar vi (omotiverat) Lagranges ekvation:
d
(
∂L
)
− dt ∂ ∂L ∂x
= 0 I vårt fall:
∂L
=
m ∂ ∂L
=
− kx ∂x ⇒ m
¨ +
kx
= 0 dvs samma som förut.
Generaliserade koordinater Antalet frihetsgrader bestämmer hur många rörelsevariabler som behövs för att beskriva det.
Om antalet frihetsgrader är
N
kallar vi varje uppsättning rörelsevariabler
q
1
, q
2
, · · ·
för en uppsättning generaliserade koordinater.
, q N
Exempel En stel kropp i planet har tre frihetsgrader. Vi kan använda (
x c , y c , θ
) erade koordinater där (
x c , y c
) relativt godtycklig axel.
beskriver masscentrums läge och
θ
som generalis kroppens rotation Generaliserade hastigheter Defineras intuitivt från de generaliserade koordinaterna.
v i
= ˙
i
Notera att enheten på
v i
beror på enheten hos
q i
.
2
Exempel Med polära koordinater (
r, ϕ
) fås generaliserade hastigheter som generaliserade koordinater för en partikel i planet
ϕ
˙ ) medan den verkliga hastighetsvektorn är
r, r ϕ
˙ ) .
Generaliserade krafter Studera ett system med siska koordinater
N x
1
, x
2
, · · ·
frihetsgrader. Detta kan beskrivas med
, x N
.
N
stycken karte Alternativt kan samma system beskrivas med en uppsättning generaliserade koor dinater
q
1
, q
2
, · · · , q N
.
Då de beskriver samma system måste det finnas en transformation mellan dessa.
x i
=
x i
(
q
1
, q
2
, · · · , q N
) =
x i
(
q
) (för enkelhetens skull bortses från tidsberoende) En förändring
dq
i rörelsevektorn
q
ger motsvarande förflyttning i alla
x i
enligt
dx i
=
j
=1
∂x ∂q i j dq j
Det infinitisemala arbetet
dW
är en summa av termer som uträttas av en kraft
F
under en sådan förflyttning
dW
=
i
=1 =
F j
=1
i dx i
=
F i i
=1 ( ∑
F i ∂x i ∂q j i
=1 )
j
=1
dq j ∂x ∂q i j dq j
=
j
=1
F j dq j F j
är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade koordinaten
q j
.
Exempel Betrakta en matematisk pendel med längd
l
. Välj vinkeln generaliserad koordinat.
ϕ
från vertikalaxeln som Antag att massan förflyttas vinkeln
dϕ
under inverkan av en kraft
F
. Den förflyttade sträckan blir
dr
=
l dϕ
ˆ
ϕ
och det uträttade arbetet
dW
=
F dr
=
F ϕ l dϕ
3
F ϕ
=
F ϕ l
Dvs
F ϕ
= koordinaten
F ϕ l ϕ
.
är den generaliserade kraften associerad med den generaliserade
Allmänn slutsats
Den generaliserade kraft som associeras med en vinkelkoordinat är ett vridmoment.
.
Om kraften är konservativ kan den skrivas i termer av en potential
F i
=
− ∂V ∂x i
Vad gäller för en generaliserad kraft?
F j
=
i
=1
F i ∂x i q j
=
i
=1
− ∂V ∂x i ∂x i ∂q j
=
− ∂V ∂q j
Kinetisk energi och generaliserad rörelsemängd Betrakta en partikel i rummet (dvs
N
= 3 ). Den kinetiska energin
T
= 1 2
m
∑
x i
) 2
i
=1 med transformation
x i
(
q
) (utan tidsberoende, fast det spelar ingen roll).
så
T
= ˙
i
1 2
m
=
d dt
(
x i
) =
i
=1
i
=1 [ ∑
∂x i q
˙
j ∂q j i
=1
∂x i q
˙
j ∂q j k
=1
∂x ∂q k i q
˙
k
] = 1 2
m j,k
=1
A jk
(
q
) ˙
j q
˙
k
med
∂x i ∂x i A jk
=
i
=1
∂q j ∂q k
Alltså kan
T
skrivas i matrisform
T
= 1 2
m q
˙
T A q
˙ där
A
är en symmetrisk matris.
4
Exempel Plan rörelse med polära koordinater (
r, ϕ
) eller med kartesiska koordinater (
x, y
) .
Transformationen är
x
=
r
cos
ϕ , y
=
r
sin
ϕ
Matriselementen för
A A rr
kan räknas ut =
∂x ∂x ∂r ∂r
+
∂y ∂y ∂r ∂r A ϕϕ
=
∂x ∂x ∂ϕ ∂ϕ
+
∂y ∂y ∂ϕ ∂ϕ
= = cos 2
ϕ
+ sin 2
ϕ
= 1
r
2 sin 2
ϕ
+
r
2 cos 2
ϕ
=
r
2
A rϕ
=
A ϕr
=
∂x ∂x ∂r ∂ϕ
+
∂y ∂r ∂y ∂ϕ ⇒ A
= cos
ϕ
(
− r
sin
ϕ
) + sin
ϕr
= ( 1 0
r
0 2 ) cos
ϕ
= 0 Den kinetiska energin blir =
T
= 1 2
m
(
r
˙ 1 2
m
(
r
˙
ϕ
˙ ) (
r
2
r
˙
ϕ
˙ ) ( 1 0 )
ϕ
˙ = 0
r
2 ) (
r
˙ ˙
ϕ
) 1 2
m r
2 +
r
2
ϕ
˙ 2 ) När man differentierar den kinetiska energin m a p en (vanlig) hastighet får man
∂T ∂
˙
i
=
m
˙
i
Vi definerar den generaliserade rörelsemängden
ρ i
=
∂T ∂ q
˙
i
Exempel Polära koordinater igen:
T
= 1 2
m r
2 +
r
2
ϕ
˙ 2 ) dvs generaliserade rörelsemängden är
ρ r
=
∂T ∂ r
˙
ρ ϕ
=
∂T ∂ ϕ
˙ =
m r
˙ =
mr
2
ϕ
˙ Dvs generaliserad rörelsemängd associerad med en vinkelkoordinat är ett rörelsemängdsmo ment.
5