Transcript Uppgift 6.12.pdf

ANDREAS REJBRAND
http://www.rejbrand.se
2012-05-11
Matematik
Uppgift 6.12
Deluppgift A
Vi skall beräkna
där
är ellipsskivan
.
Lösning: Notera att ellipsen kan parametriseras
Det är därför lämpligt att byta koordinatsystem i planet från kartesiska koordinater
”elliptiska koordinater”
enligt
Då svarar ellipsskivan
och
i
-planet mot rektangeln
) . Funktionalmatrisen för variabelbytet är
så funktionaldeterminanten är
i
till
-planet (d.v.s.
Vidare är integranden
Därför är
Anmärkning: Ett alternativt tillvägagångssätt är att först byta koordinater från
och
. I det nya koordinatplanet har vi då enhetsdisken
vanliga planpolära koordinater
med
två variabelbyten till ett enda när vi byter från
och
till
till
med
. Sedan inför vi
. I praktiken slår vi ihop dessa
ovan.
1/3
ANDREAS REJBRAND
http://www.rejbrand.se
2012-05-11
Matematik
Deluppgift B
Vi skall beräkna
där
.
Lösning: Första olikheten
kan skrivas
ellipsen med halvaxellängderna
resp.
, så vi skall alltså vara utanför
. Andra olikheten
så vi skall vara innanför ellipsen med halvaxellängderna
under linjen
kan skrivas
resp. . Dessutom skall vi befinna oss
. Rita området!
Om vi byter till elliptiska koordinater enligt
så svarar området
i
-planet mot ett väldigt enkelt område
befinna oss mellan ellipserna i
-planet betyder att
. Vi har alltså att
i
-planet. Kravet att vi skall
. Kravet att
är en rektangel i
betyder att
-planet.
Anmärkning: Precis som i föregående uppgiften kan vi dela upp koordinatbytet i två steg. Först byter
vi från
till
enligt
har
. Då svarar ellipserna mot två koncentriska cirklar, så vi
. Vidare är det sista villkoret
planpolära koordinater
och
och
enligt
och
nu helt enkelt
. När vi sedan inför
ser vi mycket tydligt att
.
Funktionaldeterminanten är
så vi har
2/3
ANDREAS REJBRAND
http://www.rejbrand.se
2012-05-11
Matematik
Deluppgift C
Vi skall beräkna
där
Lösning: Notera att
så lämpligen inför vi nya koordinater enligt
så att ellipsskivan
heter
i det nya koordinatsystemet. Vi skall alltså befinna oss innanför enhetscirkeln i
ger
området i
medan villkoret
-planet. Gör det!
ger
-planet. Villkoret
. Det är nu mycket lätt att rita det motsvarande
(Notera att det inversa koordinatbytet är
Funktionaldeterminanten för koordinatbytet är
. Vi inför nu planpolära koordinater enligt
(med funktionaldeterminant ). De motsvarande området i
eftersom
-planet är
. Vi har alltså
3/3