Transcript GENERALISERADE INTEGRALER

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade integraler
GENERALISERADE INTEGRALER
============================================================
b
När vi definierar Riemannintegral
∫ f ( x)dx antar vi att följande två krav är uppfyllda:
a
V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ± ∞ .
V2 . Funktionen f (x) är begränsad i intervallet [a,b]
Definition. Om minst en av ovanstående villkor V1, V2 inte är uppfylld säger vi att
b
integralen
∫ f ( x)dx är en generaliserad integral.
a
1. Generaliserade integraler med oändligt integrationsintervall:
∞
∫
∞
b
∫
f ( x)dx ,
f ( x)dx och
∫ f ( x)dx .
−∞
−∞
a
∞
* Vi definierar
∫
X
f ( x)dx med hjälp av gränsvärdet lim
X →∞
a
∫ f ( x)dx .
a
X
När vi beräknar lim
X →∞
∫ f ( x)dx kan tre fall förekomma:
a
X
i) lim
X →∞
∫ f ( x)dx =A
, där A är ett reellt tal.
a
∞
I detta fall säger vi att integralen konvergerar, har värdet A, och skriver
∫ f ( x)dx =A
a
X
ii) lim ∫ f ( x)dx = ∞ (eller − ∞ ) . Vi säger att integralen divergerar.
X →∞
a
X
iii) lim
X →∞
∫ f ( x)dx existerar inte.
Vi säger att integralen divergerar.
a
b
** På liknande sätt definieras
∫ f ( x)dx
samt konvergensen / divergensen av denna integral.
−∞
∞
*** Vi säger att
∫ f ( x)dx
konvergerar om och endast om både
−∞
0
∞
−∞
0
∫ f ( x)dx och ∫ f ( x)dx
konvergerar.
Uppgift 1. Undersök om följande integraler är konvergenta och ange i så fall deras värden.
1 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
∞
∫e
a)
−3 x
∞
b)
dx
0
∫
2
∞
1
dx
x2
∫ x dx
2
c)
2
∞
d) ∫ cos(3x)dx
0
X
X
a)
Generaliserade integraler
∫e
−3 x
0
⎡ e −3 x ⎤
e −3 X
1
.
−
dx = ⎢
⎥ =
−3 −3
⎣ − 3 ⎦0
⎡ e −3 X 1 ⎤
1 1
lim ⎢
+ ⎥ =0+ =
X →∞ − 3
3⎦
3 3
⎣
∞
∫e
Integralen konvergerar och har värdet
−3 x
0
X
b)
∫
2
1
dx
x2
X
1
dx = .
3
⎡ x −1 ⎤
−1 1
1
⎡ − 1⎤
= ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ = 2 + →
då X → ∞
X
2
2
⎣ − 1 ⎦2 ⎣ x ⎦2
X
∞
1
∫x
Integralen konvergerar och har värdet
dx =
2
2
1
.
2
X
X3 8
c) ∫ x dx =
−
3 3
2
2
⎡ X 3 8⎤
2
=
lim
− ⎥=∞
x
dx
⎢
∫2
X →∞
3⎦
⎣ 3
Integralen divergerar.
∞
⎤
⎡ sin(3 x) ⎤ X ⎡ sin(3 X )
=⎢
− 0⎥
⎥
3 ⎦0 ⎣ 3
⎦
X
d)
∫ cos(3x)dx = ⎢⎣
0
sin( 3 X )
existerar inte.
X →∞
3
lim
∞
Därmed integralen
∫ cos(3x)dx
divergerar.
0
Uppgift 2. Undersök om följande integraler är konvergenta och ange i så fall deras
värden.
∞
a)
∫
1
1
dx
x1.2
∞
b)
1
∫3 x dx ,
∞
c)
1
∫x
0.8
1
Lösning.
2 av 8
dx
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
X
a).
∫
1
Generaliserade integraler
X
⎡ x −0.2 ⎤
−5
⎡ −5⎤
= ⎢
⎥ = ⎢ 0.2 ⎥ = 0.2 + 5 → 5
X
⎣ − 0.2 ⎦ 1 ⎣ x ⎦ 1
1
dx
x 1 .2
X
∞
1
∫x
Integralen är konvergent och har värdet
1.2
då X → ∞
dx = 5 .
1
X
b)
1
∫ x dx = [ln x]
X
3
= ln( X ) − ln 3 → ∞ då X → ∞
3
∞
Integralen
1
∫ x dx
är
divergent
3
X
c)
∫
1
X
1
dx
x 0 .8
⎡ x 0.2 ⎤
0.2
= ⎢
⎥ = 5x
⎣ 0.2 ⎦ 1
[
]
X
= 5 X 0.2 − 5 → ∞
1
då X → ∞
integralen divergerar.
Anmärkning. Man kan generalisera ovanstående uppgift till följande viktiga resultat
(som vi ofta använder i samband med nedanstående jämförelsesats)
∞
∫
1
1
dx
xp
konvergerar om p > 1
divergerar om p ≤ 1
--------------------------------------------------------------------------------------Om funktionen f ( x) ≥ 0 för x ≥ a då är arean av det oändliga området
R = {( x, y ) : x ≥ a, 0 ≤ y < f ( x)} lika med
∞
∫ f ( x)dx .
a
Uppgift 3. Beräkna arean av området R = {( x, y ) : 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ y < f ( x )}
då
a) R = {( x, y ) : 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ y <
b)
1
}
x +1
2
R = {( x, y ) : −∞ < x < ∞, 0 ≤ y <
1
}
x +1
2
2 arctan x
}
x2 +1
c)
R = {( x, y ) : 0 ≤ x < ∞, 0 ≤ y <
d)
1
R = {( x, y ) : 1 ≤ x < ∞, 0 ≤ y < }
x
3 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade integraler
Svar:
∞
a) Arean =
∫x
0
∞
1
π
π
dx = [arctan x] = lim [arctan X − arctan 0] = − 0 =
0 X →∞
2
2
+1
2
b)
∞
∞
1
1
1
π
dx = ∫ 2
dx + ∫ 2
dx = 2 = π
Arean = ∫ 2
2
−∞ x + 1
−∞ x + 1
0 x +1
0
c) Ledning :
Med hjälp av substitutionen arctan x = t ⇒
får vi
∫
2 arctan x
dx = (arctan x) 2 .
2
x +1
∞
Arean =
1
dx = dt
x +1
2
2 arctan x
π2
2 ∞
dx
=
x
=
(arctan
)
∫0 x 2 + 1
0
4
[
∞
d) Arean =
1
]
∞
∫ x dx = [ln x] 1 = ∞ .
1
4 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade integraler
2. Generaliserade integraler med en obegränsad integrand:
b
∫ f ( x)dx
* Vi betraktar
där f (x) är obegränsad i ändpunkten x=b ( mer precis, f (x) är
a
obegränsad i varje omgivning till b) .
X
Vidare antar vi att integralen
∫ f ( x)dx
existerar för alla X där a < X < b
a
X
∫a f ( x )dx .
∫ f ( x )dx med hjälp av gränsvärdet Xlim
→b
b
Vi definierar
−
a
X
När vi beräknar
lim
X → b−
∫ f ( x )dx kan tre fall förekomma:
a
X
i)
lim
X →b −
∫ f ( x )dx = A ,
där A är ett reellt tal.
a
b
I detta fall säger vi att integralen konvergerar, har värdet A, och skriver
∫ f ( x )dx =A
a
X
ii)
lim
X →b −
∫ f ( x )dx = ∞
(eller − ∞ ) . Vi säger att integralen divergerar.
a
X
iii)
lim
X →b −
∫ f ( x )dx
existerar inte.
Vi säger att integralen divergerar.
a
b
** På liknande sätt , med hjälp av
lim ∫ f ( x )dx , definieras f ( x )dx samt
∫
X →a +
b
X
a
konvergensen / divergensen av denna integral om integranden f (x) är obegränsad i
ändpunkten a.
b
*** Om f (x) är obegränsad i en punkt c som ligger mellan a och b då är
∫ f ( x )dx
a
konvergent om och endast om både
c
b
a
c
∫ f ( x )dx och ∫ f ( x )dx
5 av 8
konvergerar; i detta fall
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
b
c
b
a
a
c
Generaliserade integraler
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx .
Uppgift 4.
i) Förklara varför följande integraler är generaliserade och
ii) bestäm om integralerna är konvergenta.
2
a)
∫
0
1
dx
x1/ 3
2
b)
∫
0
1
dx
x3
2
1
c) ∫
dx
( 2 − x )1 / 2
0
2
d)
1
∫ | x −1|
1/ 2
dx
0
Lösning:
2
a) i)
1
∫x
1/ 3
dx är en generaliserad integral eftersom integranden är obegränsad inom intervallet
0
[0,1]. { Integranden
2
ii)
∫
X
1
→ ∞ om x → 0 + }
x1 / 3
1
x2/3 2 3 2/3
3
dx = [
] = [2 − X 2 / 3] → ⋅2 2 / 3 om X → 0 + .
1/ 3
x
2/3 X 2
2
2
Därmed konvergerar integralen och har värde
0
2
b) i)
1
∫x
3
1
∫x
1/ 3
3
dx = ⋅22 / 3 .
2
dx är en generaliserad integral eftersom integranden
0
[0,2]. { Integranden
1
→ ∞ om x → 0 + }
x3
6 av 8
1
är obegränsad i intervallet
x3
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
2
ii)
∫
X
Generaliserade integraler
1
1
1
1 2
dx
=
[
−
] =[ − +
] → ∞ om X → 0 + .
3
2
x
2x X
8 2X 2
Integralen divergerar.
c)
2
i)
1
∫ (2 − x )
1/ 2
dx
är en generaliserad integral eftersom integranden är obegränsad i
0
intervallet [0,2]. { Integranden
1
→ ∞ om x → 2 − }
( 2 − x )1 / 2
2
ii) Svar: Integralen konvergerar,
1
∫ (2 − x )
1/ 2
dx = 2 2 .
0
2
d)
1
∫ | x −1|
1/ 2
dx är en generaliserad integral eftersom integranden är obegränsad i
0
intervallet [0,2]. { Integranden
1
ii) Från f ( x ) =
| x − 1 |1 / 2
1
→ ∞ om x → 1 }
| x − 1 |1 / 2
1
⎧
⎪⎪ (1 − x )1 / 2
=⎨
1
⎪
⎪⎩ ( x − 1)1 / 2
0 ≤ x <1
1< x ≤ 2
har vi
7 av 8
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade integraler
1
[
2
[
]
1
1
1
1/ 2 1
dx
=
dx
=
−
2
(
1
−
x
)
=2
∫0 | x − 1 |1/ 2
∫0 (1 − x )1/ 2
0
]
2
1
1
1/ 2 2
dx
=
∫1 | x − 1 |1/ 2
∫1 ( x − 1)1/ 2 dx = 2( x − 1) 1 = 2 .
Alltså, båda integraler
1
2
0
1
∫ f ( x )dx , ∫ f ( x )dx
2
konvergerar, därmed konvergerar
0
har värdet
2
∫
0
1
2
0
1
∫ f ( x )dx
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx =4
8 av 8
och