Transcript Fysikalisk optik

Fysikalisk optik Facit Fotometri 1) Belysningen på golvet ges av flödet som träffar golvet/golvets area. Det ger att det totalt behövs Φv = 300 ⋅ 3, 4 ⋅ 6,0 = 6120 lm . Det motsvarar 21 spotlights. (Det är bättre med lysrör!). 2) För en diffus yta gäller Φv (från duken) = π Lv A , där A är filmdukens area. Detta ger Φv (från duken) = 44000 lm . 90% av flödet mot duken reflekteras: Φv (mot duken) = 48000 lm . 3) Belysningen på marken ges av Ev =
I v (α )⋅cos( i )
r2
, där i är infallsvinkeln mot marken och r är avståndet från lampan. Ljuskällan är isotrop så Iv är oberoende av α. Från belysningen rakt under lampan får vi att I v = 750 cd . Tio meter bort får vi r = 102 + 52 = 11, 2 m och i = arctan(10 / 5) = 63, 4° . Detta ger belysningen 2,7 lux. 4) Belysningen ges av Ev =
I v cos( i )
r2
, där I v = Φv / Ω är ficklampans ljusstyrka, i är infallsvinkeln mot väggen som vi antar är 0˚, r=5 m och Φv = 200 lm . Rymdvinkeln ges av Ω = 2π (1 − cos(6°)) = 34, 4 msr , vilket ger Ev=230 lux. 5) 80% av flödet mot pappret, dvs. Φv = 32 lm , reflekteras. För en diffus yta gäller Φv = π Lv A , där A är papprets area. Detta ger Lv = 163 cd/m 2 . 6) Om 800 lumen träffar en yta som är 1,2 m x 1,8 m = 2,16 m² blir belysningen 400 lux. Luminansen ges då av Lv =
Rdiffus E v
π
=
0,85 ⋅ 400 lux
π
= 100 cd/m² 7) Flödet är i bägge fallen detsamma: Iv ≡
Φv
Ω
πu 2
⇒ I v ,2 = 1 I v ,1 = 1 2 I v ,1 = 85000 cd Ω
Ω2
π u2
8) Belysningen är direkt prop mot ljusstyrkan (om alla avstånd är lika). I det ena fallet är ljusstyrkan given och i det andra är den 110 lumen/2π ster=17.5cd. 9) Luminansen hos bordsytan är direkt proportionell mot belysningen. Om avståndet mellan källa och bord ökas en faktor 1.5 kommer belysningen att minska en faktor 1.52=2.25. Luminansen blir alltså 60cd/m²/2.25=26,7cd/m² 10) Källans halva toppvinkel θ=7°, rymdvinkel Ω = 2π (1 − cosθ ) = 0.047 sr, yta A = πr 2 = 0.018m 2 samt totalt flöde i rymdvinkeln (Φ v ) Ω = 170 ⋅ 0.1 = 17lm . Detta ger I v = (Φ v ) Ω / Ω = 360cd och Lv = I v / A = 20500cd/m 2 . 11) För att månfararen skall kunna se att ytan är upplyst måste belysningen vara tillräckligt 12)
13)
14)
15)
stor. Belysningen på månytan ges av E = I / d 2 , där I är ljusstyrkan hos källan och d är avståndet till månen. Alltså behövs en hög ljusstyrka. 600 lm är flödet från ficklampan. 10,000 cd är ljusstyrkan, dvs ljusflödet per rymdvinkel. Vad man behöver göra är alltså att mäta upp den rymdvinkel som ficklampan med 600 lm sprider ljuset i. Exempelvis genom att mäta diametern D på ljusfläcken när man lyser på en vägg på avståndet L från ficklampan. Ljusstrålens halva öppningsvinkel θ ges då av tan θ = D / 2 L . Rymdvinkeln får man sedan ur Ω = 2π (1 − cosθ ) och ljusstyrkan blir 600 lm/Ω. Exempel: D=1m, L=4m ger Ω=0.0485 sr och 600 lm/Ω ≈ 12,000 cd. Pappret är en Lambertspridare vilket betyder att luminansen Lv hos det reflekterade ljuset är oberoende av betraktningsvinkeln. Ljusstyrkan avtar med vinkeln enligt: Iv = LvAcosθ, där A är papperets area. (a) Ljusflödet Φv genom pupillen ges av Φv = IvΩ, där Ω är puillens rymdvinkel sett från papperet, Ω = pupillarea/avstånd2. Vi får för person A: Φv(A) = LvAa/25 och för B: Φv(B) = LvAcosθa/34, där a är pupillarean. Flödet för A blir större än för B. (b) Belysningen på näthinnan beror bara på luminansen och pupillens storlek varför belysningen är lika för de båda personerna. Detta kan till exempel visas genom att räkna ut flödet och arean i de båda fallen. Flödet ändras, men lika mycket som arean, så därför blir belysningen samma. Flödet in genom IP bevaras och kommer ut genom UP. Diametern på UP är 7 ggr mindre än IP och således är arean 49 gånger mindre. Det gör att belysningen ökar med faktorn 49 ggr. Hur ljust något ser ut beror på luminansen. Skärm 2 ser alltså 500/420=1,2 ggr ljusare ut. 16) Belysningen ges av Ev =
I v (θ )cos( i )
r2
, där I v (θ ) = Lv A cos(θ ) är skärmens ljusstyrka i riktningen θ , A är skärmens area, Lv är skärmens luminans, i (= θ ) är infallsvinkeln mot bordet och r är avståndet till bordet. Enkel geometri och uträkning ger Ev=2,9 lux, 2,7 lux, 2,1 lux, 1,6 lux, 1,1 lux samt 0,7 lux i de olika punkterna. Dispersion och prismaeffekt 17) Med formeln för tunn lins kan vi räkna ut det till följande: blå, F=3,923 D och f’=25,49 cm; gul, F=3,878 D och f’=25,79 cm; röd, F=3,855 D och f’=25,94 cm. 18) Dispersion. vd = (nd − 1)α = 2,1° . vF − vC
vd
= V1d ger vF − vC = 0,032° = 1,9' . 19) På himlen infaller vitt ljus. Ljus med lång våglängd (rött) går rakt genom himlen, medans det blåa ljus sprids av Rayleigh‐spridning. Mycket mer blått sprids på detta sätt, eftersom Rayleigh‐spridning beror på inversen av våglängden upphöjt till fyra. Därför ser vi, när vi tittar på himlen nedanifrån, mer spritt blått än rött ljus. Mot blått glas och blått papper infaller vitt ljus, där de röda delarna absorberas i högre utsträckning än de blå. Alltså transmitteras (för glas) eller reflekteras (för papper) en högre andel blått, och de ser blåa ut. 20) Vi kan räkna ut (y)/f’=tan(v). Med v=(n‐1)α=6,2° blir y=20tan(6,2)=2,17 cm. 21) a) Hälften av styrkan i varje yta. Med formeln för sfärisk gränsyta blir F=(n’‐n)/r så blir i det högbrytande fallet r=‐0.296 och i det lågbrytande fallet r=‐0.268. Med sagformeln r=y2/s blir s=0.00135 respektive 0.00149. Totalt sag blir dubbelt så stort, men procentuella skillnaden blir 9,4 %. b) Med v=tan‐1(c*F) blir v=5,71°. c) Relativ dispersion ger w=(vF‐vC)/vD, och w=1/Vd. Med vD=5,71° blir vF‐vC=0,571°, 0,190° samt 0,095° för Abbe‐tal 10, 30 och 60. Således märks det endast vid Abbe‐tal 10. Polarisation 22) Brewstervinkel! Ljus polariserat i infallsplanet reflekteras inte. tan(62°) =
nglas
1
ger nglas=1,9. 23) Genom första filtret kommer 50 % av solljuset igenom och blir då polariserat: I1 = I 0 ⋅ 0,5 . 2
Transmissionen genom det följande filtret ges av malus lag: I 2 = I1 cos (θ ) , där θ är vinkeln mellan filtrens genomsläppsriktningar. I 2 / I 0 = 0, 25 ger θ = 45° . 24) Brewstervinkeln (från luft till glas) ges av i = ib = arctan(n) = 59,5° . Reflektansen för 2
2
vinkelrätt polariserat ljus ges av R⊥ = sin (i − i ') / sin (i + i ') = 0, 24 . Transmittansen vid varje yta ges alltså av T⊥ = 1 − R⊥ = 0,76 . Tio ytor ger Ttot = T⊥ = 7 % . Inget av det parallellt polariserade ljuset reflekteras förstås, eftersom plattorna står i brewstervinkel. 25) Fresnels formler! Ljuset polariserat vinkelrätt mot infallsplanet ( ⊥ ‐ljus). Brytningslagen 10
ger i ' = arcsin(sin(i ) / n ') = 25, 0° . R⊥ =
sin 2 ( i − i ')
sin 2 ( i + i ')
= 0, 08 . 8% reflekteras alltså i varje yta, totalt ca 16%. 26) Genom första filtret kommer I 0 / 2 , där I 0 är infallande intensitet. Malus‐lag ger I 0 / 2 ⋅ cos 2 (45°) = I 0 / 4 efter filter nr 2. Malus‐lag ger I 0 / 4 ⋅ cos 2 (45°) = I 0 / 8 efter filter nr 3. 27) Det enda rimliga sätt ljus kan polariseras på vid reflektion är om denna sker vid Brewstervinkel, dvs i detta fall ska infallsvinkeln vara 57,2°, vilket gör att den sökta vinkeln ska vara 147,2°. 28) Vid i = 60 ° ger brytningslagen i ' = arcsin(sin(i ) / n' ) °. Fresnel's formler ger reflektions‐
koefficienterna: R // = [tan(i − i ' ) / tan(i + i ' )] och R⊥ = [sin(i − i ' ) / sin(i + i ' )] . Fönsterrutan har två sidor vilket ger att totalt reflekterat //‐ljus ges av 2
2
R1 ≈ R// + (1 − R// )2 R// = 0.0036 och reflekterat ⊥ ‐ljus av R1 ≈ R⊥ + (1 − R⊥ )2 R⊥ = 0.30 (Ingen interferens!). Eftersom infallande ljuset är opolariserat blir andelen reflekterat ljus medelvärdet av reflektanserna: Rtot = ( R1 + R2 ) / 2 = 0.15 =15%. Antireflexbehandling 29) Reflektans vid destruktiv interferens (antireflex) ges av Rmin = R1 + R2 − 2 R1 R2 = 0, 003 , där R1 = ( n f − 1) 2 /( n f + 1) 2 = 0, 0255 och R2 = ( ng − n f ) 2 /( ng + n f ) 2 = 0, 0108 . Svar: 0,3%. 30) Antireflexskiktet bygger på att man får två reflexer som är ungefär lika starka som kan interferera destruktivt. Uteslutningsmetoden: n=1,35 ger nästan ingen reflex mellan vatten och AR‐skikt, n=1,70 ger nästan ingen reflex mellan AR‐skikt och substrat. n=1,91 ger alldeles för stark reflex mellan vatten och AR‐skikt. Alltså: n=1,51. 31) AR‐skiktets tjocklek är λIR / 4n f . Det ger en optisk vägskillnad på λIR / 2 och således en fasskillnad på ΔΦ = (2π / λIR ) ⋅ (λIR / 2) = π för IR‐ljuset. För synligt ljus skall fasskillnaden bli ΔΦ = (2π / λSynligt ) ⋅ (λIR / 2) = 2π för konstruktiv interferens. Det ger λSynligt = λIR / 2 = 532 nm . 32) För att reflexerna ska kunna släcka ut varandra ska reflexen från ytan: glas 1 mot skiktet, och reflexen från ytan: skiktet mot glas 2 vara ungefär lika. För att detta ska uppnås måste brytningsindex i skiktet ligga mellan de bägge omgivande index. Detta är egentligen bara uppfyllt för 1,80. (Egentligen ska skiktindex indealt vara n1 n 2 = 1,80 . Det stämde alltså precis, men den uträkningen behövs inte för full poäng) 2
2
⎛ 2,24 − 1 ⎞
⎛ 1,50 − 2,24 ⎞
33) R1 = ⎜
⎟ = 0,146 R2 = ⎜
⎟ = 0,039 ⎝ 2,24 + 1 ⎠
⎝ 1,50 + 2,24 ⎠
Rtot = R1 + R2 + 2 R1 R2 = 0,34 34) Fasskillnaden ges av ΔΦ =
2π
λ
2n f d cos(0°) + π − π . Interferensminimum då ΔΦ = (2m + 1) ⋅ π . Detta ger λ =
4n f d
2 m +1
= 530 nm, 180 nm, ... Synligt ger svaret 530 nm. 35) Interferens i tunt skikt. Ljus rand betyder att tjockleken just där ger konstruktiv interferens för laservåglängden. ΔΦ = 2λπ 2nd cos(0°) + 0 − π = m ⋅ 2π ger d ljus rand =
λ
4n
(2m + 1) . Med 4 μm blir m=18,4 och med 4,5 µm blir m=20,8. Däremellan finns heltal m=19 och m=20. Man ser alltså 2 ljusa ränder. 36) Låt R1 vara reflektansen i gränsytan mellan luft och Hafn... och R2 reflektansen mellan Hafn.. och glas. Då blir ⎛ 2.8 − 1.5 ⎞
⎛ 2.8 − 1 ⎞
R1 = ⎜
⎟ = 0.091
⎟ = 0.224 och R2 = ⎜
⎝ 2.8 + 1.5 ⎠
⎝ 2.8 + 1 ⎠
2
2
Vi får då vid konstruktiv interferens Rtot = R1 + R2 + 2 R1R2 = 0.60 37) Det reflekterade ljuset har interferensmaximum då 2nd = mλ och interferensminimum då 2nd = (2m + 1)λ (m heltal ≥ 0). Detta ger att följande våglängder har maximal reflektans: λmax = 2nd / m = ∞, 1173 nm, 586.5 nm, 391 nm etc. Minimal reflektans: λ min = 4nd /(2m + 1) = 2346 nm, 782 nm, 469 nm, 335 nm etc. Inom det synliga området finns ett maximum vid 586.5 nm, vilket motsvarar gult. 38) Optimerat för λrött=635 nm betyder att tjockleken är d=λrött/4n. Fasskillnaden för det blå ljuset vid reflektionen blir ΔΦ =
2π
λblått
2nd = π
λrött
λblått
. Reflektanserna blir R1=(1.38‐
1)2/(1.38+1)2=0.025 och R2=(1.7‐1.38)2/(1.7+1.38)2=0.011. Total reflektans R= R1+ R2+2
R1 R2 cos ΔΦ =3.4%. Diffraktion och upplösning 39) Diffraktion i hålet! Minsta upplösta objektstorlek ges av hmin = 1,22b λl = 4, 7 mm , där b i detta fall är 1 mm, l = (−)7, 0 m och vi valt λ=555 nm. I figuren ser man dock att avståndet mellan punkterna motsvarar det tre gånger avståndet, dvs. 14,1 mm. 40) Diffraktion! Minsta upplösta vinkel för ögat ges av w = 1,22b λ = 1, 4 mrad , där b i detta fall är 0,5 mm och vi valt λ=555 nm. h=1,2 m ger l = h / w = 900 m . 41) Diffraktion i objektivlinsen! Minsta upplösta objektstorlek ges av hmin = 1,22b λl = 3, 6 km , där b i detta fall är 70 mm, l = (−)380000 km och vi valt λ=555 nm. 42) Punkterna är separerade h = 320 mm / 1280 = 0,25 mm Om vi använder Rayliegh’s upplösningkriterium ska punkterna vara separerade en vinkel u=
1,22λ
h
hD
⇒l = =
= 56 cm D
u 1,22λ
λl '
43) Diffraktion. Minsta upplösta avstånd i bildplanet ges av h 'min = 1,22
n ' b = 4 μ m . Reducerad ögonmodell och våglängden λ=555 nm ger b=2,8 mm. 44) Diffraktion, bildstorleken ges av diametern i airy‐disken. Radien i airy‐disken ges av formeln y ' =
0,61λ
NA '
som gäller i alla optiska system. NA ' = n 'sin(u ') . Mätning i figuren ger u’=14˚ och 2y’=2,8 μm. 45) Gränsen för hur bra det går att se beror på diffraktionen. Minsta upplösta vinkel (sett från örnögat) är α =
1.22λ
1.22λh 1.22 ⋅ 5 ⋅10 −7 m ⋅ 400m
⇒ xmus = αh =
≈
= 2.4cm Dvs några D
D
0.01m
cm. 46) Om vi inte kan se de individuella punkterna måste detta bero på ögats begränsade upplösningsförmåga. Om vi antar att ögats pupill är b=3mm blir minsta upplösta λ
synvinkel w = 1.22
b = 0.22mrad . För att synvinkeln mellan två punkter (avstånd h=0.42m/625) skall bli mindre än denna vinkel krävs att avståndet till TV’n är något större än d=h/w=3m. (andra pupilldiametrar ger andra svar) 47) Upplösningen måste i detta fall begränsas av diffraktionen i ögats pupill. Med ögat som en enkel sfärisk gränsyta med diametern b=2mm, får vi minsta upplösta synvinkel (utanför λ
ögat) som sin w = 1.22
b . Med λ=550nm ger det w=0.33 mrad. För att objektstorleken h=0.01mm skall uppta synvinkeln w efter luppen måste luppens fokallängd vara f ' = h / tan w = 30mm . Alltså Flupp=+33D. 48) När bländartalet minskar till hälften ökar systemets aperturstopp, inträdespupill och utträdespupill och alla andra diametrar på strålknippet till dubbel storlek. (a) Bildstorleken ges av diffraktionen. Radien i fläcken ges av y ' =
1.22 λf '
b
, där b är diametern på strålknippet vid bakre huvudplanet. Ökar b till det dubbla minskar fläckens radie till hälften. Arean av bilden minskar alltså med en faktor 4.(b) Ljusflödet in i objektivet är direkt proportionell mot arean av inträdespupillen. f/5.5 ger alltså 4 ggr större ljusflöde till bilden(flödet bevaras genom systemet). (c) Belysning = ljusflöde/area ger att belysningen blir 16ggr större.