Transcript Uppgifter och Lösningar

2
2.1
2.1.1
Andra lektionen
Impulssvar
En liten krets
Uppgift
Ber¨akna impulssvaret f¨or kretsen i figur 1 genom att ber¨akna hur y(t) beror av
x(t).
R
i(t)
x(t)
C
y(t)
Figur 1: F¨orsta ordningens l˚
agpassfilter.
L¨
osning
Utsignalen y(t) beror av C:s laddning Q(t):
Q(t)
C
Str¨ommen i(t) transporterar laddning till C:
y(t) =
dQ(t)
dy(t)
=C
dt
dt
Str¨ommen ger ett f¨orh˚
allande mellan x(t) och y(t):
i(t) =
x(t) = y(t) + i(t)R
(1)
(2)
(3)
Kombineras ekvationerna (2) och (3) f˚
as
1
1
dy(t)
x(t) =
y(t) +
(4)
RC
RC
dt
Denna differentialekvation kan l¨osas med hj¨alp av integrerande faktor: multiplicera b˚
ada sidor i ekvation (4) med exp(t/RC) och skriv om h¨ogerledet.
´
1
1
1
d ³
(5)
e RC t x(t) =
y(t)e RC t
RC
dt
Om vi f¨oruts¨atter att x(0) = y(0) = 0 kan vi l¨osa ekvation (5) genom att
integrera b˚
ada sidor fr˚
an τ = 0 till τ = t.
y(t)e
1
RC
t
=
Zt
1
1
e RC τ x(τ )dτ
RC
0
2
(6)
y(t)
=
Zt
1 − 1 (t−τ )
e RC
x(τ )dτ
RC
(7)
0
Om x(t) = 0 och h(t) = 0 f¨or t < 0 kan vi se att ekvation (7) ¨ar en faltning:
y(t) =
Zt
0
h(t − τ )x(τ )dτ
(8)
d¨ar impulssvaret h(t) ges av
h(t) =
½
1
1 − RC
t
RC e
0
,t ≥ 0
,t < 0
(9)
Faltning ¨ar en linj¨ar operation och d¨arf¨or ¨ar kretsen ett linj¨art system. Vi har
sett till att impulssvaret ¨ar kausalt, men vi kan ocks˚
a konstatera att systemet
¨ar dynamiskt och stabilt (h(t) absolut integrerbart).
2.2
2.2.1
Sinussignaler
En sinus p˚
a ing˚
angen
Uppgift
Ber¨akna utsignalen y(t) fr˚
an ett stabilt LTI-system med impulssvar h(t), d˚
a
insignalen a¨r en sinusv˚
ag.
x(t) = sin(ωt)
(10)
Vad skiljer y(t) och x(t) ˚
at? Hur liknar de varandra?
L¨
osning
F¨or kontinuerliga LTI-system anv¨ander vi faltningsintegralen:
y(t)
=
=
Z∞
−∞
Z∞
h(τ ) sin (ω[t − τ ]) dτ
h(τ ) [sin(ωt) cos(ωτ ) − cos(ωt) sin(ωτ )] dτ
−∞
=


Z∞
−∞
−


Z∞
−∞

h(τ ) cos(ωτ )dτ  sin(ωt)

h(τ ) sin(ωτ )dτ  cos(ωt)
3
(11)
Impulssvar fr˚
an insignal-utsignalstabila LTI-system har egenskapen
Z∞
|h(t)|dt = K < ∞
(12)
−∞
D¨arf¨or kan vi sluta oss till att integralerna i sista steget i ekvation (11) konvergerar. Vi definierar
Kc (h, ω)
Ks (h, ω)
Z∞
,
,
−∞
Z∞
h(τ ) cos(ωτ )dτ
h(τ ) sin(ωτ )dτ
(13)
−∞
Eftersom en summa av sinus- och cosinusfunktioner av samma frekvens ocks˚
a
ar en sinusfunktion kan vi skriva om sista ledet i ekvation (11) (se βeta):
¨
y(t)
=
Kc (h, ω) sin(ωt) − Ks (h, ω) cos(ωt)
¶¶
µ
µ
p
Ks (h, ω)
2
2
Kc (h, ω) + Ks (h, ω) sin ωt + arctan −
=
Kc (h, ω)
,
A(h, ω) sin (ωt + φ(h, ω))
(14)
Man brukar ben¨amna A(h, ω) systemets frekvensg˚
ang, och φ(h, ω) systemets
fasg˚
ang. Vid en j¨amf¨orelse mellan in- och utsignal kan vi se att:
1. Amplituden har f¨or¨andrats. F¨or¨andringen beror p˚
a impulssvaret h(t) och
vinkelfrekvensen ω.
2. Fasen har f¨orskjutits. F¨orskjutningen beror p˚
a impulssvaret h(t) och vinkelfrekvensen ω.
3. In- och utsignal har samma vinkelfrekvens.
Vi f˚
ar allts˚
a ut en signal med samma form som insignalen. (Tanken med denna
uppgift var att visa denna viktiga egenskap, inte h¨arleda de specifika formlerna
f¨
or A och φ.)
T¨ank p˚
a att detta g¨aller enbart f¨or linj¨
ara system och sinus-signaler. Olinj¨ara
system spottar ur sig andra sinusfrekvenser ¨an den p˚
a ing˚
angen. Ett linj¨art
system f¨orvr¨anger generellt andra signaler, t.ex. en fyrkantv˚
ag.
2.2.2
Ett f¨
orenklat pianoackord
Uppgift
Vi ser tonerna fr˚
an ett piano som en insignal x(t). En enkel modell av signalen
¨ar
x(t) =
K
X
ak sin(ωk t)
k=1
4
(15)
d¨ar vi har tagit med K rena toner. Ljudet passerar ett rum innan det n˚
ar
lyssnaren. Rummets akustik beskrivs av impulssvaret h(t) (d¨ampning, ekon,
m.m.). Vad h¨or lyssnaren, d.v.s. vad blir y(t)? Antag att h(t) beskriver ett
LTI-system.
L¨
osning
Under antagandet att rumsakustiken a¨r linj¨ar kan vi som vanligt skriva y(t) =
h(t) ? x(t). Linj¨ariteten medf¨
or att superpositionsprincipen g¨aller: vi kan k¨ora
varje oskalad insignal sin(ωk t) genom systemet och sedan skala och summera
utsignalerna.
y(t) =
K
X
yk (t) =
k=1
K
X
Z∞
ak
k=1
h(τ ) sin(ωk [t − τ ])dτ
(16)
−∞
Integralen i ekvation (16) ”l¨oste” vi i uppgift 2.2.1. Anv¨ander vi resultatet fr˚
an
ekvation (14) f˚
ar vi
y(t) =
K
X
A(h, ωk ) sin(ωk t + φ(h, ωk ))
(17)
k=1
Vad lyssnaren h¨or beror allts˚
a p˚
a hur rummet d¨ampar olika toner (genom A)
och hur tonerna f¨orskjuts (genom φ).
Po¨angen ¨ar att A(h, ω) och φ(h, ω) tillsammans beskriver systemet d˚
a insignalen best˚
ar av sinussignaler. I dessa fall inneh˚
aller A och φ samma information
som h(t).
Som exempel kan vi ta en situation d¨ar tonerna fr˚
an pianot g˚
ar helt op˚
averkade
till lyssnarens ¨ora (inga ekon, ingen d¨ampning). D¨aremot sker en liten tidsf¨ordr¨ojning
T p˚
a grund av ljudets ¨andliga hastighet. Detta motsvarar impulssvaret i figur 2.
h(t)
t
T
Figur 2: Tidsf¨ordr¨ojning av ljud.
Integralerna i ekvation (13) kollapsar d˚
a till
Kc (h, ω)
Ks (h, ω)
=
=
5
cos(ωT )
sin(ωT )
(18)
och vi f˚
ar
A(ω)
=
1
φ(ω)
=
−ωT
(19)
Denna rumsakustik d¨ampar inte n˚
agon sinusfrekvens, men inf¨or en fasf¨orskjutning
som motsvarar tidsf¨ordr¨ojningen.
2.2.3
Frekvensg˚
ang
Uppgift
Ett LTI-systems frekvensg˚
ang A(ω) (som beskriver f¨or¨andringen av sinussignalers amplitud) best¨ams av impulssvaret h(t). Ber¨akna frekvensg˚
angen A(ω) f¨or
systemet

 0 ,t < 0
1 ,0 ≤ t ≤ 1
h(t) =
(20)

0 ,t > 1
Utg˚
a g¨arna fr˚
an resultatet fr˚
an uppgifterna 2.2.1 och 2.2.2.
L¨
osning
Vi beh¨over ber¨akna integralerna i ekvation (13):
Kc (h, ω)
Z1
=
cos(ωt)dt
0
sin(ω)
ω
Z1
sin(ωt)dt
=
Ks (h, ω)
=
0
1 − cos(ω)
ω
=
(21)
Frekvensg˚
angen – systemets d¨ampning (eller f¨orst¨arkning) av amplituden hos
sinussignaler – kan nu ber¨aknas med hj¨alp av ekvation (14).
A(ω)
=
=
q
1
sin2 (ω) + cos2 (ω) + 1 − 2 cos(ω)
|ω|
√
2p
1 − cos(ω)
|ω|
(22)
Denna frekvensg˚
ang visas i figur 3. H¨ar kan vi se att systemet behandlar olika
frekvenser olika. Till exempel ”d¨odar” det alla signaler av typen sin(n2πt), n 6=
0. Generellt f¨oredrar det ocks˚
a l˚
aga frekvenser framf¨or h¨oga. Vi har ett filter!
6
A(w)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
30
20
10
0
10
20
30
w
Figur 3: Filter med rektangul¨art impulssvar.
2.2.4
Sinusar i fyrkant
Uppgift
G¨or en f¨orsta ordningens fourierapproximation av fyrkantv˚
agen x(t) i figur 4.
Beteckna perioden T0 .
1
x(t)
t
-1
Figur 4: Fyrkantv˚
ag med amplitud 1 och period T0 .
L¨
osning
Fyrkantv˚
agen x(t) ¨ar en periodisk signal som uppfyller Dirichlets villkor (se
ekvation (3.21), sidan 77 i Sv¨ardstr¨om). Allts˚
a kan vi skriva den som en o¨andlig
summa av sinusfunktioner: en fourierserie.
x(t) =
∞
X
An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)
(23)
n=0
Fourier kom helt enkelt p˚
a att periodiska funktioner g˚
ar att bygga av sinusfunktioner. Det som varierar f¨or olika funktioner ¨ar ω0 , An och Bn :
7
ω0
An
=
2π
T0
=
2
T0
T
Z0 /2
x(t) cos(nω0 t)dt
−T0 /2
Bn
=
T
Z0 /2
2
T0
x(t) sin(nω0 t)dt
(24)
−T0 /2
Koefficienterna An och Bn s¨ager hur mycket x(t) liknar cos(nω0 t) respektive
sin(nω0 t).
En f¨orsta ordningens approximation inneb¨ar att vi tar med termer upp t.o.m.
n = 1 (vi anv¨ander de grundl¨aggande byggstenarna).
x
ˆ1 (t)
=
1
X
An cos(nω0 t) + Bn sin(nω0 t)
n=0
=
A0 + A1 cos(ω0 t) + B1 sin(ω0 t)
(25)
R¨aknar vi ut likhetskoefficienterna med hj¨alp av ekvation (24) f˚
ar vi
A0
=
2
T0
=
0
=
2
T0
T
Z0 /2
x(t)dt
−T0 /2
A1
T
Z0 /2
x(t) cos(ω0 t)dt
−T0 /2
B1
=
4
π
=
2
T0
=
0
T
Z0 /2
x(t) sin(ω0 t)dt
−T0 /2
(26)
Koefficienten A0 s¨ager hur mycket ”liksp¨anning” som finns i x(t) – i det h¨ar
fallet ingen. Koefficienten B1 blir noll eftersom x(t) ¨ar en j¨amn funktion medan
sin(ω0 t) ¨ar en udda funktion (x(t) liknar inte en udda funktion alls).
x
ˆ1 (t) =
4
cos(ω0 t)
π
Se figur 5.
8
(27)
1.5
1
0.5
0
0. 5
1
1. 5
-T0
0
T0
Figur 5: F¨orsta ordningens fourierapproximation av fyrkantv˚
ag.
Reflektion 1:
Efter uppgifterna 2.2.1 – 2.2.4 kan vi konstatera f¨oljande:
1. Vi kan bygga periodiska funktioner som summor av sinussignaler. 1
2. Vi kan fr˚
an impulssvaret h(t) r¨akna ut hur sinussignaler och summor av
sinussignaler p˚
averkas av ett LTI-system.
H¨ar kan man ana betydelsen av frekvensdom¨anen. Vi har en ekvivalent beskrivning av signaler och system som ¨ar oberoende av t. Problemet nu ¨ar att inga
verkliga signaler ¨ar strikt periodiska. Det ¨ar h¨ar fouriertransformen kommer in
i bilden. En icke-periodisk signal kan ses som en periodisk signal d¨ar T0 → ∞.
Fourierserien ¨overg˚
ar d˚
a till en integral (se sidan 85 i Sv¨ardstr¨om). Kravet ¨ar
att x(t) ¨ar en energisignal, d.v.s. har ¨andlig energi.
2.2.5
Signal i frekvensdom¨
anen
Uppgift
Hur ser f¨oljande signal, ekvation (28), ut i frekvensdom¨anen? Med andra ord:
Vilka sinusar beh¨ovs f¨or att bygga den, och hur mycket av varje?

 0 ,t < 1
1 ,1 ≤ t ≤ 2
x(t) =
(28)

0 ,t > 2
L¨
osning
Signalen ¨ar inte periodisk, s˚
a den g˚
ar inte att skriva som en fourierserie. D¨aremot
kan vi till¨ampa fouriertransformen eftersom x(t) ¨ar en energisignal:
1 Under
f¨
oruts¨
attningen att Dirichlets villkor ¨
ar uppfyllda.
9
Z∞
x2 (t)dt = 1 < ∞
(29)
−∞
Vi transformerar x(t) till frekvensdom¨anen:
X(ω)
=
Z∞
x(t)e−jωt dt
−∞
=
Z2
e−jωt dt
1
=
=
=
=
1 £ −jωt ¤2
e
1
jω
¤
1 £ −jω
e
− e−j2ω
jω
·
¸
2 ejω/2 − e−jω/2 −j3ω/2
e
ω
2j
sin(ω/2) −j3ω/2
e
ω/2
−
(30)
Transformen X(ω) inneh˚
aller information om b˚
ade amplitud och fas f¨or de sinusv˚
agor som beh¨ovs.
|X(ω)|
=
φ(ω)
=
¯
¯
¯ sin(ω/2) ¯
¯
¯
¯ ω/2 ¯
3
− ω
2
(31)
Det r¨acker allts˚
a inte med att veta hur mycket av varje frekvens vi beh¨over –
fasen beh¨ovs ocks˚
a. Tillsammans beskriver de x(t) (se figur 6).
Reflektion 2:
N¨ar vi i uppgift 1.2.1 r¨aknade ut hur ett LTI-system p˚
averkade sinussignaler
utgick vi fr˚
an impulssvaret h(t). Ta en titt p˚
a ekvationerna (13) och (14): det
vi gjorde (utan att veta om det) var att fouriertransformera h(t)! 2 J¨amf¨or med
ekvationerna (3.52) och (3.53) p˚
a sidan 95 i Sv¨ardstr¨om.
¨
Beroende p˚
a vad vi vill g¨ora med ett LTI-system kan vi v¨alja dom¨an. Overg˚
angen
via fouriertransformen illustreras i figur 7. Vi kallar H(ω) f¨or systemets frekvenssvar, |H(ω)| f¨or systemets frekvensg˚
ang och φ(ω) = arg(H(w)) f¨or systemets
fasg˚
ang. N¨ar det g¨aller signaler pratar vi om spektrum (X(ω)), amplitudspektrum (|X(ω)|) och fasspektrum (φ(ω)).
2 Det
g˚
ar att se med hj¨
alp av Eulers formel, exp(−jωt) = cos(ωt) − j sin(ωt).
10
1 |X(w)|
0.5
0
-30
-20
-10
0
(a)
10
20
30
-20
-10
0
(b)
10
20
30
w
50 fi(w)
0
-50
-30
w
Figur 6: Frekvensinneh˚
all i rektangul¨ar puls.
x(t)
h(t)
F
X(w)
y(t)=h(t) * x(t)
F
-1
H(w)
Y(w)=H(w)X(w)
Figur 7: Ekvivalens mellan frekvens- och tidsdom¨an f¨or LTI-system.
2.2.6
Ideal l˚
agpass
Uppgift
Ber¨akna impulssvaret f¨or ett idealt l˚
agpassfilter som tar bort alla frekvenser
a att impulssvaret ska vara reellt! Hur kan vi realisera detta
¨over 200 Hz. T¨ank p˚
filter?
L¨
osning
Ett idealt filter tar bort alla o¨onskade frekvenser fullst¨andigt, medan de ¨onskade
inte p˚
averkas alls (varken till fas eller amplitud3 . Allts˚
a vill vi ha
½
1 , 0 ≤ ω ≤ 2π · 200
H(ω) =
(32)
0 , ω > 2π · 200
Men, fouriertransformen arbetar ocks˚
a med negativa ω. Frekvenssvaret H(ω)
m˚
aste specificeras f¨or alla ω f¨or ett entydigt impulssvar ska hittas. Ett impulssvar
(eller signal) som ¨ar reell i tidsdom¨anen m˚
aste ha symmetrisk frekvensg˚
ang
(symmetriskt spektrum). L˚
at ωg beteckna gr¨
ansfrekvensen 2π · 200 rad/s.
3 Sv¨
ardstr¨
om skriver att det ska vara kausalt och faslinj¨
art. Det verkar finnas olika definitioner.
11
H(ω) =
½
1
0
,
,
|ω| ≤ ωg
|ω| > ωg
(33)
Impulssvaret f˚
as via den inversa fouriertransformen
h(t)
=
=
1
2π
Z∞
1
2π
−∞
Zωg
H(ω)ejωt dt
ejωt dt
−ωg
=
=
=
¸ω
·
1 1 jωt g
e
2π jt
−ωg
·
¸
1 ejωg t − e−jωg t
πt
2j
sin(ωg t)
πt
(34)
Som vanligt s¨ager en bild mer ¨an tusen formler. Figur 8 visar en del av impulssvaret f¨or det ideala filtret. Hur ska vi d˚
a realisera det h¨ar filtret? Det g˚
ar inte!
Impulssvaret ¨ar som synes icke-kausalt och filtret kan d¨arf¨or inte byggas. Som
beteckningen ”idealt filter” antyder.
450
h(t)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
50
100
0.03
0.02
0.01
0
0.01
0.02
0.03
t
Figur 8: Impulssvar f¨or idealt l˚
agpassfilter.
12