Transcript Kap 4 - Trigonometri

Kap 4 - Trigonometri
1
GENOMGÅNG 4.1
•
•
•
•
•
Cosinus, Sinus & Tangens
Exakta värden
Två speciella trianglar
Cirkelns ekvation
Enhetscirkeln
2
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
3
sin v 
5
4
cos v 
5
3
tan v 
4
TRIGONOMETRI
Trigonometri i rätvinkliga trianglar
sin v 
a
b
cos v 
c
b
tan v 
a
c
TRIGONOMETRI
Definitioner
sin v 
a motstående katet

b
hypotenusa
cos v 
c närliggande katet

b
hypotenusa
a motstående katet
tan v  
c närliggande katet
TANGENS
Definitioner
a motstående
tan v  
c närliggande
Var har du sett detta förr??
k
y
x
dy
dx
f ( x  h)  f ( x )
h
Kärt barn har många namn.
f '( x)
y'
TRIGONOMETRI
Definitioner
1
sin 30 
2
1
sin 1    30
2
1
cos 60 
2
1
cos1    60
2
1
tan30 
3
 1 
tan 
  30
 3
1
Tvåspeciella trianglar
1
2
1
sin 30 
2
cos 45 
1
2
cos 30 
3
2
3
sin 60 
2
cos 60 
sin 45 
1
2
1
tan 45   1
1
1
tan 30 
3
tan 60 
3
 3
1
OBS!
1
2

2
2
1 2
2

2
2 2
1
3

3
3
1 3
3

3
3 3
Exakta värden
OBS!
Finns i formelsamlingen!!
Tangen för 90° ???
Varför är inte tan 90° definierat?
Uppgift 4114, sid209
1
3
1
2
1
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
3

3
3
Cirkelns ekvation
r   x  a   y  b
2
2
( x, y)  punkt på cirkelranden
(a, b)  cirkelns medelpunkt
r  cirkelns radie
2
Cirkelns ekvation
r   x  a   y  b
2
12   x  0    y  0 
2
2
2
2
12  x 2  y 2
y 2  12  x 2
y   1  x2
y  12  x 2
y   1  x2
Cirkelns ekvation – ett exempel
En cirkel har radien r = 4 och medelpunkten (3,-1).
Bestäm denna cirkels ekvation.
r   x  a   y  b
2
2
2
4   x  3   y   1 
2
2
Cirkelns ekvation är
16   x  3   y  1
2
2
2
Cirkelns ekvation – ett exempel
Ligger punkten (5, 2) på cirkelranden, innanför cirkeln
Eller utanför?
2
2
16   x  3   y  1
Vi sätter in x = 5 och y = 2 i ekvationens högerled:
HL   5  3   2  1  2  3  13
2
2
2
2
Eftersom HL < 16 (= r²) ligger punkten innanför cirkeln.
ENHETSCIRKELN
Vad vinner man på att
sätta
radien till värdet 1?
y
sin v   y
1
x
cosv   x
1
ENHETSCIRKELN
OBS!
ENHETSCIRKELN
y
sin 
Radien = 1
(cos , sin  )
Plängdenhet
y-koordinat
x-koordinat
cos
x
sin(180°- v) = sin v
sin v1 = sin v2 = 0,72
cos(180°- v) = -cos v
-0,69
0,69
cos v1 = - cos v2
GENOMGÅNG 4.2
Triangelsatserna
• Areasatsen
• Sinussatsen
• Cosinussatsen
27
AREASATSEN
motstående /
hypotenusa
mult. båda led med 2,8
SINUSSATSEN
SINUSSATSEN
a
Ett exempel
Vi vill veta längden av
sidan BC (a)
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
Hur skall vi rita den 3:e sidan?
Vi får alltså 2 fall, nämligen…
och
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
Sinussatsen ger
sin B 
10,0
15,0

sin 37,0 sin B
15,0  sin 37,0
 0,90272253
4728...
10,0
Vi får 2 fall
B1 ≈ 64,5°
B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°
 15,0  sin 37,0 
B  sin 
  64,5
10,0


1
B  sin 1 0,90272253
4728  64,5
NÄR GER SINUSSATSEN TVÅ FALL?
B1 ≈ 64,5°
B2 ≈ 180° - 64,5° = 115,5°
sin(180°- v) = sin v
COSINUSSATSEN
Med egen text:
Kvadraten på sidan c är lika med kvadraten på sidan a
plus kvadraten på sidan b minus produkten av 2 gånger a
gånger b gånger cosinus för C
LärarDalle
Sammanfattning Kapitel 4
DE TRIGONOMETRISKA FUNKTIONERNA
FÖR GODTYCKLIGA VINKLAR