Transcript Lektion 1 Repetition från ma 3 (pdf)

Matematik 4
Repetition
Vinklar och trigonometri
Enhetscirkeln
Area-,Sinus- och cosinussatsen
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
•
•
•
•
Sin, cos, tan introduktion (Ma 1)
Enhetscirkeln
Exakta värden
Sin, cosinus och areasatsen (Ma 3)
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kommer du ihåg vinklar?
- Beteckning
- Bisektris (m passare och linjal)
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kommer du ihåg Trianglar?
Liksidig
Likbent
- Basvinklar, toppvinkel
- Vinkelsumma
- Pytagoras sats
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rätvinklig
Miniräknare
Exempel
I triangeln ABC är  B rät. Beräkna
hypotenusan och de två katetrarnas
C
längder.
(m)
k+12
k-8
A
k
B
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Cirkelfördjupning / repetition
Arean
Korda
r
Tangent
Vi kommer ihåg att radien
är halva diametern
d
r
2
A  r 2 
d 2
4
Omkretsen
O  d  2r
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Randvinkel och yttervinkel
Randvinkelsatsen
I en cirkel är medelpunktsvinkeln
dubbelt så stor som randvinkeln på
samma cirkelbåge.




Medelpunkt
Medelpunktsvinkel
Randvinkel
Cirkelbåge
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Cirkelfördjupning / repetition
b
A
v
Längden på en cirkelbåge, b
v 2r
b
360
Arean på en cirkelsektor
br
vr 2

A
360
2
Vi löser ut v ur formeln för cirkelbågen
v
Cirkelsektor
b360
2r
Sätter in den i formeln för arean ger
br
b360r 2

A
2
2r 360
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri
Trigonometri handlar om förhållandet mellan
sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar.
Utvecklades för att försöka förklara
universum (Aristoteles 300 f.kr, Ptolemaios 100e.kr) och
geografi (lantmäteri).
Vi ska lära oss mer om den plana
trigonometrin. Det finns också sfärisk. Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri - ordbok
v
Hypotenusa
Motstående katet
v
Närliggande katet
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri
Handlar om förhållandet mellan vinklar och
sidor.
• Rita en rätvinkligtriangel med en vinkel som är 35
grader.
• Mät Närliggande och motstående katetrarna.
• Dividera motstående med närliggande
Kvoten kallas tangens
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri - definitioner
a
c (Hypotenusa)
(Motstående
katet)
v
b (Närliggande katet)
sin v 
Motstående katet a

hypotenusa n
c
cos v 
Närliggand ekatet b

hypotenusa n
c
tan v 
Motstående katet a

Närliggande
b
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri - Exempel
Beräkna vinkeln v och sidan b?
12
b
v
10,5
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Trigonometri - Exempel
Beräkna de lika långa sidorna i
nedanstående likbeta triangel.
15,9
14
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Cirkelfördjupning - Exempel
Beräkna cirkelsektorns
a)medelpunktsvinkel (två sätt)
b)area
A
9
v
18
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Enhetscirkeln
Vi har tidigare tittat på sin, cos och tangens
för rätvinkliga trianglar, (intervallet 0°90°)
Vad är sin 132° eller tan (-15°)?
Enhetscirkeln hjälper oss att utöka området
och får oss att förstå hur det hänger ihop.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Enhetscirkeln
(0,1)
y
Enhetscirkelns
egenskaper
1
+
-
x
(1,0)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
 Medelpunkt i origo
 Radien 1 längdenhet
 Motsols är positiv(+)
ökning av vinkel.
 Medsols är negativ(-)
minskning av vinkel.
Enhetscirkeln (exempel)
(0,1)
y
Vad ligger följande vinklar?
(Rita in i enhetscirkeln med
gradskiva)
x
(1,0)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
10°
45°
170°
225°
315°
530°
- 45°
- 190°
Enhetscirkeln sinus och cosinus
(0,1)
y
(cosθ,sinθ)
(x1,y1)
1
θ
Vi tittar på
definitionerna för
sinus och cosinus
cos  
x1
 x1
1
sin  
y1
 y1
1
x
(1,0)
Vi får då att punkten (x1,y1)
är samma som punkten
(cosθ,sinθ)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exakta värden
Några vinklar ger exakta värden
Pytagoras sats ger:
(2a)2=a2+h2
Halv liksidig triangel
2a
2a
30°
h
90°
60°
a
2a
a
Slutsats: Höjden är halva sidan•
3
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exakta värden
Några vinklar ger exaktavärden
Halv kvadrat
45°
2
X
Pytagoras sats ger:
x2=12+12
1
45°
90°
1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exakta värden - Sammanfattning
Halv liksidig triangel
Halv kvadrat
45°
2
30°
3
90°
60°
2
1
45°
90°
1
1
0°
30°
45°
60°
90°
Sin α
0
1
2
2
2
3
2
1
Cos α
1
3
2
2
2
1
2
0
Tan α
0
3
3
1
3
Ej def
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Areasatsen
a
v
h
b
Bestäm arean på triangeln?
sin v 
A
h
a
 a sin v  h
bh
2
Sätter in h i formeln för A ger
b  a  sin v
A
2
h
a
(180°-v)
v
b
sin(180  v) 
h
a
 a sin(180  v)  h
sin(180  v)  sin v
Tillbaka enligt tidigare resonemang
Vet vi två sidor och
mellanliggande vinkel kan vi
bestämma arean på triangeln.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Areasatsen - exempel
28 a
v 35°
b 7,6
b  a  sin v
A
2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Sinussatsen
C
b
A
a
c
Det ni vill ha
reda på bör
vara i täljaren.
B
Med hjälp av areasatsen kan vi
skriva arean på tre sätt
b  c  sin A a  c  sin B a  b  sin C


2
2
2
Multiplicera med 2
b  c  sin A  a  c  sin B  a  b  sin C
Dividera med a·b·c
sin A sin B sin C


a
b
c
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Sinussatsen - exempel
C
6,0
A
a
70°
50°
c
B
sin A sin B sin C


a
b
c
a) Bestäm sidan a och c.
b) Bestäm triangelns area.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
cosinussatsen
B
a 28
h
C
v 43°
Vi använder pythagoras sats
c
(b –x)
x
A
b 17
Löser ut c2
Grön triangel
h2  x 2  a 2
Vit triangeln
2
2
2
h  (b  x)  c
c 2  a 2  b2  2bx
Vi vill byta ut x i uttrycket ovanför
x
cos v   x  a  cos v
a
Vi sätter trianglar h2+x2 lika
a  c  b  2bx
2
c 2  a 2  b2  2bab a cos C
v
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
2
2
Cosinussatsen - exempel
B
c
43°
C
c  a  b  2ab  cos C
2
28
A
17
Beräkna sträcka c och vinkel B?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
2
2
Enhetscirkeln
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net