Transcript Lektion 5 Permutationer och kombinationer (pdf)

Matematik 5
Permutationer
och Kombinationer
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Begreppen permutation och kombination.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Vad är sonnolikhet för något?
När använder vi sannolikhet?
•110% säkert
• 50% risk att…
• Inte en chans….
Sannolikhet kan vara :
0%  100%
0  1
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Vad är sannolikhet för något?
Sannolikhet (possibility) är alltså:
Antalet gynnsamma händelser
Totala antalet möjligheter
P(svart)=
P( röd)=
P(10)=
P(alla utom 10)=
P(10 eller ess)=
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Träddiagram
För att visa på olika händelser en viss situation
har åskådliggör vi det med exempelvis ett
träddiagram. Ex singlaslant.
Sannolikhet i flera steg fungerar
som förändringsfaktor.
Multiplicerar sannolikheterna.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Sannolikhet
Vi har två möjligheter i vissa situationer:
1. Med återläggning
Händelsen återkommer med samma
sannolikheter. Ex lägger tillbaka en kula
efter att ha dragit den. Joker.
2. Utan återläggning
Sannolikheten ändras beroende på om
förutsättningarna ändras. Lotto.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Träddiagram
Dra kulor ur en urna med återläggning:
Varje förgrening
är 100%
P(R,R)=
P(R ,S)=
P(olika färger)=
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Om trädet blir jobbigt!
Vad är sannolikheten att få summan 8 om
jag kastar två 6-sidiga tärningar?
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Träddiagram
Dra kulor ur en urna utan återläggning:
P(R,R)=
P(R ,S)=
P(olika färger)=
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kombinatorik- Multiplikationsprincipen
Antag att du ska äta en fin middag som ska
innehålla förrätt varmrätt och dessert. Du kan
välja mellan 4 förrätter, 5 varmrätter och 3
desserter. Kur många kombinationsmöjligheter
finns det?
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Permutationer
- om ordningen spelar roll!
”Uppräkningen av ett antal element i en viss
ordning.”
Hur kan du placera färgerna röd, grön och svart?
Vi säger att vi har 6 st permutationer.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Miniräknare
Permutationer
Finns det något mönster? Hur skulle det vara
om vi hade 2 eller 4 färger?
Allmänt gäller att:
Om vi vill ordna n element om n>0
n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙3∙2∙1
Detta tal kallas för n-fakultet och skrivs n!
OBS! Vad är 0! det samma som?
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Permutationer - välja flera ur samma mängd
Välj fem kort ur en kortlek
med 52 kort.
(Antalet permutationer av fem
element valda bland 52
element)
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Permutationer - välja flera ur samma mängd
Allmänt gäller att:
Om vi vill välja r element bland n element
n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙(n-r+1)
Vi kan skriva det som nPr, 52P5
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Permutationer - välja flera ur samma mängd
Vi kan skriva om det som ett bråk:
52∙51∙50∙49 ∙48 52∙51∙50∙49∙48∙47!
52 ∙ 51 ∙ 50 ∙ 49 ∙ 48 =
=
1
47!
Allmänt gäller att:
Om vi vill välja r element bland n element
n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙(n-r+1)=
n∙(n−1)∙(n−2)∙…∙(n−r+1)(n−r)! n!
=
=
(n−r)!
(n−r)!
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Permutationer och Kombinationer
S
R
G
Att välja två färger av tre.
Permutationer
Om ordningen spelar roll när
jag väljer.
Kombinationer
Om ordningen inte spelar roll.
Bara intresserad av antalet
kombinationer av elementen.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
SR SG RG
RS GS GR
6 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟
SR SG RG
RS GS GR
3 𝑘𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑒𝑟
Kombinationer
Hur många femkortshänder
finns det i en kortlek med 52
spelkort?
52!
1. Att dra 5 kort kan göras på
(52−5)!
2. Hur många sätt finns det att ordna en fem
hand? (5!)
52∙51∙50∙49∙48
3. Alltså finns det
5∙4∙3∙2∙1
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kombinationer
Generellet kan vi skriva det som
n!
r!(n−r)!
Detta används ofta i kombinatoriken och skrivs
då:
n
r
52
5
Utläses ”n över r” eller ”n väljer r”
Kortexemplet ”52 kort välj 5”
Skrivs 52C5 även på räknaren nCr
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kombinationer- exempel
Ur en påse med 12 röda, 5vita och 9 svarta
kulor, ska man slumpvis väljas. Hur stor är
sannolikheten att man får :
a) 4 röda och 2 vita?
b) En av varje?
c) Minst en svart vi 5 dragningar?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kombinatorik - Stryktipset
Jag tror att mitt snitt på stryktipset är 8 rätt.
Vilken är sannolikheten att händelsen inträffar
om jag bara väljer ett alternativ (1,X eller 2) på
varje match?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Binominalsatsen
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 =
𝑟=0
𝑛
𝑟=0
𝑛 𝑛−𝑟 𝑟
𝑎 𝑏
𝑟
Ger totalt 2n
produkter
𝑛 𝑟
𝑛
𝑛 𝑛−𝑟 𝑟
𝑛 𝑛−1 1
𝑛 𝑛
𝑎 𝑏 =
𝑎 +
𝑎
𝑏 +…+
𝑎1 𝑏1 +
𝑏
0
𝑛−1
𝑟
1
1
Exempel: (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
3 3
3 3
3 2 1
3 1 2
𝑎 +
𝑎 𝑏 +
𝑎 𝑏 +
𝑏
0
3
1
2
1
3
3
1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
=8
Ger totalt 8
produkter
Biominalfördelning
En binomialfördelning är
inom sannolikhetsteori och
matematiskstatistik en
diskret fördelning som
uppkommer genom upprepade
(diskreta) försök där en
specifik händelse har samma
sannolikhet i varje försök.
En approximation är en
normalfördelning.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Galtonsbräde
Pascal
 Blaise Pascal (1623-1662)
 Filosof, Matematiker och
Fysiker
 Pascals princip och
Pascals triangel
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Pascals triangel (utv av Biomialkoefficienterna)
1
1
1
(a+b)3
1
1
1
2
1
3
3
6
4
5
1
10
1
4
10
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
1
5
1
Biominal satsen
Utveckla parentesen (2x-3)5
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net