Transcript andreaslindahl.net

Matematik 2
Repetition från
matematik 1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
- Tidigare kurser
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talens indelning
ℕ = Naturliga tal
ℤ = Heltal
ℚ = Rationella tal (Bråk med upprepad decimalföljd)
ℝ = Reella tal
ℂ= komplexa tal
ℂ
ℝ
ℚ ℤ ℕ0
231 43
-7i
-8
-9990
-31
π
2i
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Teckenregler
Addition och subtraktion
a + (-b) = a – b
a – (-b) = a + b
Multiplikation
(-a)b = -ab
a(-b) = -ab
(-a)(-b) = ab
Division
===
Lika tecken ger +, olika tecken ger -.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Prioriteringsregler
()
Innehållet i parenteser
Multiplikation och division
+ - Addition och subtraktion
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Algebraiska identiteter (kommutativa lagen)
För addition
a+b=b+a
För multiplikation
a∙b=b∙a
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Algebraiska identiteter (associativa lagen)
För addition
För multiplikation
(a + b) + c = a + (b + c)
(a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Algebraiska identiteter (distributiva lagen)
Jag köper tre likadana påsar med godis. I varje påse finns det åtta chokladbitar
och sex vinegum. Sammanlagt i påsarna finns det 24 chokladbitar och 18
vinegum. Uträkningen kan jag göra på olika sätt:
Chokladbit = c
Vinegum = v
Som addition
Som multiplikation
(8c + 6v) + (8c + 6v) + (8c + 6v) =
= 8c + 8c + 8c + 6v + 6v + 6v
=
= 24c + 18v
3(8c + 6v) = 3 ∙ 8c + 3 ∙ 6v=
= 24c + 18v
a(b + c) = ab +ac
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Implikation och ekvivalens
Implikation
Ibland kan ett påstående betyda att det får till följd att något annat inträffar eller
är sant. Då använder vi en implikationspil ⇒. Implikationspilen utläses ”medför”
och används alltså för att förklara att något medför något annat.
A = -3 ⇒ A2 = 9
Observera att omvändningen inte gäller eftersom A2 = 9 ⇒ A = -3 eller A = 3.
Ekvivalens
Om omvändningen också gäller använder man istället en ekvivalenspil ⇔.
Den får bara användas om båda påståendena är sanna eller om båda är
falska. Pilen utläses ”är ekvivalent med” och betyder att det är likvärdigt med.
A = -3 ⇔ 2A = -6
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Primtal
Ett naturligt tal som är större än 1 och som
bara har triviala delare kallas för primtal.
De första primtalen är:
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,…
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Delbarhet
En delare är ett tal som utan rest kan dela ett
annat (d.v.s. som ger ett helt tal till kvot). Ett
tal a är delbart med ett tal b om kvoten a/b är
ett heltal.
a
b
kvot
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Delbarhet
Ett heltal är delbart med
Kommentar
2,
om sista siffran (entalet) är jämn eller 0.
3,
om talets siffersumma är delbar med 3.
2121 har siffersumman 2 + 1 + 2 + 1 = 6 som är
delbart med 3. Alltså är 2121 delbart med 3.
4,
om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5632 är delbart med 4 eftersom 32 är delbart med 4.
5,
när sista siffran är 0 eller 5.
6,
när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
2010 är delbart med 6 eftersom siffersumman är 3
och det är ett jämnt tal.
7,
när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
8,
när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
392 är delbart med 7 eftersom tiotalen (39) minus
dubbla entalet(2 + 2 = 4) är 35 (39 – 4 = 35), som är
delbart med 7.
1016 är delbart med 8 eftersom 016/2 = 8.
9,
när talets siffersumma är delbar med 9.
10,
när talets sista siffra är en nolla.
11,
när summan av varannan siffra i talet (siffror med udda ordningsnummer:
entalen, hundratalen, tiotusentalen osv.) minus summan av de övriga
siffrorna (siffror med jämn ordningsnummer) är delbar med 11.
9090510 är delbart med 11 eftersom 9 + 9 + 5 + 0 =
23 och 0 + 0 + 1 = 1 och 23 – 1 = 22 som är delbart
med 11.
12,
när villkoren för både 3 och 4 är uppfyllda.
132 är delbart med 12 eftersom siffersumman är 6
(delbart med 3) och 32 är delbart med 4.
13,
när antalet tiotal i talen plus fyra gånger sista siffran (antalet ental) är
delbart med 13.
6409 är delbart med 13 eftersom
640+9∙4=676 67+6∙4=91 9+4=13 som är delbart
med 13.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talbaser
Decimala talsystemet talbas 10 (sifforna 0,1,…och 9)
Talet 59 (varje position är värd 10ggr mer)
Binära talsystemet har talbas 2 (siffrorna 0 och 1)
Talet 111011 (varje position är värd 2ggr mer)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net