Transcript Lektion 3 Talföljder och rekursion (pdf)

Matematik 5
Talföljd och rekursion
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Begreppen rekursion och talföljd.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Summatecknet

sigma, stora S på grekiska.
Brukar stå för summa.
Summatecknet kan användas för att
uttrycka stora summeringar på ett
kompakt sätt.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Summa tecknet (exempel)
5
 x  1  2  3  4  5  15
x 1
6
 3k  3  3  3  4  3  5  3  6  54
k 3
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Stryktipset
På hur många olika sätt kan man tippa en
stryktipskupong?
En match kan man tippa på 3 sätt.
1
x
Två matcher på 9 sätt.
Tre matcher på 27 sätt osv.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
2
Stryktipset
Det bildas en talföljd med talen:
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2 187, 6 561, 19
683, 59 049, 177 147, 531 441,
1 594 323
Hur är talföljden uppbyggd?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Geometrisk talföljd
En talföljd där kvoten mellan två på
varandra följande element är konstant.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Geometrisk talföljd
Bestäm kvoten i följande geometriska talföljden
och ange de två nästkommande talen i följden.
10 000, 1000, 100, 10, 1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Geometrisk talföljd
Vi betecknar de olika talen i en talföljd med a1,a2 ,a3
osv.
I exemplet med stryktipset blir a1=3, a2=9,
a3=27 och a4=81.
a1=3
a2=9=3⋅31
a3=27=3⋅32
a4=81=3⋅33
Generellt: an=3⋅3n-1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Geometrisk talföljd
I en geometrisk talföljd med första
elementet a1 och kvoten k ges
elementet an av:
an= a1⋅kn-1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppgift
an= a1⋅kn-1
Bestäm ett generellt uttryck för talföljden 4, 8, 16, -32 och bestäm sedan a10.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Summan för en geometrisk talföljd
När jag har många termer i en geometrisk
talföljd. Kan jag summera dem enligt formeln:
a1 (k a11()k a11(1)  k )
Sn  Sn 

k 1 k 1 1  k
n
n 1
a1= första termen
Kvoten k  1
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
n
Bevis- Geometrisk summa


a1 k  1

k 1
n 1
n
n
𝑠𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑘 + 𝑎𝑘 2 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑛−2 + 𝑎𝑘 𝑛−1
𝑘𝑠𝑛 =
𝑎𝑘 + 𝑎𝑘 2 + ⋯
+ 𝑎𝑘 𝑛−1 + 𝑎𝑘 𝑛
Subtrahera ledvis ger:
𝑛
𝑎𝑘
−𝑎
𝑘𝑠𝑛 − 𝑠𝑛 =
𝑠𝑛 𝑘 − 1 = 𝑎(𝑘 𝑛 −1) Faktoriserar sn i VL och a i HL
𝑎(𝑘 𝑛 − 1)
𝑠𝑛 =
𝑘−1
𝑘 ≠ 1 (om k=1⟹𝑠𝑛 = 𝑛𝑎)
𝑠𝑛 =
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
𝑎(𝑘 𝑛 −1)
𝑘−1
=
𝑎(1−𝑘 𝑛 )
1−𝑘
Exempel
Stina sätter in 100kr varje år på ett konto
med 3% ränta. Hur stort är hennes kapital
direkt efter den 6 insättningen (dvs 5år efter
den första)?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exempel
Pelle ska spara till en jordenruntresa och
behöver få ihop 75 000kr. Han räknar med
att det är ett femårsprojekt och han öppnar
ett konto där han får 6% ränta på pengarna.
Hur mycket måste Pelle spara varje år för att
få åka på sin efterlängtade resa?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Aritmetisk talföljd
En talföljd där differensen
mellan två på varandra följande
element är konstant.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Aritmetisk talföljd (exempel)
Jag ska börja motionera. Jag börjar att
springa en sling på 1200 m. Veckan därpå
springer jag två varv runt slingan, alltså 2400
m och tredje veckan 3600 m.
Bestäm differensen i talföljden och bestäm
sedan hur långt jag springer vecka fem och
sex.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Aritmetisk talföljd
I en aritmetisk talföljd med första
elementet a1 och differensen d
ges elementet an av:
an= a1 +(n-1)⋅d
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Aritmetisk talföljd
an= a1 +(n-1)⋅d
Talföljden som blir för min motionering är
a1=1200, a2=2400, a3=3600, a4=4800.
a1=1200=1200+0⋅1200,
a2=2400=1200+1⋅1200,
a3=3600=1200+2⋅1200,
a4=4800=1200+3⋅1200.
Generellt: an=1200+(n-1)⋅1200.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppgift
an= a1 +(n-1)⋅d
Bestäm ett generellt uttryck för an och a10 i
talföljden:
3 4 5 6
, , , ,...
4 6 8 10
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Månghörningar
Hur många diagonaler kan man dra i olika
månghörningar?
Antalet diagonaler: 0, 2, 5,…
Hur fortsätter talföljden?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Månghörningar
Kan vi hitta en generell formel för antalet
diagonaler i en n-hörning?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Aritmetisk talföljd
an= a1 +(n-1)⋅d
Hur många element finns det i den
aritmetiska talföljden 12, 18, 24,…,444?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Gauss
Gauss fick en dag av sin
matematiklärare att summera
de första 100 talen. Det tog
inte många minuter innan den
lille gossen räckte upp handen
och hade skrivit ned svaret.
Hur gjorde han?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Summan för en Aritmetisk talföljd
När jag har många termer i en aritmetisk
talföljd. Kan jag summera dem enligt formeln:
(a1  amax )
n1 n  2
max
a1 = första termen
amax= sista termen i serien
n = antalet termer
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exempel
Summera de första 1000 talen?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rekursiv talföljd
För att få nästkommande element så tar vi det
föregående elementet och adderar med 6.
a1=12
an+1=an+6
Bestäm de fyra första elementen i talföljden.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rekursiv talföljd
Vi säger att vi har definierat talföljden
rekursivt när vi har angett ett startvärde och
en formel som anger hur nästa tal beräknas.
Till exempel:
a1=12
an+1=an+6
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rekursiv talföljd
Ange de fem första elementen i talföljden
som beskrivs av formeln:
a1=1
an+1=2an2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rekursiv talföljd- Fibonaccis talföljd
En talföljd som är mycket
vanlig i naturen är
fibonaccis. Den skrivs
som en rekursionsformel
på följande sätt:
F1=0
F2=1
Fj+2=Fj+1+Fj
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
0,1,1,2,3,5,8,13,…
Rekursiv talföljd
Ett företag omsätter 6,2 miljoner kr det första
året. Därefter förväntar de sig att
omsättningen ska öka med 0,9 miljoner per år
under de kommande 7 åren.
Beskriv företagets omsättning med en
rekursiv formel.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Exempel
Du får en dos på 500mg av en medicin. På
ett dygn bryts 70% ner och du får dagligen
tillskott på 200mg. Hur mycket har du i
kroppen efter en vecka? Två veckor?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppgift
Är det en aritmetisk eller en geometrisk
talföljd? Ange dessa med en rekursiv talföljd.
a) 7, 21, 63, 189
b) 8,15, 22, 29, 35
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Uppgift
Ett företag omsätter 8 miljoner kr det första
året. Därefter förväntar de sig att
omsättningen ska öka med 10% per år
under de kommande 7 åren.
Beräkna omsättningen som blir totalt under
7 år.


a1 k  1

k 1
n 1
n
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
n