Transcript Geometrisk summa - Iceclimbers.net

4.2 Summor
Geometrisk summa
Geometrisk summa
Vi har en talföljd
A: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560
Denna geometriska talföljd kan beskrivas med den slutna formeln
𝑎𝑛 = 5 × 2𝑛−1
för 𝑛 = 1,2, … , 10.
Vill vi summera de 10 elementen i denna talföljd kan vi göra på följande vis.
𝑠10 = 5 + 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 + 640 + 1280 + 2560
𝑠10 = 5 + 5 × 21 + 5 × 22 + 5 × 23 + 5 × 24 + ⋯ + 5 × 29
2𝑠10 =
5 × 21 + 5 × 22 + 5 × 23 + 5 × 24 + ⋯ + 5 × 29 + 5 × 210
Geometrisk summa
Vi har en talföljd
A: 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560
𝑠10 = 5 + 5 × 21 + 5 × 22 + 5 × 23 + 5 × 24 + ⋯ + 5 × 29
2𝑠10 =
5 × 21 + 5 × 22 + 5 × 23 + 5 × 24 + ⋯ + 5 × 29 + 5 × 210
Subtraherar vi den första serien från den andra får vi
2𝑠10 − 𝑠10 = 5 × 210 − 5
Här skulle vi kunna räkna ut svaret direkt
𝑠10 (2 − 1) = 5(210 − 1) ↔ 𝑠10
5 210 − 1
↔ 𝑠10 = 5115
=
(2 − 1)
Den generella formeln för en geometrisk summa blir
𝑎1 𝑘 𝑛 − 1
𝑠𝑛 =
(𝑘 − 1)
Exempel
𝑎) Beräkna summan av 10 tal i den geometriska talföljd,
där första talet är 4 och kvoten är 3.
𝑎1 𝑘 𝑛 − 1
𝑠𝑛 =
(𝑘 − 1)
Exempel
𝑏) Beräkna summan av 10 tal i den geometriska talföljd,
där 𝑎1 = 1000 och 𝑘 = 0,4.
𝑎1 𝑘 𝑛 − 1
𝑠𝑛 =
(𝑘 − 1)
Dagens uppgifter
1. 52 + 52 × 1,8 + 52 × 1,82 + ⋯ + 52 × 1,814 är en geometrisk summa.
𝑎) Hur många termer finns i summan?
𝑎1 𝑘 𝑛 − 1
𝑠𝑛 =
(𝑘 − 1)
𝑏) Använd formeln och beräkna summan.
2. Beräkna den geometriska summan
2000 + 2000 × 1,025 + 2000 × 1,0252 + ⋯ + 2000 × 1,0257
3. En viss geometrisk summa kan beräknas med
4000×(1,035 −1)
(1,03−1)
𝑎) Skriv ut termerna i den geometriska summan som kan beräknas med uttrycket ovan.
𝑏) Formulera ett problem som skall kunna lösas genom att beräkna uttrycket ovan.
4. Mannen som uppfann schack sägs ha fått önska vad han ville av sin
kung. Han önskade då att han skulle få ett vetekorn på den första
rutan av ett schackbräde, därefter två på den andra rutan följt av fyra
den tredje. Hur många vetekorn skulle han få om man fortsätter att
fylla brädet på detta vis?
Du hittar mer uppgifter på s.133