Transcript 4.1 Talföljder - Iceclimbers.net

4.1 Talföljder
Vad menas med en talföljd
Fibbonaccis talföljd
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Nästa tal i serien är summan av de två föregående.
Fibbonaccis talföljd hittar man om och om i naturen.
Leonardo av Pisa (Fibbonacci)
ca: 1170 – 1250 e.kr.
Fibbonaccis talföljd
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...
Talföljder
Vi har två stycken talföljder
A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
De siffror som ingår i en
talföljd kallas för element.
A och B är ändliga talföljder och består vardera av 8 element.
Elementen kan exempelvis betecknas på följande vis 𝑎3 = 5, 𝑎4 = 7, 𝑏1 = 3.
A är de åtta första udda talen
B börjar med talet 3 och sen dubblas det vid varje kommande tal
Rekursiv formel
En talföljd kan ofta beskrivas med en formel. I en rekursiv formel så anger man
ett startvärde, kommande element beskrivs med hjälp av det föregående värdet.
A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
Formel för att beräkna det 𝑛:te elementet
A: 𝑎1 = 1; 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2
Startvärdet
för 𝑛 = 2,3,4, … , 8
Föregående element
B: 𝑏1 = 3; 𝑏𝑛 = 𝑏𝑛−1 × 2
Fibonaccis talföljd kan vi beskriva rekursivt
𝑓1 = 𝑓2 = 1; 𝑓𝑛 = 𝑓𝑛−1 + 𝑓𝑛−2
för 𝑛 > 2
för 𝑛 = 2,3,4, … , 8
Sluten formel
Kan vi beskriva en talföljd med en sluten formel får vi fördelen att vi inte behöver
veta det föregående elementet när vi skall beräkna det 𝑛:te elementet.
A: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
B: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
A: 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1
för 𝑛 = 1,2,3,4, … , 8
A är en aritmetisk talföljd då differensen mellan
två på varandra följande element är konstant.
B: 𝑏𝑛 = 3 × 2𝑛−1
för 𝑛 = 1,2,3,4, … , 8
B är en geometrisk talföljd då kvoten mellan två
på varandra följande element är konstant.
Exempel
En talföljd anges med formeln 𝑎𝑛 = 5𝑛 − 1.
𝑎) Är det en ändlig eller oändlig talföljd?
𝑏) Ange de fem första elementen i talföljden.
𝑐) Är talföljden beskriven med en rekursiv eller en sluten formel?
Exempel
𝑎) Beskriv talföljden 2, 6, 18, 54, 162, 486 med en rekursiv formel.
𝑎1 = 2; 𝑎𝑛 = 3𝑎𝑛−1
𝑏) Är talföljden en aritmetisk eller geometrisk?
för 𝑛 = 2, 3, … , 6
Dagens uppgifter
1. Bestäm de fem första elementen i följande talföljder
𝑎) 𝑎𝑛 = 𝑛 − 2
𝑏) 𝑎𝑛 = 5 − 3𝑛
𝑐) 𝑎𝑛 = 2𝑛−1
𝑑) 𝑎𝑛 =
3
𝑛
2. Bestäm de fem första elementen i följande talföljder
𝑎) 𝑎1 = 2; och 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 2
𝑏) 𝑎1 = 1; och 𝑎𝑛 = 5 + 3𝑎𝑛−1
3. Beskriv följande talföljder med en formel
𝑎) 1, 4, 9, 16, 25, ...
1 1 1
2 3 4
𝑏) 1, , , , …
4. Vi har en pyramid av kanonkulor.
Varje lager bildar en liksidig triangel.
𝑎) Hur många kulor finns i det 3:e lagret?
𝑏) Hur många kulor finns i det 4:e lagret?
𝑐) Hur många kulor finns i det 𝑛:te lagret?
Mer uppgifter finns på s.129
1
2
3
5. Hur många stickor finns det i 𝑛:te figuren?