Transcript Lektion 2 Kongruens och modulo

Matematik 5
Kongruens
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Begreppet kongruens hos hela tal och
kongruensräkning.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Tornet i Hanoi
n
2 -1
Problemet/spelet består av tre vertikala
pinnar fästa på en platta. På den vänstra
pinnen sitter n stycken platta cirkulära
skivor med hål i. Dessa skivor är olika
stora och sorterade i storleksordning med
den största underst. Spelet går ut på att
flytta över hela stapeln till högra pinnen
likadant sorterad. Mellanpinnen är bara
hjälppinne. Varje drag utgörs av att flytta
en skiva till en annan pinne med
restriktionen att man får inte lägga en
större skiva på en mindre. På en tom pinne
får man lägga vilken skiva som helst.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Erathostenes såll
Primtal
Heltalet p är ett
primtal om p>1 och p
inte kan skrivas som
produkten av två
heltal större än 1.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Goldbachs förmodan (1700-talet)
Denna förmodan säger att varje jämnt heltal (utom 2)
går att skriva som summan av två primtal.
Exempelvis är
4 = 2 + 2, 18 = 7 + 11 och 76 = 29 + 47.
Förmodan bygger på en kvalificerad gissning och anses vara sann. Otaliga
matematiker har försökt bevisa det, och på 1930-talet kom man en bit på väg. Då
bevisades en sats som säger att varje tillräckligt stort udda tal är summan av tre
primtal.
I dag kan Goldbachs förmodan kontrolleras i en dator, vilket man har gjort för alla tal
upp till 400 000 000 000. Men så länge det inte finns ett bevis som omfattar alla
jämna tal är det fortfarande möjligt att någon i morgon hittar ett mycket stort jämnt
tal för vilket påståendet inte gäller.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Delbarhetsregler
Ett heltal är delbart med
Kommentar
2,
om sista siffran (entalet) är jämn eller 0.
3,
om talets siffersumma är delbar med 3.
2121 har siffersumman 2 + 1 + 2 + 1 = 6 som är
delbart med 3. Alltså är 2121 delbart med 3.
4,
om det tal, som bildas av de två sista siffrorna är delbart med 4.
5632 är delbart med 4 eftersom 32 är delbart med 4.
5,
när sista siffran är 0 eller 5.
6,
när villkoren för 2 och 3 både är uppfyllda.
2010 är delbart med 6 eftersom siffersumman är 3
och det är ett jämnt tal.
7,
när talets tiotal minus dubbla antalet av talets ental är delbart med 7.
8,
när det tal, som bildas av de tre sista siffrorna är delbart med 8.
392 är delbart med 7 eftersom tiotalen (39) minus
dubbla entalet(2 + 2 = 4) är 35 (39 – 4 = 35), som är
delbart med 7.
1016 är delbart med 8 eftersom 016/2 = 8.
9,
när talets siffersumma är delbar med 9.
10,
när talets sista siffra är en nolla.
11,
när summan av varannan siffra i talet (siffror med udda ordningsnummer:
entalen, hundratalen, tiotusentalen osv.) minus summan av de övriga
siffrorna (siffror med jämn ordningsnummer) är delbar med 11.
9090510 är delbart med 11 eftersom 9 + 9 + 5 + 0 =
23 och 0 + 0 + 1 = 1 och 23 – 1 = 22 som är delbart
med 11.
12,
när villkoren för både 3 och 4 är uppfyllda.
132 är delbart med 12 eftersom siffersumman är 6
(delbart med 3) och 32 är delbart med 4.
13,
när antalet tiotal i talen plus fyra gånger sista siffran (antalet ental) är
delbart med 13.
6409 är delbart med 13 eftersom
640+9∙4=676 67+6∙4=91 9+4=13 som är delbart
med 13.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Kvot och rest
Vad blir kvoten(k) av bråket:
37
6
Det som blir över kallar vi rest (r).
Allmänt gäller då att
𝑎
𝑟
= 𝑘 + → 𝑎 = 𝑘𝑏 + 𝑟
𝑏
𝑏
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Principal rest
Om 0<r< 𝑏
Absolut minsta rest
Om −
𝑏
2
<𝑟≤
𝑏
2
Talteori – Euklides algoritm
När vi har stora tal och vill bestämma största
gemensamma delare (SGD) (Eng: GCD,
Greatest Common Divisor) använder vi en
algoritm (metod) att bestämma det som
kallas Euklides algoritm.
Om vi har talen 8316 och 2940.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Euklides algoritm
Vi kommer ihåg a=bk+r
8316 = 2940 ∙ 2 + 2436
2940 = 2436 ∙ 1 + 504
2436 = 504 ∙ 4 + 420
504 = 420 ∙ 1 + 84
420 = 84
∙5+ 0
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Vi börjar med att
dividera a med b och
få k.
Sedan subtraherar vi
a-bk och få r.
Vi slutar när vi får
resten 0
Talteori – Exempel
Beräkna den största gemensamma delaren
för talen 478464 och 598792.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – minsta gemensamma multipeln,MGM
Vi söker då efter det minsta talet som är
delbart med de talen som vi arbetar med.
Vi gör detta genom primtalsfaktorisering.
Exempel Finn MGM för 18 och 24.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruens
Kongruens betyder överensstämmelse och
används bland annat inom matematiken och
språkvetenskapen. Rent allmänt betyder
kongruens att två uttryck är av samma karaktär.
"Kungen och Silvia” eller ”Kungen och Drottningen”
I matematiken har vi stött på det i ma 2 i området
geometrin. Vi säger att två figurer är kongruenta
om respektive sida är lika.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Moduloräkning
När vi intresserar oss för rester och inte bryr
oss om kvoten pratar man om
moduloräkning.
Om man räknar med resterna vid division
med heltalet n säger man att man räknat
modulo n.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Talteori – Moduloräkning
Två tal som har samma rest vid division
med heltalet n kallar man ekvivalenta
modulo n.
Exempel: mod 3
Rest 1
Rest 2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rest 0
Talteori – Moduloräkning
Ekvivalensklass 2
3
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑘𝑙𝑎𝑠𝑠 2 𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 3
2 ≡ 5 ≡ −1 ≡ 11(𝑚𝑜𝑑3)
Rest 1
Rest 2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Rest 0
Kongruens modulo n- generellt
Två heltal a och b som får samma rest vid
division med n.
𝑎 =𝑝∙𝑛+𝑟
b=𝑞∙𝑛+𝑟
Vi subtraherar ekvationerna
𝑎 − 𝑏 = 𝑝 ∙ 𝑛 − 𝑞𝑛 + 𝑟 − 𝑟
𝑎 − 𝑏 = 𝑛(𝑝 − 𝑞)
Vad säger detta oss?
Jo, att a-b är delbart med n, n|(a-b)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruens modulo n- Definition
Två helatal a och b är kongruenta modulo n
om de ger samma rest vid divission med
heltalet n>0.
Detta skrivs 𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑𝑛).
Två heltal a och b är kongruenta om modulo
n om n|(a-b)
”n är en delare till (a-b)”
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning
Låt n vara ett positivt heltal. Då gäller
1. Om𝑎 ≡ 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑛)och 𝑐 ∈ 𝑍, så är
𝑐𝑎 ≡ 𝑐𝑏 𝑚𝑜𝑑 𝑛 .
Exempel: a=11, b=5 och c=3
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning
Låt n vara ett positivt heltal. Om
𝑎1 ≡ 𝑏1 𝑚𝑜𝑑 𝑛 𝑜𝑐ℎ𝑎2 ≡ 𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑛 så gäller:
2. 𝑎1 + 𝑎2 ≡ (𝑏1 +𝑏2 ) 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Exempel: a1=11, b1=5, a2=8 b2=2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning
Låt n vara ett positivt heltal. Om
𝑎1 ≡ 𝑏1 𝑚𝑜𝑑 𝑛 och𝑎2 ≡ 𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑛 så gäller:
3. 𝑎1 ∙ 𝑎2 ≡ 𝑏1 ∙ 𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Exempel: a1=11, b1=5, a2=8 b2=2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning
Kombinerar vi 1 och 2 så får vi subtraktionen
att fungera.
𝑎1 ≡ 𝑏1 𝑚𝑜𝑑 𝑛 ⟹ 𝑎 − 𝑎 ≡ (𝑏 − 𝑏 )(𝑚𝑜𝑑 𝑛)
1
2
1
2
𝑎2 ≡ 𝑏2 𝑚𝑜𝑑 𝑛
Exempel: a1=11, b1=5, a2=8 b2=2
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Klockan
Klockan är 21:00.Om elva timmar börjar jag
jobba. Vad är klockan då? (𝑚𝑜𝑑 24)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Addition
Addera 34 och 51 modulo 7
Direkt
34 + 51 = 85 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)
Stegvis
34 + 51 ≡ 6 + 2 = 8 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑7)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Multiplikation
Beräkna produkten av faktorerna 34 och 51
modulo 7
Direkt
34 ∙ 51 = 1734 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑7)
Stegvis
34 ∙ 51 ≡ 6 ∙ 2 = 12 ≡ 5(𝑚𝑜𝑑7)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Subtraktion
Subtrahera talen 72 och 33 modulo 6
72 − 33 = 39 = 6 ∙ 6 + 3 ≡ 3(𝑚𝑜𝑑6)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– ekvationer
Diofantiska ekvationer
Egenskapen är att de bara gäller för
heltalslösningar. De har utseendet:
ax+by=c
(där a,b,c∈ 𝑍, 𝑚𝑒𝑛 ≠ 0)
Vi kan skriva det som kongruens
Bestäm x så att ax ≡ 𝑐(𝑚𝑜𝑑 𝑏)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Modulära ekvationer
Lös ekvationen 6x ≡ 8 𝑚𝑜𝑑 17
1. Skriv om den till en diofantiskekvation
6x = 8 + 17y ⟺ 6x − 17y = 8
2. Bestäm sedan SGD(6,17) med Euklides
algoritm.
17 = 2 ∙ 6 + 5
6=1∙5+1
5=1∙5+0
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Modulära ekvationer
17 = 2 ∙ 6 + 5
6=1∙5+1
5=1∙5+0
MGD=1 (talen är då relativt prima)
3. Uttrycker det som en linjär kombination,
Euklides algoritm baklänges.
1=6−5
Löser ut MGM ur nästsista raden
1 = 6 − (17 − 2 ∙ 6) Ersätter resten från
ovanstående rad (i detta fall 5)
och sätter in i likheten.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Modulära ekvationer
1=6−5
Löser ut MGM ur nästsista raden
1 = 6 − (17 − 2 ∙ 6) Ersätter resten från
ovanstående rad (i detta fall 5)
och sätter in i likheten.
1 = 6 ∙ 3 − 17 ∙ 1
Föreneklar uttrycket,
1 = 6 ∙ 3 − 17 ∙ 1
8 = 6x − 17y
Jämför uttrycken. Vad ska jag
förlänga/förkorta med. (i detta
fall 8)
8 = 6 ∙ 24 − 17 ∙ 8
Vi har nu fått en partikulärlösning
till ekvationen. x=24 och y=8
x
y
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Modulära ekvationer
8 = 6 ∙ 24 − 17 ∙ 8
x
y
Vi har nu fått en partikulärlösning
till ekvationen. x=24 och y=8
Skala ner stora tal till det minsta i den
modulo man räknar i.
𝑥 = 24 = 17 + 7 ≡ 7(𝑚𝑜𝑑 17)
Kontrollera alltid lösningen
6 ∙ 7 = 42 = 2 ∙ 17 + 8 ≡ 8(𝑚𝑜𝑑(17)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Moduloräkning– Invers
Beräkna inversen till 3 modulo 7.
Det innebär?
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑙𝑙 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑎 ä𝑟
𝑒𝑡𝑡 𝑡𝑎𝑙 𝑏 = 𝑎−1 .
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑘𝑡𝑒𝑛 ä𝑟 𝑑å 𝑎𝑏 = 1
*
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
Moduloräkning– Division
Vilken rest erhålls när 235 divideras med 3?
2 ∙ 100 + 3 ∙ 10 + 5
Vad blir 100 (mod 3) och 10 (mod3)?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Potens
Vilken rest erhålls när 47 divideras med 7?
42 = 16 ≡ 2
Det gör att vi kan skriva om 47 till :
(4∙4)∙(4∙4)∙(4∙4)∙4=
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Kongruensräkning– Övningar
1) Vilken rest erhålls då 18+7 (mod 5)?
2) Vilken rest erhålls då 64 (mod 3)?
3) Idag är det fredag. Vilken veckodag är
det om 101dagar?
4) Vilken rest ges då 64∙78-65∙101 delas
med 5?
5) Vilken rest ges då 37 delas med 10?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net