Transcript Lektion 2 Rätalinjensekvation, funktioner (pdf)

Matematik 2
Funktioner
Vad är det och varför?,
Rätalinjens ekvation
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Centralt innehåll
Dagens lektion behandlar följande moment
i det centrala innehållet:
• Räta linjens ekvation samt hur analytisk
geometri binder ihop geometriska och
algebraiska begrepp
• Konstruktion av grafer till funktioner samt
bestämning av funktionsvärde och
nollställe, utan och med digitala verktyg.
Miniräknare
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Koordinater/koordinatsystem?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Vad är/gör en funktion?
Definition
Låt x vara en oberoende variabel och y en variabel
vars värde beror av x-värdet (en beroende
variabel). Om det till varje x-värde finns ett och
endast ett y-värde sägs y vara en funktion av x.
(Det innebär alltså att man kan vara säker på att
funktionsmaskinen ”spottar ut” samma värde varje
gång man ”matar in” ett och samma x-värde).
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Vad är/gör en funktion?
En funktion utför mönstret/regeln/formeln och skapar
ett y-värde som knyts till varje x-värde.
X
y
f(x)
X
funktionen
Definitionsmängd
Värdemängd
Alla tillåtna x-värden
Alla möjliga
funktionsvärden (y) som
kan erhållas med de
tillåtna x-värdena.
Ex Kaffe 25kr/pkt
Max 3pkt/hushåll
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
y
När används en funktion?
• Förenklar beskrivning, analys och förståelse av en
otroligt stor mängd förlopp och relationer inom
många vetenskaper (naturvetenskap, ekonomi).
• Matematiskt intresse (funktionsanalysen ett
huvudområde inom matematiken)
•Det finns olika typer av funktioner;
polynomfunktioner, potensfunktioner,
exponentialfunktioner, trigonometriska funktioner,
logaritmfunktioner.
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
När används en funktion?
•bakterietillväxt (inom biologi, medicin), befolkningstillväxt
• avståndet till stjärnor och galaxer miljontals ljusår bort
• radioaktivt sönderfall (åldersbestämning med kol-14 metoden t.ex.)
• frigjord energi vid jordbävningar
• förändring av jordens medeltemperatur (klimatforskning)
• tiden mellan två doser medicin för behålla rätt koncentration medicin i kroppen
• area och volym av både regelbundna och oregelbundna kroppar
• lufttryckets variation med höjd över marken
• hur hög hastighet ett flygplan måste ha för att kunna lyfta
• hur kraftiga fundamenten måste vara vid ett brobygge
• hur tjocka elkablarna måste vara i vårt elnät
• ekonomisk tillväxt/avtagande, ränta på ränta-effekter, utbud-efterfrågan relation
• nationalekonomiska mekanismer
• logiska operationer (i digitala kretsar)
och så vidare...
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
En funktion kan beskrivas på 3 sätt
X
1. Formel
y= 0,5x+2
2. Tabell
3. Graf
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
y
Vilka är funktioner?
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Att skriva funktionen
Vi skriver funktionen som att y är en funktion av x betecknas:
y = f (x)
(f (x) utläses ”f av x”)
f ( ) :funktionen f redo att utföra en regel, väntar på att
matas med ett ”värde” på den oberoende variabeln.
OBS! ”Värdet” måste inte vara ett tal.
Här skriver vi det ”värde” vi matar in i funktionen
Ex. f (x) = 2x – 1. Beräkna f ( 7).
f (7) betecknar funktionens värde då x = 7. Beräknas f (7 ) = 2 ⋅ 7 – 1 = 13, dvs. f (7) = 13
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Linjens lutning
En linje kan ha tre olika lutningar:
1. Positiv lutning
2. Negativ lutning
3. Ingen lutning
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Linjens lutning
Lutning – vad menar vi rent allmänt med det?
...skidbackars lutning. Branta/flacka...
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Linjens lutning - trappexempel
Flack: litet steg i höjdled/stort steg i sidled
Lutningen =
Brant: stort steg i höjdled/litet steg i sidled
Steg i höjdled (y-led)
Steg i sidled (x-led)
Andreas Lindahl
www.andreaslindahl.net
Linjens lutning
Trappors lutning...
Lutningen =
Lutningen A =
Steg i y-led
Steg i x-led
Lutningen B =
3
=-3
-1
1
-1
3
3 1
B
A
3
Linjers lutning
Vi bestämmer nu att vår definition av lutning för
skidbackar och trappor också ska gälla räta linjer.
Lutningen linje A =
1
3
A
B
Lutningen linje B =
3
-1
=-3
Linjens lutning (Riktningskoefficient)
I sammanhang där man arbetar med räta linjer eller linjära funktioner
anges en linjes lutning med bokstaven k. k kallas lika ofta för
riktningskoefficient
Definition:
En rät linjes lutning, k =
ändring i y-led y2-y1
=
=
x2 –x1
ändring x-led
Δy
Δx
Grekiska bokstaven ”delta”. I matematiken är
Δ synonymt med ändring
Riktningskoefficienen står framför variabeln i sambandet. y=kx
Miniräknare
Linjens lutning (Riktningskoefficient)
y
y
x
k>0
f (x) växande
Hur ser grafen ut?
x
k<0
f (x) avtagande
Hur ser grafen ut?
y
y
x
horisontell linje, k?
k=0
f (x) konstant
x
vertikal linje, k?
k saknas, linjens ekvation: x = b
OBS! En vertikal linje beskriver ingen funktion