Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Download
Report
Transcript Kap 1 - Algebra och linjära modeller
Kap 1 - Algebra och linjära modeller
1
1.1 Algebra
2
Prioriteringsreglerna
3
Prioriteringsreglerna
3 23 2
7
(3 2) 3 2 13
3 2 (3 2) 5
3 2 3 2 13
2
4
PRIORITERINGSREGLERNA
Fungerande strategi
(2+2) + 23 + 4*2 - 2 =
4
+ 23 + 4*2 - 2 = (parenteser)
4
+ 8 + 4*2 - 2 =
(potenser)
4
+ 8 +
8
- 2 =
(mult.)
4
+ 8 +
8
- 2 = 18 (add/sub.)
MULT. OCH DIV. MED NEGATIVA TAL
• (-4)×(-3) =
• 4×(-3)
=
• (-24)/3
=
• (-24)/(-3)=
12
-12
-8
8
”lika tecken” ger plus
”olika tecken” ger minus
NEGATIVA TAL
1. 17 - 3 × 2 + 5 - 18/3
2. 17 - 6
+ 5 – 6
3. 17 + 5
- 6 – 6
4. 22
- 12
5. 10
TALLINJEN
› Skillnad mellan 3 och (-3)?
› Differens av 3 och (-3)?
› 3 – (-3)= 6
PÅ RÄKNAREN
3 – (-3)= 6
ADDITION OCH SUBTRAKTION
MED NEGATIVA TAL
–
› (-4) + (-6) = -10
› (-4) - (-6) =
2
+
Tecken intill varandra:
LIKA
+
OLIKA –
RÄKNA MED BRÅK
7 3 7
12 8 24
7 14
12 24
3 9
8 24
VAD SKA VI GÖRA NU?
VI FÖRLÄNGER DESSA BÅDA BRÅK OCH FÅR DÅ…
14 9
7 12 1
24 24 24 24 2
HÄR FÖRKORTAR VI
MULTIPLIKATION AV BRÅK
4 2 8
7 7 49
4 3 11 3 33 11
1
7 6 7 6 42 14
Samma värde
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
ATT INVERTERA ETT HELTAL
7
ATT INVERTERA ETT HELTAL
71
7
17
DIVISION AV BRÅK
4 2
/
7 7
HUR SKALL VI GÖRA NU?
4 7
7 2
VAD HAR VI GJORT?
”DIVISION MED 2/7 MULTIPLIKATION MED 7/2”
Algebraiska uttryck
x 2 3x 4 2 x 6
Variabeltermer
Konstanttermer
25
Algebraiska uttryck
3x
2
3x 3x 3 3 x x 9 x 2
x( x 5) (3x)
x 5x 9 x
2
2
2
10x 5x
2
26
Algebraiska uttryck
(3x) (3x) (3x)
2
(3x) 9x
2
3x 3x
2
2
2
27
Algebraiska uttryck
5
3
15
28
Algebraiska uttryck
b
a
ab a b
29
Algebraiska uttryck
3 2
3
9
15
6
30
Algebraiska uttryck
a b
a
a
2
ab
a²+ab
31
Algebraiska uttryck
a (a b) a(a b)
2
a ab
32
Ekvationer
33
Ekvationer
34
Lägga plattor runt rabatter
35
Lägga plattor runt rabatter
36
1.2 Funktioner
37
f(x)
› f(x) utläses f av x
› f är en funktion av x
› Men det går också att säga y
f(x) = y
45
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y 3? x 7
46
Hitta tal…
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x)
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
f x 3x 7
47
Hitta tal…
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
10
13
16
??
??
25
28
??
34
??
y 3n 7
48
Funktionsmaskin
x
JO!
UTvärdet = INvärdet gånger 2 plus ett
x
2x + 1
f(x) = 2x + 1
f(x) = y
IN = 1 UT = 3
IN = 2 UT = 5
IN = 3 UT = 7
IN = 4 UT = 9
IN = 5 UT = 11
f(x) = y
Vad gör funktionsmaskinen?
Vilken funktion har den?
Hur kan man skriva funktionen?
f(x) = 2x + 1 kan också skrivas y = 2x + 1
Med andra ord y = f(x)
50
NÄR ÄR Y EN FUNKTION AV X
y
f(x)
3
•
X=2
Y=3
•
X=5
Y=6
(5,6)
(2,3)
2
x
51
VÄRDE OCH DEFINITION
y
Värdeaxel
3
X=2
Y=3
•(5,6)
X=5
Y=6
•(2,3)
Definitionsaxel
2
x
När definitionen är 2, så är värdet 3
När definitionen är 5, så är värdet 6
54
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
2
x 1
∆x = 1
56
1.3 Räta linjens ekvation
57
RÄTA LINJENS EKVATION
Linjens lutning
•
y 2
2k
x 1
•
Linjens ekvation
•
y 2x 3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
y kx m
62
RÄTA LINJENS EKVATION
y kx m
k = linjens lutning
m = var linjen skär y-axeln
63
LINJEN
y = 2x + 3
Hur vet jag att namnet på denna linje är y = 2x + 3?
64
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k
x 2
m 2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y x2
2
y 1,5x 2
Vilket sätt att skriva är bäst?
65
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
x 4 2
m 2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y x2
2
y 1,5x 2
66
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y x2
2
y 1,5x 2
DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA!
•
67
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
68
Buskar på rad
Buskar på rad
y 5x 3
x
y = 5x + 3
1
8
2
13
3
18
4
23
5
28
VINKELRÄTA LINJER
y 2x 1
1
y x 1
2
1
2 ( ) 1
2
Om man multiplicerar k-värdena för
två vinkelräta linjer får man alltid
produkten -1
71
K-VÄRDEN FÖR VINKELRÄTA LINJER
y 2x 1
1
y x 1
2
2
k1 2
1
1
k2
2
2
1
2
( ) 1
1
2
2
72
ATT INVERTERA ETT BRÅK
32
32
73
ATT INVERTERA ETT HELTAL
71
7
17
74
INVERTERADE TAL
4 7 28
1
7 4 28
13 9
1
9 13
1
7 1
7
7 1
1
1 7
Om man multiplicerar ett tal med dess
inverterade värde får man alltid
produkten 1 (ett).
75
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
1
? 1
3
3
(3)
1
2
? 1
7
7
(3,5)
2
76
INVERTERADE TAL
Om man multiplicerar ett tal med dess inverterade
värde får man alltid produkten 1 (ett).
8
? 1
11
11
8
5? 1
1
5
77
LINJERS LUTNING
•
(1,5)
∆y = 2
•
(0,3)
Linjens lutning =
y 2
2
x 1
∆x = 1
78
RÄTA LINJENS EKVATION
•
Linjens lutning
•
y 2
2k
x 1
Linjens ekvation
•
y 2x 3
Några punkter på linjen
x
2x+3 (y)
-1
1
0
3
1
5
m
y kx m
80
VAD HETER DENNA LINJE?
y 3
k
x 2
m 2
•
∆y = 3
•
∆x = 2
3
y x2
2
y 1,5x 2
Vilket sätt tycker Du är bäst att skriva?
81
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
x 4 2
m 2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y x2
2
y 1,5x 2
82
VAD HETER DENNA LINJE?
3
y x2
2
y 1,5x 2
ÄR DETTA SÄTT ÄR ATT FÖREDRA?
•
83
PARALLELLA LINJER
y = 2x + 1
y = 2x - 1
Parallella linjer har samma k-värde
Parallella linjer har samma lutning
84
PARALLELLA LINJER
Vad heter dessa linjer?
y 2x 5
y 2x 0
85
VINKELRÄTA LINJER
88
God studieteknik?
1.4 Linjära ekvationssystem
•
Vad menas med en lösning?
90
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
VAD
Svar:
MENAS
x = -1,
MED
y=
EN0 LÖSNING?
•
Y=-x-1
91
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Y=2x+2
y 2x 2
y x 1
•
x 1
y 0
Y=-x-1
92
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
y 2x 2
y x 1
x 1
y 0
Om lösningen stämmer i
båda ekvationerna så är
lösningen exakt.
Vi testar om lösningen är exakt:
Första ekvationen
2 ( 1) 2 0
Andra ekvationen
(1) 1 0
Det stämmer!
93
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
94
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
95
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
96
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
Uppgift
1.
2.
Vad heter linjerna?
Vilka koordinater har linjernas skärningspunkt?
97
LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM
3
y 2 x 8
y 5 x 0
2
•
x 2
y 5
2,5
98
VAD HETER DENNA LINJE?
•
y 6 3
k
x 4 2
m 2
∆y = 6
•
∆x = 4
3
y x2
2
y 1,5x 2
100
TRE LÖSNINGSMETODER
(AV EKVATIONSSYSTEM)
› GRAFISK LÖSNING
› SUBSTITUTIONSMETODEN
› ADDITIONSMETODEN
107
GRAFISK LÖSNING AV EKVATIONSSYSTEM
x 0,7
y 2,3
Värdena på x och y fås genom att läsa direkt i grafen.
108
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y 4 x 17
y 5x 2
3 y 4 x 17
y 5x 2
110
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y 4 x 17
y 5x 2
3 (y5x 4x2
) 174 x 17
15 x 6 4 x 17
15 x 4 x 6 6 17 6
11x 11 x 1
111
SUBSTITUTIONSMETODEN
3 y 4 x 17
y 5x 2
x 1
3 y 4 1 17
3 y 4 17
3y 4 4 17 4
3 y 21
y7
112
SUBSTITUTIONSMETODEN
x 1 y 7
3 y 4 x 17
y 5x 2
Ekvationssystemet har lösningen:
x 1, y 7
Detta kan även skrivas:
x 1
eller
y 7
1,7
113
ADDITIONSMETODEN (PRINCIPEN)
22
33
23 23
116
ADDITIONSMETODEN
2 x 3 y 16
4 x 3 y 14
2 x 4 x 3 y 3 y 16 14
117
ADDITIONSMETODEN
2 x 3 y 16
4 x 3 y 14
2 x 4 x 3 y 3 y 16 14
6 x 30 x 5
2 5 3 y 16
3y 6 y 2
118
ADDITIONSMETODEN
2 x 3 y 16
4 x 3 y 14
x5
y2
Ekvationssystemet har lösningen:
x 5, y 2
Detta kan även skrivas:
x 5
eller
y 2
5, 2
119
ATT KUNNA TILL PROV 1
› ATT KUNNA TILL PROV 1