Transcript Linjära ekvationssystem

Vektorgeometri f¨
or gymnasister
Per-Anders Svensson
http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html
Fakulteten f¨
or teknik
Linn´
euniversitetet
Linj¨
ara ekvationssystem
Inneh˚
all
Linj¨
ara ekvationssystem
Gausselimination
Om antalet l¨osningar till ett linj¨
art ekvationssystem
Under- och ¨overbest¨amda ekvationssystem
Homogena och inhomogena ekvationssystem
 augusti 
2(30)
Linj¨ara ekvationssystem
Definition (Linj¨ar ekvation)
L˚
at a1 , a2 , . . . , an och b vara k¨
anda tal. En linj¨
ar ekvation med n
obekanta (eller variabler) x1 , x2 , . . . , xn kan skrivas
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b.
Talen a1 , a2 , . . . , an kallas f¨
or respektive variabels koefficient.
Exempel
• Ekvationen 3x1 + x2 − 5x3 = 12 ¨
ar en linj¨
ar ekvation med tre
variabler (eller obekanta) x1 , x2 och x3 . Koefficienterna f¨or dessa
variabler ¨ar i tur och ordning 3, 1 och −5.
• Ekvationen 7x1 + 2x2 x3 = 4 har ocks˚
a tre variabler, men den ¨ar
inte linj¨ar, p˚
a grund av termen 2x2 x3 .
√
• Ekvationen x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0 ¨
ar inte heller linj¨ar, p˚
a grund
√
av termen x4 .
 augusti 
3(30)
Definition (L¨osning till linj¨ar ekvation)
Med en l¨
osning till en linj¨
ar ekvation
a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b
avses en upps¨attning av v¨
arden p˚
a variablerna x1 , x2 , . . . , xn som
uppfyller ekvationen.
Exempel
Ekvationen
3x + y = 6
(1)
ar en linj¨ar ekvation i tv˚
a variabler x och y. En l¨
osning till denna
¨
ekvation ges av x = 1, y = 3. En annan l¨
osning ¨
ar x = 0, y = 6. Finns
det fler l¨osningar? Hur m˚
anga finns det?
Om vi i (1) l¨oser ut y, f˚
ar vi
y = −3x + 6,
vilket vi kan tolka som ekvationen f¨
or en r¨
at linje. Varje punkt p˚
a
denna linje svarar mot en l¨
osning till (1) och tv¨
artom. Det finns allts˚
a
o¨
andligt m˚
anga l¨osningar!
 augusti 
4(30)
Definition (Linj¨art ekvationssystem)
Ett linj¨
art ekvationssystem med n obekanta och p ekvationer kan
skrivas

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..

.



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . + apn xn = bp .
Koefficienten aij finns framf¨
or variabeln xj i ekvation nummer i. En
l¨
osning till ekvationssystemet a
attning av v¨arden p˚
a
¨r en upps¨
variablerna x1 , x2 , . . . , xn som uppfyller alla ekvationerna samtidigt.
 augusti 
5(30)
Exempel
Ekvationssystemet
x −y=1
3x − y = 3
har l¨
osningen
x =1
y = 0.
Finns det fler l¨osningar?
Nej, ty om man l¨oser ut y ur b˚
ada ekvationerna, f˚
ar man y = x − 1
respektive y = 3x − 3. Dessa tv˚
a r¨
ata linjer har en enda gemensam
sk¨
arningspunkt (1, 0) (rita i ett koordinatsystem!), s˚
a x = 1, y = 0 ¨ar
den enda gemensamma l¨
osningen till de b˚
ada ekvationerna i systemet.
 augusti 
6(30)
Exempel
Ekvationssystemet
x + y=2
2x + 2y = 6
saknar l¨
osning.
L¨
oser man ut y ur b˚
ada ekvationerna f˚
ar man y = −x + 2 respektive
y = −x + 3. Dessa tv˚
a linjer ¨
ar parallella (samma riktningskoefficient;
k = −1); det saknas sk¨
arningspunkter och d¨
armed l¨osningar till
ekvationssystemet. (Rita!)
Exempel
Hur m˚
anga l¨osningar har ekvationssystemet
4x − 2y = 4
−2x + y = −2?
B˚
ada ekvationerna svarar mot den r¨
ata linjen y = 2x − 2. Samtliga
punkter p˚
a denna linje svarar mot en l¨
osning av ekvationssystemet;
det finns allts˚
a o¨andligt m˚
anga l¨
osningar.
 augusti 
7(30)
Gausselimination
Tv˚
a ekvationssystem som har samma l¨
osningar s¨
ages vara ekvivalenta.
Ekvivalenta ekvationssystem kan dock se v¨
aldigt olika ut.
Givet ett ekvationssystem, s˚
a f˚
ar man ett till detta ekvivalent system,
om man
• ¨
andrar ordningsf¨oljden p˚
a ekvationerna i systemet
• multiplicerar n˚
agon av ekvationerna med ett tal som ej ¨ar 0
• till en ekvation adderar en (multipel av en) annan ekvation.
Man kan l¨osa ett ekvationssystem genom att successivt bilda andra
ekvivalenta ekvationssystem, som ¨
ar alltmer ”l¨
attare” att l¨osa.
Gausselimination, ¨aven kallat successiv elimination, ¨ar en generell
metod f¨or att genomf¨ora detta.
 augusti 
8(30)
Exempel
L¨
os ekvationssystemet

 x1 + x2 + 2x3 = 3
x1 + 2x2 + x3 = 4

2x1 + x2 + x3 = 5.
Med hj¨alp av Gausselimination f˚
ar vi


x1 + x2 + 2x3
 x1 + x2 + 2x3 = 3
x2 − x3
x1 + 2x2 + x3 = 4 −1
⇐⇒


−x2 − 3x3
2x1 + x2 + x3 = 5
−2

x1 + x2 + 2x3
x2 −
x3
⇐⇒

−4x3
= 3
= 1
= −1
+
=3
=1
= 0.
Genom att successivt eliminera (”plocka bort”) variabler fr˚
an andra
och tredje ekvationen, har vi nu f˚
att ett ekvationssystem som ¨ar
ekvivalent med det ursprungliga, men d¨
ar det ¨
ar betydligt l¨attare att
hitta l¨
osningen.
 augusti 
9(30)

x 1 + x 2 +
x2 −

2x3 = 3
x3 = 1
−4x3 = 0
Fr˚
an den tredje ekvationen ser vi n¨
amligen direkt att x3 = 0, vilket
insatt i den andra ekvationen ger x2 = 1. S¨
atter vi slutligen x2 = 1 och
x3 = 0 i den f¨orsta ekvationen, f˚
ar vi x1 = 2.
Sammanfattningsvis kan vi skriva l¨
osningen till ekvationssystemet som

x 1 = 2
x2 = 1

x3 = 0.
Exempel
Om vi avser att l¨osa ekvationssystemet

x2 − 2x3 = 3

x1 + 2x2 − x3 = 2

2x1 + 3x2 + x3 = −1
p˚
a samma s¨att som i det f¨
orra exemplet, s˚
a g˚
ar det inte, eftersom x1
saknas
i
den
f¨
o
rsta
ekvationen.
 augusti 
10(30)
Vi kan dock byta plats p˚
a t.ex. den f¨
orsta och den andra ekvationen,
och d¨
arefter forts¨atta som ovan:


x2 − 2x3 = 3

 x1 + 2x2 − x3 = 2
x1 + 2x2 − x3 = 2
x2 − 2x3 = 3
⇐⇒
⇐⇒


2x1 + 3x2 + x3 = −1
2x1 + 3x2 + x3 = −1 −2


x1 + 2x2 − x3 = 2
x1 + 2x2 − x3 = 2
x2 − 2x3 = 3
x2 − 2x3 = 3
⇐⇒


−x2 + 3x3 = −5 +
x3 = −2.
Detta ekvationssystem kan vi nu l¨
osa genom att s¨
atta in x3 = −2 i
den andra ekvationen f¨
or att f˚
a ut x2 , o.s.v.
Men vi kan ocks˚
a forts¨
atta med att eliminera variabler p˚
a f¨oljande vis:


+
−2
= 0
x1 + 2x2
x1 + 2x2 − x3 = 2
2
x2
= −1
x2 − 2x3 = 3
⇐⇒


x3 = −2
x3 = −2

x 1 = 2
⇐⇒ x2 = −1

x3 = −2.
 augusti 
11(30)
Exempel
L¨
os ekvationssystemet

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 4.
Successiv elimination ger

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 4
⇐⇒
−2
−4

x 1 +

x2 − x3 = 2
−x2 + 3x3 = −1
−x2 + 3x3 = −4.
Vi f˚
ar ett ekvationssystem, d¨
ar de tv˚
a sista ekvationerna mots¨ager
varandra: −x2 + 3x3 kan inte b˚
ade vara lika med −1 och −4.
Ekvationssystemet saknar d¨
arf¨
or l¨
osning.
 augusti 
12(30)
Exempel
Betrakta samma ekvationssystem som i det f¨
orra exemplet, s˚
an¨ar som
p˚
a att h¨
ogerledet i den sista ekvationen ¨
andras fr˚
an 4 till 7:


 x1 + x2 − x3 = 2
x 1 + x 2 − x 3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3 −2
−x2 + 3x3 = −1
⇐⇒


4x1 + 3x2 − x3 = 7
−x
2 + 3x3 = −1.
−4
Den h¨
ar g˚
angen f˚
ar vi ett ekvationssystem, d¨
ar den andra och tredje
ekvationen s¨ager precis samma sak! Vi kan d¨
arf¨
or lika g¨arna stryka
den sista ekvationen, eftersom den inte tillf¨
or ny information:
x1 + x2 − x3 = 2
−x2 + 3x3 = −1.
Detta ¨
ar ett ekvationssystem med o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar, ty f¨or
varje v¨
arde som vi tilldelar x3 , t.ex. x3 = t , f˚
ar vi n¨amligen fr˚
an den
andra ekvationen att x2 = 1 + 3t . Med x2 = 1 + 3t och x3 = t insatt i
den f¨
orsta ekvationen, blir slutligen x1 = 1 − 2t .
 augusti 
13(30)
Vi sammanfattar: Ekvationssystemet

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 7
har o¨
andligt m˚
anga l¨osningar, och dessa kan tecknas p˚
a formen

x1 = 1 − 2t
x2 = 1 + 3t

x3 =
t,
d¨
ar t ¨
ar ett godtycklig reellt tal. F¨
or varje v¨
arde p˚
a t f˚
ar vi en l¨osning
till ekvationssystemet, f¨
or t.ex. t = 2 f˚
ar vi l¨
osningen
(x1 , x2 , x3 ) = (−3, 7, 2). Vi kallar t f¨
or en parameter och s¨ager att
l¨
osningen till ekvationssystemet ¨
ar enparametrig (eftersom vi beh¨over
just en parameter f¨or att skriva upp l¨
osningen).
Man kan ¨aven st¨ota p˚
a l¨
osningar som ¨
ar tv˚
aparametriga,
treparametriga, o.s.v., beroende p˚
a hur m˚
anga parametrar man
beh¨
over f¨or att teckna l¨
osningen. Allm¨
ant: om m parametrar beh¨ovs,
s¨
ager man att man har en m-parametrig l¨
osning.
 augusti 
14(30)
Exempel
Vi ger ett exempel p˚
a ett ekvationssystem, d¨
ar det visar sig att
l¨
osningen ¨ar tv˚
aparametrig:

x1 − 2x2 + 3x3 + 2x4 = 4



2x1 + 3x2 − x3 − 3x4 = 1 −2
4x1 − x2 + 5x3 + x4 = 9

−4


3x1 + 8x2 − 5x3 − 8x4 = −2
−3

x
−
2x
+
3x
+
2x
=
4

1
2
3
4


7x2 − 7x3 − 7x4 = −7
⇐⇒
7x2 − 7x3 − 7x4 = −7



14x2 − 14x3 − 14x4 = −14.
De tre sista ekvationerna ¨
ar alla ekvivalenta med x2 − x3 − x4 = −1.
Vi kan d¨arf¨or v¨alja x3 och x4 godtyckligt, s¨
ag x3 = s och x4 = t . D˚
a
blir x2 = −1 + x3 + x4 = −1 + s + t . Fr˚
an den f¨
orsta ekvationen f˚
as
slutligen
x1 = 4 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4 + 2(−1 + s + t ) − 3s − 2t = 2 − s.
 augusti 
15(30)
Vi sammanfattar: Ekvationssystemet

x1 − 2x2 + 3x3



2x1 + 3x2 − x3
4x1 − x2 + 5x3



3x1 + 8x2 − 5x3
+ 2x4
− 3x4
+ x4
− 8x4
= 4
= 1
= 9
= −2
har o¨
andligt m˚
anga l¨osningar, vilka kan beskrivas av den
tv˚
aparametriga framst¨allningen

x1 = 2 − s



x2 = −1 + s + t
x3 =
s



x4 =
t,
d¨
ar s och t ¨ar godtyckliga reella tal. (Varje val av s och t ger en
l¨
osning till ekvationssystemet.)
 augusti 
16(30)
Om antalet l¨
osningar till ett linj¨
art ekvationssystem
Av de exempel vi studerat, verkar det som om ett linj¨art
ekvationssystem antingen har exakt en l¨
osning, o¨
andligt m˚
anga
l¨
osningar eller inga l¨osningar alls. Man kan bevisa att detta g¨aller
allm¨
ant:
Sats
Ett linj¨
art ekvationssystem har antingen
• en entydig l¨
osning
• o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar
• inga l¨
osningar.
 augusti 
17(30)
Exempel
Unders¨ok f¨or vilka v¨arden p˚
a konstanterna a och b som

 x + ay − 2z = 3
2x + y − 3z = b

−x
+ z =1
har
• exakt en l¨
osning
• o¨
andligt m˚
anga l¨osningar
• ingen l¨
osning alls.
Om vi l¨oser detta ekvationssystem med hj¨
alp av Gausselimination,
och t.ex. anv¨ander den f¨
orsta ekvationen f¨
or att eliminera x fr˚
an de
b˚
ada andra, kommer konstanten a att ”f¨
ororena” dessa tv˚
a ekvationer,
vilket kan g¨ora systemet sv˚
arare att l¨
osa. Vi g¨
or det enklare f¨or oss,
om ser till s˚
a konstanterna a och b f¨
orekommer i s˚
a f˚
a ekvationer som
m¨
ojligt.
 augusti 
18(30)

 x + ay − 2z = 3
2x + y − 3z = b

−x
+ z =1
+
2


−
ay − z = 4
⇐⇒
y −z =2+b

−x
+z =1

(a − 1)y
=2−b

⇐⇒
y −z =2+b

−x
+z =1
F¨
orst eliminerar vi x fr˚
an den f¨
orsta och den andra ekvationen, med
hj¨
alp av den tredje. Sedan eliminerar vi z fr˚
an den f¨
orsta ekvationen,
med hj¨
alp av den andra.
Fr˚
an ekvationen (a − 1)y = 2 − b skulle vi kunna l¨
osa ut y och f˚
a
y=
2−b
,
a −1
men f¨
or att vi ska kunna g¨
ora detta m˚
aste a 6= 1 (annars dividerar vi
med noll!). Med detta v¨
arde p˚
a y f˚
as fr˚
an ekvationen y − z = 2 + b i
sin tur att
2−b
z =y −2−b =
− 2 − b.
a −1
 augusti 
19(30)
Hittills har vi allts˚
a
y=
2−b
a −1
och z =
2−b
− 2 − b.
a −1
Fr˚
an den sista ekvationen −x + z = 1 i systemet f˚
as slutligen att
x =z −1=
2−b
2−b
−2−b −1 =
− 3 − b.
a −1
a −1
Vi har allts˚
a hittat en entydig l¨
osning

2−b


x =
−3−b


a −1




2−b
y=

a
−1






z = 2 − b − 2 − b
a −1
till systemet, men detta ¨
ar under f¨
oruts¨
attningen att a 6= 1.
 augusti 
20(30)
Genom att utg˚
a fr˚
an den f¨
orsta ekvationen i systemet

(a − 1)y
=2−b

y −z =2+b

−x
+z =1
kom vi allts˚
a fram till att om a 6= 1, s˚
a har systemet entydig l¨osning.
Vad h¨
ander om a = 1? Ekvationssystemet ovan f˚
ar d˚
a utseendet

0=2−b

y −z =2+b

−x
+z =1
och vi ser direkt fr˚
an f¨orsta ekvationen att vi m˚
aste ha b = 2, f¨or att
det ska finnas l¨osningar. Om b 6= 2 saknas allts˚
a l¨
osningar. Med b = 2
s˚
a f˚
as ekvationssystemet
y −z =4
−x
+ z = 1,
som man enkelt ser har o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar.
 augusti 
21(30)
Vi sammanfattar: Ekvationssystemet

 x + ay − 2z = 3
2x + y − 3z = b

−x
+ z =1
har
• exakt en l¨
osning, om a 6= 1
• o¨
andligt m˚
anga l¨osningar, om a = 1 och b = 2
• inga l¨
osningar alls, om a = 1 och b 6= 2.
R¨
akningarna f¨or den h¨
ar typen av problem tenderar ofta att bli
ganska m¨odosamma, och det ¨
ar l¨
att h¨
ant att man r¨
aknar fel. Men
l¨
angre fram i kursen kommer vi f˚
a ett verktyg som i regel g¨or det
betydligt enklare att ˚
atminstone best¨
amma konstanten a i
ovanst˚
aende exempel.
 augusti 
22(30)
Under- och ¨
overbest¨
amda ekvationssystem
Definition (Under- och ¨overbest¨amda ekvationssystem)
Ett linj¨art ekvationssystem

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..

.



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . + apn xn = bp
s¨
ages vara
• underbest¨
amt om p < n (fler obekanta ¨
an ekvationer)
• o
amt om p > n (fler ekvationer a
¨n obekanta).
¨verbest¨
 augusti 
23(30)
Exempel
Ekvationssystemet
2x1 + x2 + x3 = 1
4x1 − 2x2 + 3x3 = 5
ar underbest¨amt, medan
¨
ar ¨
overbest¨amt.
¨

 x1 + 3x2 = 4
2x1 − x2 = 1

3x1 + 2x2 = 5
Ett underbest¨amt ekvationssystem har oftast (men inte alltid)
o¨
andligt m˚
anga l¨osningar. Ett ¨
overbest¨
amt ekvationssystem har oftast
(men inte alltid) inga l¨osningar. Unders¨
ok p˚
a egen hand hur det ligger
till med ekvationssystemen i exemplet ovan!
 augusti 
24(30)
Homogena och inhomogena ekvationssystem
Definition (Homogena och inhomogena ekvationssystem)
Ett linj¨art ekvationssystem

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
..

.



ap1 x1 + ap2 x2 + . . . + apn xn = bp
s¨
ages vara
• homogent om b1 = b2 = · · · = bp = 0
• inhomogent om bj 6= 0 f¨
or minst ett j .
Ett homogent ekvationssystem har alltid minst en l¨osning, n¨amligen
den triviala l¨osningen x1 = x2 = · · · = xn = 0.
 augusti 
25(30)
Exempel
Studera de tv˚
a ekvationssystemen
2x1 + x2 = 2
och
x1 − x2 = 0
2x1 + x2 = 0
x1 − x2 = 0.
Det v¨
anstra ekvationssystemet ¨
ar inhomogent medan det h¨ogra ¨ar
homogent. L¨agg m¨arke till att v¨
ansterleden i de b˚
ada
ekvationssystemen ¨ar identiska!
Vi l¨
oser det inhomogena ekvationssystemet:
−2
2x1 + x2 = 2
3x2 = 2
x1 = 2/3
⇐⇒
⇐⇒
x1 − x2 = 0
x1 − x2 = 0
x2 = 2/3
och det homogena:
2x1 + x2 = 0
x1 − x2 = 0
−2
⇐⇒
3x2 = 0
⇐⇒
x1 − x2 = 0
x1 = 0
x2 = 0.
B˚
ada ekvationssystemen har exakt en l¨
osning, och f¨
or det homogena
systemet r¨or det sig om den triviala l¨
osningen (x1 = x2 = 0).
 augusti 
26(30)
Exempel
Nedan finns tv˚
a inhomogena ekvationssystem med samma v¨ansterled.
Det visar sig att det ena har o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar, medan det
andra saknar l¨osning. Visa detta som en ¨
ovning!
3x1 − x2 = −1
3x1 − x2 = −1
−6x1 + 2x2 = 2
−6x1 + 2x2 = 3
F¨
or motsvarande homogena ekvationssystem
3x1 − x2 = 0
−6x1 + 2x2 = 0
ar l¨
att att se att det har o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar. P˚
a parameterform
¨
kan vi skriva dessa som
x1 = t
x2 = 3t .
 augusti 
27(30)
N¨
ar vi i de tv˚
a senaste exemplet st¨
otte p˚
a ett inhomogent
ekvationssystem som saknar l¨
osning eller har o¨
andligt m˚
anga, s˚
a har
motsvarande homogena ekvationssystem o¨
andligt m˚
anga l¨osningar,
och n¨
ar det inhomogena systemet hade exakt en l¨
osning hade
motsvarande homogena system ocks˚
a bara en l¨
osning − den triviala.
Man kan bevisa att detta g¨
aller f¨
or ekvationssystem i allm¨anhet:
Sats
Ett inhomogent linj¨
art ekvationssystem har exakt en l¨
osning, om och
endast om motsvarande homogena ekvationssystem endast har den
triviala l¨
osningen.
 augusti 
28(30)
Exempel
Det homogena ekvationssystemet

−x1 − 4x2 + 8x3 = 0
2x1 + 13x2
=0

3x1 + 5x2 + x3 = 0
har endast den triviala l¨
osningen x1 = x2 = x3 = 0. (Visa detta genom
att l¨
osa ekvationssystemet!) Inneb¨
orden av f¨
oreg˚
aende sats ¨ar, att
vilka tal vi ¨an byter ut nollorna i h¨
ogerleden ovan mot, s˚
a f˚
ar vi ett
ekvationssystem som har exakt en l¨
osning. Detta g¨
aller allts˚
a till
exempel f¨or

−x1 − 4x2 + 8x3 = 214801
2x1 + 13x2
= −25,8
√

3x1 + 5x2 + x3 =
89.
 augusti 
29(30)
F¨
oreg˚
aende sats s¨ager ocks˚
a, att om ett homogent ekvationssystem
har o¨
andligt m˚
anga l¨osningar, s˚
a har ett motsvarande inhomogent
ekvationssystem antingen o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar, eller s˚
a saknas
l¨
osning. Vilket fall som g¨
aller, beror p˚
a hur h¨
ogerleden ser ut.
Exempel
I ett par tidigare exempel konstaterade vi att det inhomogena
ekvationssystemet

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 7
hade o¨
andligt m˚
anga l¨
osningar, medan

 x1 + x2 − x3 = 2
2x1 + x2 + x3 = 3

4x1 + 3x2 − x3 = 4
˚
a sin sida saknade l¨osning. Det enda som skiljer ekvationssystemen ˚
at
ovan, ¨
ar hur h¨ogerleden ser ut, s˚
a deras motsvarande homogena
ekvationssystem ¨ar ett och samma. Detta homogena system m˚
aste ha
o¨
andligt m˚
anga l¨osningar (verifiera detta genom att l¨osa det!)
 augusti 
30(30)