Transcript lösningsförslag

Problem 1. Tv˚
a perfekt plana glasplattor (10×10 cm) ligger p˚
a varandra, men p˚
a
en sida ligger ett pappersark mellan glasskivorna, s˚
a att det uppst˚
ar
en luftkil. Skivorna belysas ovanifr˚
an med diffust natriumljus (v˚
agl¨angd 589 nm).
a) Ungef¨
ar hur m˚
anga interferensfransar kan man f¨orv¨anta sig i det reflekterade
ljuset? (1p)
L¨
osning:
Se Figur 29.22 och 29.23 i Hewitt. Luftkilen ¨ar upp till ungef¨ar 0,1 mm bred, d¨ar
ar v¨
agskillnaden mellan reflektionen mellan kilens ¨oversida och undersida 0,2 mm.
¨
Det ¨
ar ungef¨
ar 340 v˚
agl¨
angder, och det inneb¨ar att det finns ungef¨ar 340 interferensmaxima och 340 minima mellan den breda och den smala sidan. De ligger allts˚
a
mycket t¨
att intill varandra i det h¨ar exemplet, fler ¨an tre per millimeter.
1
b) D¨
ar luftkilen a
a fr˚
an vilken
¨r smal, beror fransarnas position n¨astan inte alls p˚
vinkel man tittar p˚
a m¨
onstret, men vid kanten med pappret skiftar m¨onstret n¨ar
betraktaren r¨
or sig. Varf¨
or a
a? (1p)
¨r det s˚
L¨
osning:
V¨
agskillnaden beror p˚
a infallsvinkel med en geometrisk faktor (cos θ). Om kilen ¨ar
bara n˚
agra λ bred, beh¨
ovs det stora vinklar f¨or att orsaka en v˚
agl¨angds ¨andring.
Men om skillnaden ¨
ar 340 λ r¨
acker det med mindre ¨an 1◦ avvikelse fr˚
an vinkelr¨att
infall f¨
or att g˚
a fr˚
an maximum till minimum.
1
Problem 2. Tv˚
a rundstr˚
alande ljudk¨allor har ett inb¨ordes avst˚
and p˚
a 1,7 meter.
De ¨
ar kopplade till samma oscillator med en frekvens p˚
a 1000 Hz och
de avger b˚
ada en ljudeffekt p˚
a 1,0 milliwatt.
a) Betrakta f¨
orst l¨
aget d¨
ar bara en av dessa h¨ogtalare ¨ar p˚
a. Hur h¨og ¨ar ljudniv˚
an
i dB p˚
a 10 meter avst˚
and? (1p)
L¨
osning:
10
Ljudintensiteten a
¨r I = 10−3 /(4π 102 ) = 10−5 /4π W/m2 , ljudniv˚
√ a a¨r 10 log I/I0 =
10 10 log 107 /(4π) = 10(7 − log 4 − log π) ≈ 10(7 − 2 log 2 − log 10) ≈ 70 − 6 − 5 = 59
dB.
1
b) Hur stort ¨
ar avst˚
andet d¨
ar ljudstyrkan kommit ner till den niv˚
an att ett normalt
ora inte kan f¨
ornimma ljudet? (1p)
¨
L¨
osning:
F¨
or varje faktor 10 i avst˚
and avtar ljudniv˚
an med 20 dB (eftersom intensiteten
avtar med r2 ). S˚
a p˚
a 100 meter a¨r det 39 dB, p˚
a 1 km a¨r det 19 dB, och p˚
a 10 km
ar det -1dB, s˚
a att ljudet ¨
ar oh¨
orbart f¨or normal¨orat.
¨
1
c) Betrakta nu ett st¨
alle med 10 meter avst˚
and till b˚
ada k¨allor. Hur stor ¨ar
skillnaden i dB om man ocks˚
a sl˚
ar p˚
a den andra h¨ogtalaren? (1p)
L¨
osning:
Signalerna ¨
ar i fas med varandra, s˚
a amplituden av ljudtrycket ¨ar tv˚
a g˚
anger s˚
a
h¨
og. Intensiteten ¨
ar proportionell mot ljudtrycket i kvadrat, s˚
a den blir fyra g˚
anger
s˚
a stor. Det blir 10 log 4 = 20 log 2 = 6 dB h¨ogre ljudniv˚
a.
1
1
Problem 3. Betrakta en koaxialkabel d¨ar utbredningshastigheten f¨or elektriska
signaler a
a elektriska pulser som
¨r 100 000 km/s. Figuren visar tv˚
funktion av avst˚
and vid t = 0; den v¨anstre r¨or sig till h¨oger, den h¨ogre r¨or sig
till v¨
anster. Hela koaxkabeln ska vara 800 km l˚
ang. Rita v˚
agformen vid t = 1 ms,
t = 1,5 ms, t = 2 ms, t = 2,5 ms, t = 3 ms och t = 4 ms. (2p)
2
@
@
@
L¨
osning:
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Tv˚
a diskontinuiteter i alla superpositioner.
2
Problem 4. Ett optiskt gitter kan beskrivas som m˚
anga spalter t¨att intill varandra. Det finns ett centralt maximum, men det a¨r smalt, mycket smalare a
or varje spalt f¨or sig. Dessutom finns det ungef¨ar lika starka
¨n det skulle vara f¨
str˚
alar som b¨
ojs under en vinkel; vid vinkelr¨att infallande ljus ligger de f¨orsta vid
±ϕ.
a) F¨
orklara varf¨
or det centrala maximum ¨ar smalt. (1p)
L¨
osning:
En ensam spalt sprider ljuset ¨
over en bred vinkel. Med fler spalter ¨okar amplituden
i centralt maximum proportionellt mot antalet spalter N , och intensiteten med N 2 .
Men det totala energifl¨
odet ¨
okar bara med N , och det st¨ammer n¨ar bredden av
maximum ¨
ar proportionell mot 1/N . Bredvid centralt maximum har bidragen fr˚
an
olika spalter olika fas; h¨
ar ger superpositionen bara mycket l˚
aga intensiteter. Det
ar allts˚
a av ungef¨
ar samma sk¨
al som att en str˚
ale g˚
ar rakt fram om det inte fanns
¨
n˚
agot gitter alls.
1
b) Visa att sin ϕ = λ/d, d¨
ar d ¨ar spalternas inb¨ordes avst˚
and; anv¨and en tydlig
ritning. (1p)
1
L¨
osning:
Vid vinkelr¨
att infall g¨
aller α+ϕ = 90◦ ; den andra vinkeln i den r¨atvinkliga triangeln
◦
˚
ar 90 − α = ϕ, vid konstruktiv interferens g¨aller att sin ϕ = λ/d.
c) P˚
a en CD-skiva ¨
ar sp˚
art¨
atheten ungef¨ar 600 per millimeter. Vad ¨ar diffraktionsvinkeln f¨
or vinkelr¨
att infallande ljus med en v˚
agl¨angd p˚
a 0,5 µm? (Det ¨ar samma
villkor vid reflektion som vid transmission.) (1p)
L¨
osning:
Avst˚
andet mellan sp˚
aren ¨
ar
arcsin 0,3 = 17◦ .
1
1000
600
= 1,67 µm; ϕ = arcsin λd = arcsin(0,5 × 0,6) =
3
Problem 5. P˚
a en lupp brukar f¨orstoringsfaktor vara angiven med ett tal som a¨r
25 delad med linsens fokalavst˚
and i centimeter.
a) Var kommer talet ”25”ifr˚
an? G¨or ocks˚
a en ritning av str˚
alg˚
angen. (1p)
L¨
osning:
Det ¨
ar ¨
ogats n¨
argr¨
ans (f¨
or en standardm¨anniska p˚
a typ 30 ˚
ar) som ¨ar 25 cm. Luppens f¨
orstoringstal ger en j¨
amf¨
orelse till hur stor vinkel f¨orem˚
alet kan uppta med
blotta ¨
ogat (α i figuren) och med lupp (α0 ). Om den virtuella bilden ligger l˚
angt
bor g¨
aller att M = 25 fcm , om den virtuella bilden ligger vid ¨ogats n¨argr¨ans blir
f¨
orstoringsfaktor en enhet st¨
orre. N˚
agot som liknar Fig. 28.48 i Hewitt kan f˚
a duga
som ritning av str˚
alg˚
angen.
1
b) Vilken nytta kan en man som Sherlock Holmes ha av de typiska detektivf¨
orstoringsglasen med fokalavst˚
and 25 cm? (1p)
L¨
osning:
Sherlock Holmes ¨
ar en ¨
aldre herre och hans n¨argr¨ans ligger nog l¨angre bort ¨an 25
cm. Om den har blivit 1 meter, ¨ar linsens f¨orstoringsfaktor f¨or honom 4×.
1
c) Varf¨
or finns det inga s˚
a stora f¨orstoringsglas med en f¨orstoring p˚
a 10×? (1p)
L¨
osning:
Fokalavst˚
and f¨
or en s˚
adan lins ¨
ar 2,5 cm. F¨or att ˚
astadkomma detta i glas, kr¨avs
kr¨
okningsradier p˚
a ungef¨
ar 1,7 cm, s˚
a att diametern inte kan vara st¨orre ¨an 3,5 cm
(och i praktiken inte mer ¨
an halv s˚
a stor pga aberrationer).
4
1