Transcript KTH Matematik Examinator Lars Filipsson Tentamen i

KTH Matematik
Examinator Lars Filipsson
Tentamen i SF1625 Envariabelanalys
den 18 mars kl 14.00-19.00
Uppgifterna po¨angs¨atts med 4 po¨ang vardera. Uppgifterna 1 - 3 svarar mot kontinuerliga examinationsmoment i kursen, p˚
a det s¨att som framg˚
ar av kurs-PM. Den
som ¨ar godk¨and p˚
a ett s˚
adant moment har automatiskt 3-4 po¨ang p˚
a motsvarande
uppgift, som d˚
a inte beh¨over l¨osas. F¨or h¨ogre betyg kr¨avs att man samlar en del
po¨ang p˚
a uppgifterna 7-10, s k VG-po¨ang. Prelimin¨ara betygsgr¨anser: A: 31 po¨ang
varav minst 11 VG-po¨ang, B: 26 po¨ang varav minst 7 VG-po¨ang, C: 21 po¨ang varav
minst 3 VG-po¨ang, D: 18 poo¨ang, E: 16 po¨ang, FX: 14 po¨ang.
Tydliga och v¨al motiverade l¨osningar kr¨avs. Inga hj¨alpmedel. Lycka till!
1.
√
Antar funktionen f (x) = (x2 − 5) 3x v¨ardet −8?
Z
2.
L˚
at f vara en kontinuerlig funktion som uppfyller
Z 9
f (x) dx = 5. Ber¨akna:
4
f (x) dx = −1 och
1
4
Z
9
−2f (x) dx.
A.
1
3
Z
xf (x2 ) dx (tips: anv¨and substitutionen u = x2 ).
B.
2
Z
C.
3
2
xex dx.
2
3.
4.
N¨ar luft expanderar adiabatiskt (utan v¨armeutbyte med omgivningen) uppfyller trycket p och volymen V sambandet p · V 1,4 =konstant. Vid en viss
tidpunkt ¨ar trycket 5 atm och volymen 56 liter. Vid samma tidpunkt ¨okar
volymen med hastigheten 4 liter per sekund. Hur snabbt a¨ndras trycket vid
denna tidpunkt ? (Ur: Persson och B¨oiers: Analys i en variabel)
Z 1
Ber¨akna ett n¨armev¨arde till integralen
sin(x2 ) dx, genom att anv¨anda
0
Taylors formel p˚
a l¨ampligt s¨att, s˚
a att felet blir h¨ogst 10−3 . F¨or full po¨ang
kr¨avs ordentlig motivering f¨or storleken p˚
a felet.
5.
Vid en keramisk tillverkningsprocess tas produkten ut ur ugnen vid 800◦ C
och st¨alls att svalna i rumstemperatur 20◦ C. Professor P. vid Smockholts
universitet f¨oresl˚
ar f¨oljande matematiska modell f¨or f¨orloppet: produktens
temperatur y(t) vid tiden t minuter efter uttagandet ur ugnen uppfyller att
1
y(0) = 800.
y 0 (t) = (y(t) − 20),
10
A. L¨os initialv¨ardesproblemet ovan. B. Diskutera modellens rimlighet.
6.
En 1 meter l˚
ang tr˚
ad ¨ar sp¨and mellan punkterna 0 och 1 p˚
a x-axeln. Tr˚
adens
densitet ρ varierar enligt formeln ρ(x) = 1+x kg/m. Ber¨akna tr˚
adens massa.
7.
8.
9.
sin πx
Funktionen f (x) =
¨ar inte definierad ¨overallt. Kan man “f¨orb¨attra”
πx
denna funktion s˚
a att den blir definierad och kontinuerlig o¨verallt? Hur g¨or
man det i s˚
a fall?
2x
− arctan x. Best¨am alla asymptoter och lokala extremL˚
at f (x) = √
1 + x2
punkter till f samt skissera kurvan y = f (x).
Z ∞
2
Givet att
e−πx dx = 1/2, ber¨akna de fyra integralerna
0
∞
Z
2
e−πx dx,
J=
−∞
Z
∞
e−x
I0 =
2 /2
dx,
0
Z
∞
xe−x
I1 =
2 /2
dx och
0
Z
I2 =
∞
x2 e−x
2 /2
dx.
0
10.
Vid ett test med ett nytt energisn˚
alt fordon ska en str¨acka om 100 km k¨oras.
Hastigheten
v ska under testet variera med k¨orstr¨ackan s enligt formeln
√
v(s) = 100 + 3s, d¨ar allts˚
a 0 ≤ s ≤ 100. Hur l˚
ang tid tar testet?
KTH Matematik
Examinator Lars Filipsson
Kortfattat lo
¨sningsfo
¨rslag till Tentamen i SF1625 Envariabelanalys
den 10 maj
√
Antar funktionen f (x) = (x2 − 5) 3x v¨
ardet −8?
1.
L¨osning: Vi observerar f¨orst att funktionen ¨ar kontinuerlig f¨or alla x ≥ 0, att f (0) =
0 och att f (x) → ∞ n¨ar x → ∞. Vi deriverar och f˚
ar efter f¨orenkling
15x2 − 15
√
2 3x
som existerar f¨or alla x > 0. Eftersom f 0 (x) < 0 d˚
a 0 < x < 1, f 0 (1) = 0 och
f 0 (x) > 0 d˚
a x > 1 ser vi att funktionen
antar sitt minsta v¨arde d˚
a x = 1. Eftersom
√
a kan funktionen inte anta v¨ardet −8.
detta minsta v¨arde ¨ar f (1) = −4 3 > −8 s˚
f 0 (x) =
Svar: Nej.
Z
2.
L˚
at f vara en kontinuerlig funktion som uppfyller
Z 9
och
f (x) dx = 5. Ber¨
akna:
f (x) dx = −1
1
4
Z
9
−2f (x) dx.
A.
1
3
Z
xf (x2 ) dx (tips: anv¨
and substitutionen u = x2 ).
B.
2
Z
3
2
xex dx.
C.
2
9
Z
Z
−2f (x) dx = −2
Svar och l¨osning: A.
1
3
Z
1
xf (x ) dx =
2
2
B.
2
Z
C.
2
3
2
Z
f (x) dx = −8.
1
9
f (u) du =
4
2
xex dx = (1/2)[ex ]32 =
5
2
e9 − e4
2
9
4
3.
N¨
ar luft expanderar adiabatiskt (utan v¨
armeutbyte med omgivningen) uppfyller trycket p och volymen V sambandet p ·
V 1,4 =konstant. Vid en viss tidpunkt ¨
ar trycket 5 atm och volymen 56 liter. Vid samma tidpunkt o
kar
volymen med hastigheten
¨
4 liter per sekund. Hur snabbt ¨
andras trycket vid denna tidpunkt
? (Ur: Persson och Bo
iers:
Analys
i en variabel)
¨
L¨osning: Vi deriverar sambandet p(t)(V (t))1.4 = C och f˚
ar att
p0 (t)(V (t))1.4 + p(t) · 1.4(V (t))0.4 · V 0 (t) = 0.
Om vi i denna formel s¨atter in att p(t) = 5 och V (t) = 56 och V 0 (t) = 4 och l¨oser
ut p0 (t) f˚
ar vi att p0 (t) = −1/2. Trycket minskar allts˚
a med −1/2 atm per sekund i
detta ¨ogonblick.
Svar: Trycket minskar med −1/2 atm per sekund i detta ¨ogonblick.
Z
4.
Ber¨
akna ett n¨
armev¨
arde till integralen
1
sin(x2 ) dx, genom att
0
anv¨
anda Taylors formel p˚
a l¨
ampligt s¨
att, s˚
a att felet blir h¨
ogst
10−3 . F¨
or full po¨
ang kr¨
avs ordentlig motivering f¨
or storleken p˚
a
felet.
L¨osning: Vi Taylorutvecklar sin(x2 ). Eftersom sin t = t − t3 /3! + cos(ξ)t5 /5! s˚
a ¨ar
2
2
6
10
sin(x ) = x − x /3! + cos(ξ)x /5! f¨or n˚
agot tal ξ. Vi f˚
ar att ett n¨armev¨arde till
integralen i uppgiften ¨ar d¨arf¨or
Z
1
(x2 − x6 /3!) dx =
0
13
.
42
Eftersom | cos ξ| ≤ 1 s˚
a a¨r felet i approximationen a¨r till absolutbeloppet h¨ogst
Z
0
1
x10
1
1
=
<
= 10−3
5!
11 · 5!
10 · 100
vilket betyder att noggrannheten ¨ar den ¨onskade.
Svar: N¨armev¨arde 13/42, absolutbeloppet av felet ¨ar mindre ¨an 10−3 .
5.
Vid en keramisk tillverkningsprocess tas produkten ut ur ugnen
vid 800◦ C och st¨
alls att svalna i rumstemperatur 20◦ C. Professor P.
vid Smockholts universitet f¨
oresl˚
ar f¨
oljande matematiska modell
fo
r
f
o
rloppet:
produktens
temperatur
y(t) vid tiden t minuter efter
¨ ¨
uttagandet ur ugnen uppfyller att
1
y 0 (t) = (y(t) − 20),
y(0) = 800.
10
A. L¨
os initialv¨
ardesproblemet ovan. B. Diskutera modellens rimlighet.
L¨oning: A. Differentialekvationen kan skrivas y 0 − (1/10)y = −2 och a¨r linj¨ar
med konstanta koefficienter. L¨osningen har formen y = yh + yp d¨ar yh ¨ar allm¨an
l¨osning till motsvarande homogena ekvation (y 0 − (1/10)y = 0) och yp a¨r n˚
agon partikul¨arl¨osning. Vi ser direkt att vi kan ta yp = 20. F¨or yh : Karakt¨aristiska ekvationen
r − 1/10 = 0 har l¨osning r = 1/10 s˚
a yh = Cet/10 . Den givna differentialekvatiot/10
nens l¨osning ¨ar allts˚
a y(t) = Ce
+ 20. Med hj¨alp av initialvillkoret best¨ammer vi
konstanten C = 780. Svar p˚
a A allts˚
a: y(t) = 780et/10 + 20.
B. Eftersom l¨osningen y(t) i A v¨axer obegr¨ansat med t s˚
a f¨oruts¨ager modellen att
temperaturen hos produkten ¨okar efter att den har tagits ut ur den varma ugnen och
placerats i rumstemperatur. Detta ¨ar helt orimligt och kan inte st¨amma. Modellen
a v¨ardel¨os. En rimligare modell skulle kunna vara
¨ar allts˚
1
(y(t) − 20),
y(0) = 800.
10
d¨ar det lilla minustecknet g¨or att temperaturen minskar ist¨allet f¨or att ¨oka. Denna modell ¨ar precis Newtons avkylningslag: avsvalningstakten ¨ar proportionell mot
skillnaden i temperatur mellan produkten och det omgivande rummet.
y 0 (t) = −
6.
En 1 meter l˚
ang tr˚
ad ¨
ar sp¨
and mellan punkterna 0 och 1 p˚
a xaxeln. Tr˚
adens densitet ρ varierar enligt formeln ρ(x) = 1+x kg/m.
Ber¨
akna tr˚
adens massa.
L¨osning: Vi delar in tr˚
aden i sm˚
a bitar och r¨aknar p˚
a varje bit. En liten bit av
tr˚
aden vid punkten x med l¨angd dx har massa (1 + x) dx kg. Hela massan f˚
as genom
summation och blir d¨arf¨or
Z 1
3
(1 + x) dx = kg.
2
0
SVar: 3/2 kg
7.
sin πx
Funktionen f (x) =
ar inte definierad ¨
overallt. Kan man
¨
πx
“f¨
orb¨
attra” denna funktion s˚
a att den blir definierad och kontinuerlig o
verallt?
Hur
g
o
r
man
det i s˚
a fall?
¨
¨
L¨osning: Funktionen ¨ar element¨ar och d¨arf¨or kontinuerlig ¨overallt d¨ar den ¨ar definierad, dvs ¨overallt utom i origo. Eftersom limx→0 f (x) = 1 (standardgr¨ansv¨arde) s˚
a kan
man “f¨orb¨attra” f genom att tilldela f v¨ardet 1 i origo. (Formellt definierar man d˚
a
en ny funktion, som vi t ex kan kalla f0 , genom att l˚
ata f0 (x) = f (x) d˚
a x 6= 0 och
f0 (0) = 1. Denna funktion f0 ¨ar d˚
a kontinuerlig ¨overallt och ¨overensst¨ammer med
den ursprungliga funktionen f i alla punkter utanf¨or origo.)
8.
2x
− arctan x. Best¨
am alla asymptoter och lokala
1 + x2
extrempunkter till f samt skissera kurvan y = f (x).
L˚
at f (x) = √
L¨osning. Vi observerar f¨orst att definitionsm¨angden f¨or f a¨r hela R, inga lodr¨ata
asymptoter allts˚
a. Eftersom limx→∞ f (x) = 2 − π/2 och limx→−∞ f (x) = −2 + π/2
s˚
a ser vi att linjen y = 2 − π/2 a¨r asymptot i o¨andligheten och linjen y = −2 + π/2
ar efter f¨orenkling att
¨ar asymptot i minus o¨andligheten. Vi deriverar nu och f˚
√
2
−
1 + x2
f 0 (x) = √
1 + x2 (1 + x2 )
√
vilket har nollst¨allena ± 3.√Teckenstudium av derivatan
√ ger vid handen att funktionen har ett lokalt max i 3 och ett lokalt min i − 3 och sedan ¨ar det bara att
skissa kurvan.
∞
Z
9.
2
e−πx dx = 1/2, ber¨
akna de fyra integralerna
Givet att
0
∞
Z
2
e−πx dx,
J=
−∞
Z
∞
e−x
I0 =
2 /2
dx,
0
Z
∞
xe−x
I1 =
2 /2
dx och
0
Z
I2 =
0
∞
x2 e−x
2 /2
dx.
p
√
Svar: J = 1 (integranden ¨ar j¨amn),I0 = π/2 (g¨or variabelbytet
u
=
x
2π), I1 = 1
p
− −x2 /2
(r¨aknas ut direkt, en primitiv funktion a¨r e
), I2 = π/2 (r¨aknas ut med
partiell integration och med anv¨andande av I0 ).
10.
Vid ett test med ett nytt energisn˚
alt fordon ska en str¨
acka om 100
km k¨
oras. Hastigheten v√ska under testet variera med k¨
orstr¨
ackan
s enligt formeln v(s) = 100 + 3s, d¨
ar allts˚
a 0 ≤ s ≤ 100. Hur l˚
ang
tid tar testet?
L¨osning. En liten bit av str¨ackan med l¨angd ds, efter s km, tar (eftersom t = s/v)
ds
ds
tiden
=√
timmar att k¨ora. Hela tiden f˚
as genom summation av s˚
adana
v
100 + 3s
bitar och blir d¨arf¨or
Z 100
ds
20
√
timmar.
=
3
100 + 3s
0
Svar: 20/3 timmar.