Transcript AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundl¨
aggande begrepp av vektoranalys
En vektor ¨ar en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Tv˚
a
vektorer a och b ¨ar lika, a = b, om de har samma storlek och samma riktning.
En vektor (utom nollvektorn) kan anges med en riktad str¨aka, dvs en str¨aka fr˚
an en punkt
A (utg˚
angspunkt) till en annan punkt B (¨andpunkt).
Tv˚
a lika l˚
anga och lika riktade str¨akor anger samma vektor.
~
Vektorn fr˚
an A till B kan betecknas AB.
Vektorn s¨ags vara avsatt fr˚
an punkten A. En
vektor kan avs¨attas fr˚
an en godtycklig punkt. Nollvektorn svarar mot det urartade fallet d˚
a A
sammanfaller med B.
Varje punkt l¨age i rymden kan anges med hj¨alp av ett koordinatsystem, som best˚
ar t ex av
tre mot varandra vinjkelr¨ata koordinataxlar.
Om tv˚
a icke-parallela vektorer ex och ey ¨ar givna i ett plan, kan varje vektor u i planet
entydigt skrivas som
u = xex + yey .
(1)
Vektorerna ex och ey kallas basvektorer. Vektorerna xex och yey kallas komposanter, talen x
och y koordinater f¨or u (eller u’s komponenter), och beteckningen u = (x, y) kan anv¨andas.
Om ex , ey och ez ¨ar tre i (tre-dimensionella) rummet givna vektorer som inte ligger i ett
plan, kan varje vektor u i rummet entydigt skrivas som
u = xex + yey + zez .
(2)
Vektorerna ex , ey och ez kallas basvektorer. Vektorerna xex , yey och zez kallas komposanter,
talen x, y och z koordinater f¨or u (u’s komponenter), och beteckningen u = (x, y, z) kan
anv¨andas.
Om O (i detta sammanhang kallad origo) ¨ar en fix punkt i rummet (planet) ¨ar varje punkt
~ , som kallas ortsvektorn f¨or P , och koordinater x, y, z f¨or OP
~ upfattas
P best¨amd av vektor OP
som koordinater f¨or P . D˚
a har ortsvektorn f¨or P : (x, y, z) utg˚
angspunkten O : (0, 0, 0) (origo)
och ¨andpunkten P : (x, y, z); beteckningen r = [x, y, z] kan anv¨andas.
Man s¨ager att man har koordinaterna x, y, z i koordinatsystemet Oex ey ez eller Oxyz (¨aven
xyz). P˚
a motsvarande s¨att f˚
as koordinatsystemet Oex ey eller Oxy i ett plan.
Vi inf¨or f¨oljande beteckningar: R ¨ar m¨angden av alla reela tal, R2 ¨ar m¨angden av alla reela
talpar (x, y) och R3 ¨ar m¨angden av alla reela taltripplar (x, y, z). Geometriskt, R representeras
av punkterna p˚
a en linje (tallinje), resp. punkterna i ett plan eller i ett tre-dimensionellt rum.
En vektor med beloppet (storlek) 1 kallas enhetsvektor. Om basvektorerna i ett koordinatsystem ¨ar parvis vinkelr¨ata enhetsvektorer kallas koordinatsystemet ortonormerat, eller
cartesiskt.
I ett cartesiskt koordinatsystem, (2) skrivas som
u = [x, y, z] = xi + yj + zk,
(3)
d¨ar basvektorerna
i = ex ,
j = ey ,
k = ez
¨ar cartesiska enhetsvektorer
i = [1, 0, 0],
j = [0, 1, 0],
k = [0, 0, 1].
(4)
Antag att en vektor a= P~Q har utg˚
angspunkten P : (x1 , y1 , z1 ) och ¨andpunkten Q :
(x2 , y2 , z2 ). D˚
a kallas tre talen
a1 = x2 − x1 ,
a2 = y2 − y1 ,
a3 = z2 − z1
(5)
a’s komponenter i koordinatsystemet xyz i rummet, och man skriver
a = [a1 , a2 , a3 ].
Vektors l¨angd (storlek)
|a| =
q
a21 + a22 + a23
(6)
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem och P : [x1 , y1 , z1 ] och Q : [x2 , y2 , z2 ] tv˚
a
punkter i rummet. Talet
|P − Q| =
q
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
kallas avst˚
andet mellan punkterna P och Q i rummet.
EXEMPEL 1
Vektorn a= P~Q med utg˚
angspunkten P : (4, 0, 2) och ¨andpunkten Q : (6, −1, 2) har komponenter
a1 = 6 − 4 = 2, a2 = −1 − 0 = −1, a3 = 2 − 2 = 0.
D˚
a a = [2, −1, 0] och l¨angden (avst˚
andet mellan punkterna P och Q)
|a| =
q
22 + (−1)2 + 02 =
√
5.
Om man v¨aljer (−1, 5, 8) som a’s utg˚
angspunkt, d˚
a, , enligt (5), ¨ar motsvarande ¨andpunkten
(−1 + 2, 5 − 1, 8 + 0) = (1, 4, 8)
EXEMPEL 2
a = [4, 0, 1] = 4i + k,
1
1
b = [2, −5, ] = 2i − 5j + k.
3
3
Skal¨
arprodukt
Vinkeln mellan tv˚
a vektorer erh˚
als genom att man avs¨atter dem fr˚
an samma punkt.
Om a och b ¨ar tv˚
a vektorer och γ vinkel mellan dem ¨ar skal¨arprodukten av a och b
a · b = |a||b| cos γ om a 6= 0, b 6= 0
a · b = 0 om a = 0 eller b = 0.
Om a = [a1 , a2 , a3 ] och b = [b1 , b2 , b3 ], d˚
a,
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .
Vektorn a kallas normal till vektorn b om a · b = 0.
Skal¨
arprodukten av tv˚
a vektorer a 6= 0 och b 6= 0 ¨
ar 0 om och endast om de h¨ar tv˚
a vektorerna
ar perpendikul¨ar, dvs vinkeln γ mellan a och b ¨ar γ = π/2 (90o ) (cos γ = 0).
¨
Man kan best¨amma vektors l¨angd och vinkeln mellan tv˚
a vektorer genom skal¨arprodukten
√
|a| = a · a
(7)
cos γ =
a·b
a·b
√
=√
|a||b|
a·a b·b
(8)
EXEMPEL 3
Ber¨
akna skal¨arprodukten, l¨angd och vinkeln mellan vektorer a= [1, 2, 0] och b= [3, −2, 1]:
√
√
√
√
a · b = 1 · 3 + 2 · (−2) + 0 · 1 = −1, |a| = a · a = 5, |b| = b · b = 14;
γ = arccos
a·b
(−1)
= arccos √ = arccos (−0.11952) = 1.69061 = 96.865o
|a||b|
70
Ortonormerad bas
Den ortonormerada basen a, b, c i tre-dimensionella rummet best˚
ar av ortogonala (cartesiska) enhetsvektorer
i = [1, 0, 0], j = [0, 1, 0], k = [0, 0, 1].
(9)
F¨
or en given vektor
v = l1 a + l2 b + l3 c,
vi har
l1 = a · v,
l2 = b · v,
l3 = c · v.
Enhetsvektorerna i, j, k bildar standardbasen.
EXEMPEL 4 Normalvektor till planet
Best¨
am en enhetsvektor normal till planet 4x + 2y + 4z = −7.
L¨
osning. Ekvationen f¨or ett plan i tre-dimensionella rummet ¨ar
a · r = a1 x + a2 y + a3 z = c,
a = [a1 , a2 , a3 ] 6= 0,
r = [x, y, z].
Enhetsvektorn i riktningen a ¨ar
n=
Likheten a · r = c dividerat med |a| ¨
ar
n · r = p,
1
a.
|a|
p=
c
.
|a|
n (och −n) ¨ar normalvektorn till planet.
√
√
I Exempel 4, a = [4, 2, 4], c = −7, |a| = 42 + 22 + 42 = 36 = 6; d˚
a n = (1/6)a =
[2/3, 1/3, 2/3], och avst˚
andet mellan planet och origo ¨ar |p| = 7/6.
Vektorprodukt
Vektorprodukten a × b av tv˚
a, vektorer a = [a1 , a2 , a3 ] och b = [b1 , b2 , b3 ] ¨
ar en vektor
v = a × b; dess l¨angd ¨ar
|v| = |a||b| sin γ
(γ a¨r vinkeln mellan vektorer a and b) och v a
¨r
positivt orienterat h¨ogersystem.
Vi har
i
v = [v1 , v2 , v3 ] = a × b = a1
b1
EXEMPEL 5
a a v1 = 2 3 ,
b2 b3
perpendikul¨
ar till a och b. a, b, v bildar ett
j k a2 a3 = v1 i + v2 j + v3 k,
b2 b3 a a v2 = 3 1 ,
b3 b1
a a v3 = 1 2 b1 b2
Ber¨
akna vektorprodukten av vektorerna a = [4, 0, −1] och b = [−2, 1, 3]:
i j k 0 −1 −1 4
a × b = 4 0 −1 = i + j
1 3 3 −2
−2 1 3 + k
4 0 = i − 10j + 4k.
−2 1 Skal¨
ara f¨
alt och vektorf¨
alt
L˚
at U vara ett omr˚
ade i rummet och l˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. Antag
att vi f¨or varje punkt P = (x, y, z) ∈ U har definierat en vektor
v = v(P ) = [v1 (P ), v2 (P ), v3 (P ), ]
D˚
a s¨ager vi att v = v(P ) ¨ar ett vektorf¨alt i omr˚
adet U (v’s v¨arden ¨ar vektorer).
motsvarande s¨att f˚
as definitionen av ett skal¨ar f¨alt
P˚
a
f = f (P )
d¨ar f (P ) = f (x, y, z) ¨ar en skal¨ar funktion av tre variabler definierad i omr˚
adet U (f ’s v¨arden
¨ar reela tal). Omr˚
adet (m¨angden) U , som best˚
ar av alla de punkter P = (x, y, z) f¨or vilka f (P )
existerar, kallas f ’s definitions m¨angd.
EXEMPEL 6 En skal¨ar funktion (avst˚
andet mellan punkterna i rummet)
L˚
at xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem. L˚
at vidare P : [x, y, z] vara en punkt i rummet
och P0 : [x0 , y0 , z0 ] en fix punkt i rummet. D˚
a kallas skal¨ara funktionen
f = f (P ) = f (x, y, z) = |P − P0 | =
q
avst˚
andet mellan punkterna P och P0 i rummet.
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2
EXEMPEL 7 Ett vektorf¨alt (gravitationsf¨alt)
En partikel A med massan M ¨ar bel¨agen i origo. Den attraherar genom gravitation en partikel
B med massan m i punkten P : [x, y, z] med en kraft p. I ett cartesiskt koordinatsystem
P : [x, y, z], P0 : [x0 , y0 , z0 ] = O : [0, 0, 0] och avst˚
andet mellan punkterna P och P0 ¨ar
r=
q
(x − x0
)2
+ (y − y0
)2
+ (z − z0
)2
=
q
x2 + y 2 + z 2 .
Enligt Newtons gravitationslag ¨ar p riktad mot origo och |p| ¨ar omv¨ant proportionellt mot
kvadraten p˚
a avst˚
andet till origo,
|p| =
c
,
r2
c = const.
(10)
Vektorn p har samma riktning som vektorn −r, d¨ar
r = [x, y, z] = xi + yj + zk
1
¨ar ortsvektorn f¨or P , |r| = r, och − r ¨ar en enhetsvektor som har samma riktning som vektorn
r
p (en enhetsvektor l¨angs p). Enligt (10) ¨ar d˚
a gravitationskraften
1
c
x
y
z
p = |p| − r = − 3 r = −c 3 i − c 3 j − c 3 k
r
r
r
r
r
(11)
D˚
a definierar (11) f¨or varje punkt P = (x, y, z) 6= O = (0, 0, 0) en vektor
p = p(P ) = [p1 (P ), p2 (P ), p3 (P )].
p = p(P ) ¨ar ett vektorf¨alt som kallas gravitationsf¨alt.
Betrakta en partikel A med massan M i punkten P0 : [x0 , y0 , z0 ] och en partikel B med
massan m i punkten P : [x, y, z] (i ett cartesiskt koordinatsystem). Avst˚
andet mellan punkterna
P och P0 ¨ar
q
r = (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 ,
vektorn
r = P~0 P = [x − x0 , y − y0 , z − z0 ] = (x − x0 )i + (y − y0 )j + (z − z0 )k,
har utg˚
angspunkten P0 : (x0 , y0 , z0 ) och ¨andpunkten P : (x, y, z), och gravitationsf¨altet (gravitationskraften) ¨ar
1
c
x − x0
y − y0
z − z0
p = |p| − r = − 3 r = −c
i−c 3 j−c 3 k
3
r
r
r
r
r
(12)
L˚
at, t ex, P0 vara origo P0 = [0, 0, √
0] och antag att punkterna P ligger p˚
a enhetscirkel
2
2
2
x + y = 1 i planet z = 0. Vi har |r| = x + y = 1 och vektorfunktionen (11) skrivas som
2
p = |p| (−r) = −cr,
(13)
D˚
a ¨ar p’s storlek konstant i varje punkt p˚
a cirkeln och har p motsatt riktning mot ortsvektorn
r.
F¨or en godtycklig cirkel x2 + y 2 = a2 och ¨aven en godtycklig sf¨ar x2 + y 2 + z 2 = a2 f˚
ar man
samma p˚
ast˚
aende.
PROBLEM 8.1.1
Best¨am en vektor med utg˚
angspunkten P : (1, 1, 0) och ¨andpunkten Q : (4, 5, 0) och dess
l¨angd.
L¨
osning.
~
P Q =√v = [4 − 1, 5 − √
1, 0 − 0] = [3, 4, 0] = 3i + 4j.
2
2
|v| = 3 + 4 + 0 = 25 = 5.
PROBLEM 8.1.3
Best¨am en vektor med utg˚
angspunkten P : (1, 2, 3) och ¨andpunkten Q : (2, 4, 6). och dess
l¨angd.
L¨
osning.
~
P Q =√v = [2 − 1, 4 − 2,√6 − 3] = [1, 2, 3] = i + 2j + 3k.
|v| = 12 + 22 + 32 = 14.
PROBLEM 8.1.9
L˚
at P~Q = v = [2, 3, 0] = 2i + 3j och utg˚
angspunkten vara P : (1, 0, 0). Best¨am ¨andpunkten
Q : (x2 , y2 , z2 ).
L¨
osning.
~
P Q = v = [x2 − 1, y2 − 0, z2 − 0] = [2, 3, 0].
D˚
a
x2 = 1√+ 2 = 3, y2√= 3 + 0 = 3, z2 = 0 + 0 = 0] and Q : (3, 3, 0)
|v| = 22 + 32 = 13.
PROBLEM 8.1.18
a = [3, −2, 1] = 3i − 2j + k,
b = [0, 3, 0] = 3j.
Best¨am |a + b| och |a| + |b|.
L¨
osning.
√
√
2+1+1 =
|a + b|
=
|[3
+
0,
−2
+
3,
1
+
0]|
=
|[3,
1,
1]|
=
3
11.
√
√
√
2 = 3.
|a| = 32 + 22 +
1
=
14.
|b|
=
3
√
|a| + |b| = 3 + 14. |a + b| < |a| + |b|.
PROBLEM 8.2.1
Ber¨akna skal¨arprodukten av vektorerna
a = [1, 3, 2] = i + 3j + 2k,
b = [2, 0, −5] = 2i − 5k,
c = [4, −2, 1] = 4i − 2j + k.
L¨
osning.
a · b = 1 · 2 + 3 · 0 + 2 · (−5) = 2 + 0 − 10 = −8 = b · a.
PROBLEM 8.2.4
L¨
osning.
2b + 3c = [2 · 2, 0, 2 · (−5)] + [3 · 4, 3 · (−2), 3 · 1] =
[4 + 12, 0 − 6, −10 + 3] = [16, −6, −7].
a · (2b + 3c) = 1 · 16 + 3 · (−6) + 2 · (−7) = 16 − 18 − 14 = −16 =
2a · b + 3a · c.
PROBLEM 8.2.25
Best¨am vinkeln mellan tv˚
a planen x + y + z = 1 och x + 2y + 3z = 6.
L¨
osning.
Ekvationen f¨or ett plan i tre-dimensionella rummet ¨ar
a · r = a1 x + a2 y + a3 z = c,
a = [a1 , a2 , a3 ] 6= 0,
r = [x, y, z].
H¨ar,
a · r = x + y + z = 1,
a = [1, 1, 1],
c = c1 = 1
f¨or planet x + y + z = 1 och
b · r = x + 2y + 3z = 6,
b = [1, 2, 3],
r = [x, y, z],
c = c2 = 6
f¨or planet x + 2y√+ 3z = 6.
√
c1 = 1, |a| = √1 + 1 + 1 = 3;
√
c2 = 6, |b| = 1 + 22 + 32 = 14.
Enhetsnormalvektorn till planet x + y + z = 1 ¨ar
n1 =
1
1
a = √ a.
|a|
3
Enhetsnormalvektorn till planet x + 2y + 3z = 6 ¨ar
n2 =
1
1
b = √ b.
|b|
14
Vinkeln mellan tv˚
a plan ¨ar vinkeln mellan tv˚
a normaler som ¨ar lika med vinkeln γ mellan
vektorerna a och b. Man kan best¨amma vinkeln mellan tv˚
a, vektorer genom skal¨arprodukten:
cos γ =
Vi har
cos γ =
och
a·b
a·b
√
=√
|a||b|
a·a b·b
1·1+1·2+1·3
6
a·b
√
=
= √ = 0.92582,
|a||b|
3 · 14
42
γ = arccos 0.92582 = 0.38760 ≈ 22.2o .
PROBLEM 8.3.1
(14)
Best¨am skal¨arprodukten och vektorprodukten av vektorerna a = [1, 2, 0], b = [−3, 2, 0], och
c = [2, 3, 4].
L¨
osning.
i j k 1 2 a × b = 1 2 0 = k
= 8k;
−3 2 −3 2 0 b × a = −a × b = −8k.
a · b = b · a = 1 · (−3) + 2 · 2 + 0 · 0 = −3 + 4 = 1.
PROBLEM 8.3.3
L¨
osning.
i j k 2 0
a × c = 1 2 0 = i 3 4
2 3 4 |a × c| = |c × a| =
− j
1 2
1 0 + k
2 3
2 4
= 8i − 4j − k = [8, −4, −1];
√
√
√
82 + 42 + 1 = 64 + 16 + 1 = 81 = 9.
a · c = 1 · 2 + 2 · 3 + 0 · 4 = 2 + 6 = 8.
PROBLEM 8.4.1
Betrakta skal¨a√
ra f¨altet√(tryckf¨alt) f (x, y) = 9x2 + 4y 2 och est¨am trycket i punkterna (2, 4),
(0.5, −3.25) och ( 17, 1/ 6).
L¨
osning.
f (2, 4) = 9 · 22 + 4 · 42 = 4 · (9 + 16) = 100.
2
f (0.5,
√ −3.25)
√ = 9 · 0.25 + 4 · (3.25) = 2.25 + 42.25 = 44.5.
f ( 17, 1/ 6) = 9 · 17 + 4 · (1/6) = 153 + 2/3 ≈ 153.667.
PROBLEM 8.4.2
En niv˚
akurva till funktionen f (x, y) ¨ar en kurva med ekvationen f (x, y) = c d¨ar c ¨ar en
konstant.
Isobarer (kurvor av konstant tryck) ¨ar ellipser 9x2 + 4y 2 = c, c > 0, e.g., 9x2 + 4y 2 = 1:
PROBLEM 8.4.4
L¨
osning.
Isotermer (kurvor av konstant temperatur) ¨ar kurvorna med ekvationerna ln x2 + y 2 = c.
Isotermerna ¨ar cirklar x2 + y 2 = C = ec > 0.
PROBLEM 8.4.5
L¨
osning. arctan y/x = c; d˚
a tan arctan y/x = y/x = C = tan c och isotermer ¨ar r¨ata linjer
y = Cx.
PROBLEM 8.4.6
L¨
osning.
√
Vi har x2 − y 2 = c, och isotermer ¨ar parabeler y = ± x2 − c, c 6= 0, eller r¨ata linjer
y = x, c = 0.
PROBLEM 8.4.11
L¨
osning.
En yta med ekvationen f (x, y, z) = c d¨ar c ¨ar en konstant kallas en niv˚
ayta till funktionen
f (x, y, z).
H¨ar niv˚
aytorna ¨ar planen 4x + 3y − z = c.
PROBLEM 8.4.12
L¨
osning.
Niv˚
aytorna ¨ar elliptiska cylindrarna x2 + 3y 2 = c, c > 0.