Transcript TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra

¨r algebra
Linja
mk014a
¨
Ovningstenta
LA-2
TM-Matematik
Mikael Forsberg
1. Best¨am volymen f¨or den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x1 = (2, −3, 5),
x2 = (3, 1, −1) och x3 = (1, −3, 0).
2. F¨or alla v¨arden p˚
a parametern a l¨os f¨oljande ekvationssystem
x +
ay
−
z
= 1
−x + (a − 2)y +
z
= −1
2x +
2y
+ (a − 2)z = 1
3. Finn den r¨ata linje som ger b¨asta approximation i minsta kvadratmening till f¨oljande
datam¨ander: (−2, 3), (−1, 1), (0, 0), (1, −2), (2, −4)
4. Vektorerna a1 , a2 och a3 nedan ¨ar en bas f¨or ett delrum W av R4 . Anv¨and Gram-Schmidt
f¨or att g¨ora om dessa till en ortonormal bas f¨or W .
a1 = (1, 0, 1, 1),
, a2 = (1, 1, 0, 1),
, a3 = (1, 1, 1, 0).
5. Kolonnerna i matriserna A och B a¨r tv˚
a baser i R3




2 1 2
1 2 1
A= 1 1 2  B= 2 2 1 
1 2 2
2 1 1
Ber¨akna matrisen som ¨overf¨or koordinatvektorer uttryckta i basen B till koordinatvektorer
uttryckta i basen A
6. Hitta en matris som ortogonalt diagonaliserar

3
A =  −2
4
matrisen

−2 4
6 2 
2 3
¨
Svar till tentamen i Linj¨
ar algebra, Ovningstenta
LA-2.
1. Volymen blir 53 volymsenheter.
2. a = 0: ingen l¨osning, a = 1 ger l¨osningarna x = −s, y = s, z = −1, om a 6= 0 och a 6= 1 s˚
a
−1
har systemet den entydiga l¨osningen x = a−1
,
y
=
0,
z
=
a
a
3. y = −2/5 + −17/10x
4.
o1 =
o2 =
o3 =
5.


6.
− 25
3
5
3
5
1
(1, 0, 1, 1)
3
1
(1, 3, −2, 1)
15
1
(1, 3, 3, −4)
35
3
5
− 25
3
5
3
5
3
5
− 52


¨
L¨
osningar till tentamen i Linj¨
ar algebra, Ovningstenta
LA-2.
1. Volymen ges av beloppet av determinanten till
matrisen

2 −3
A = 3 1
1 −3
de tre vektorerna, dvs determinanten till

5
−1
0
Eftersom tredje kolonnen inneh˚
aller matrisens enda nolla s˚
a utvecklar man g¨arna l¨angs tredje
kolonnen. Determinanten blir i alla fall −53 varf¨or volymen blir 53.
2. Ekvationssystemet svarar mot f¨oljande utvidgade matris:


1
a
−1 1
−1 a − 2
1 −1
2
2
a−2 1
Vanlig Gausselimination ger oss f¨oljande matris


1
a
−1 1
0 2a − 2 0 0 
0
0
a −1
Fr˚
an denna matris kan vi nu dra n˚
agra slutsatser: Rad 3 inneb¨ar att az = −1 vilket ger att om
a 6= 0 s˚
a f˚
ar vi z = −1/a. Om a = 0 s˚
a blir ekvationen ist¨allet 0 = −1 vilket naturligtvis ¨ar en
om¨ojlighet, varf¨or systemet inte har n˚
agra l¨osningar f¨or a = 0!
G˚
ar vi nu till rad 2 s˚
a f˚
ar vi f¨or a = 1 ekvationen 0 · y = 0 som ¨ar uppfylld f¨or alla v¨arden
p˚
a y, dvs y = s ¨ar godtycklig. Om a 6= 1 s˚
a g¨aller att 2a − 2 6= 0 och vi kan d¨arf¨or l¨osa ut y ur
ekvationen (2a − 2)y = 0 och f˚
ar d˚
ay=0
Rad 1, slutligen, ger oss x = −ay + z + 1 vilket ger oss


ingen l¨osning om a = 0
x = −s
om a = 1

 1
om a 6= 1, a 6= 0.
−a + 1
Vi kan nu sammanfatta:
Om a 6= 0 och a 6= 1 s˚
a har systemet unik l¨osning
  

x
−1/a + 1
y  = 

0
z
−1/a
Om a = 1 s˚
a har systemet o¨andligt m˚
anga l¨osningar. L¨osningarna ligger p˚
a f¨oljande linje:
   
 
x
−1
0
y  =  0  s +  0 
z
1
−1
Slutligen: om a = 0 s˚
a har systemet inga l¨osningar alls.
3. Vi anv¨ander maple f¨or att l¨osa denna med minsta kvadratmetoden:
> Y:=matrix(5,1,[3,1,0,-2,-4]);


3
 1 



0
Y := 


 −2 
−4
> M:=matrix(5,2,[1,-2,1,-1,1,0,1,1,1,2]);


1 −2
 1 −1 


0 
M := 

 1
 1
1 
1
2
> Mt:=transpose(M);
1
1 1 1 1
Mt :=
−2 −1 0 1 2
> S:=multiply(Mt,M);
5 0
S :=
0 10
> b:=multiply(Mt,Y);
−2
b :=
−17
> X:=linsolve(S,b);
 −2 
 5 
X := 

−17
10
H¨ar blir den r¨ata linjen y=-2/5+-17/10x.
4. Vi b¨orjar med att g¨ora en ortogonal bas och p˚
a slutet normera dessa vektorer s˚
a att vi p˚
a s˚
a
s¨att f˚
ar en ortonormal bas.
Steg 1: Tag en av de tre vektorerna som f¨orsta vektor; jag v¨aljer a1 och kallar denna f¨or b1
Steg 2: Jag tar nu a2 och projicerar denna p˚
a b1 . Sedan drar jag bort denna projektion fr˚
an
0
a2 och resultatet blir en vektor som ¨ar ortogonal mot b1 . Denna vektor kallar jag nu f¨or b2 :
1
b02 = a2 − projb1 a2 = (1, 3, −2, 1)
3
Eftersom jag ¨annu inte bryr mig om vektorernas l¨angd tar jag som andra vektor b2 = (1, 3, −2, 1).
Detta f¨or att slippa sl¨apa p˚
a s˚
a m˚
anga br˚
ak.
Steg 3: jag har nu tv˚
a ortogonala vektorer b1 och b2 . F¨or att f˚
a en tredje vektor s˚
a tar jag
nu a3 och projicerar den p˚
a b1 och b2 . N¨ar jag sedan subtraherar dessa projektioner fr˚
an a3 f˚
ar
jag en vektor som ¨ar ortogonal mot b˚
ade b1 och b2 . Denna vektor kallar jag d˚
a f¨or b03 . Vi f˚
ar:
1
1
b03 = a3 − (projb1 a3 + projb2 ) = (1, 1, 1, 0) − (4, 2, 2, 4) = (1, 3, 3, −4)
5
5
Nu tar jag b3 = (1, 3, 3, −4) och noterar att denna verkligen ¨ar otogonal mot b1 och b2 . Dessa tre
vektorer ¨ar nu en ortogonal bas. Vi beh¨over nu bara normera dessa vektorer f¨or att ha erh˚
allit
en ON-bas:
4
b1
1
= (1, 0, 1, 1)
||b1 ||
3
b2
1
= (1, 3, −2, 1)
||b2 ||
15
b3
1
= (1, 3, 3, −4)
||b3 ||
35
o1 =
o2 =
o3 =
5. Underf¨orst˚
att ¨ar att b˚
ada baserna ¨ar uttryckta i standardbasen. Detta betyder att matriserna
A och B byter fr˚
an respektive bas till standardbasen. F¨or att komma fr˚
an bas A till bas B s˚
a
−1
¨overf¨or man f¨orst med A till standardbasen och sedan med B fr˚
an standardbasen till basen
B. V˚
ar basbytesmatris blir d¨arf¨or produkten B −1 A, d¨ar
 2

2
− 35
5
5
2
2 
B −1 =  − 35
5
5
2
2
3
−5
5
5
Produkten B −1 A blir nu

2
5
B −1 A =  − 53
2
5
2
5
2
5
− 53
− 35
2
5
2
5
  2
1 2 1
−5
 1 1 2  =  3
5
3
2 1 1
5

3
5
− 25
3
5
3
5
3
5
− 25


Basbytesmatrisen kan ¨aven ber¨aknas genom att Gauss-Jordan eliminera den utvidgade matrisen
(B|A):
 


3
3
1 0 0 − 25
2 1 2 1 2 1
5
5
3 
 2 2 1 1 1 2  ∼  0 1 0 3 −2
5
5
5
3
2
1 2 2 2 1 1
0 0 1 35
−
5
5
6. Vi b¨orjar med egenv¨ardena; det karakteristiska polynomet blir −λ3 + 12λ2 − 21λ − 98. Detta
har nollt¨allena λ1 = 7, dubbelt egenv¨arde, λ2 = −2, enkelt egenv¨arde.
Egenvektorerna till λ1 = 7 blir.


 
−1
1
v1 =  0  och v2 =  2 
1
1
Vi anv¨ander Gram-Schmidt f¨or att g¨ora om denna bas till en ON-bas:
 


1
−1
1
1
e1 = √  0  e2 = √  4 
2
3 2
1
1
Normaliserad egenvektor f¨or egenv¨ardet λ2 = −2 blir


−2
√
e3 = 13  −1 
2
Tillsammans ger v˚
ara ortonormala egenvektorer den

3 −1
1 
P = √
0 4
3 2
3 1
5
ortogonala matrisen P :
√ 
−2√ 2
−√ 2 
2 2