Transcript MATEMATISK STATISTIK I FORTS¨ATTNINGSKURS

Kurskod: TAMS65
Provkod: TEN1
¨
MATEMATISK STATISTIK I FORTSATTNINGSKURS
Tentamen tisdagen den 7 juni 2011 kl 14-18.
Hj¨alpmedel: Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen samt
minir¨aknare med t¨
omda minnen. Inga anteckningar i formelsamlingen ¨ar till˚
atet.
Betygsgr¨anser: 8-11 po¨
ang ger betyg 3, 11.5-14.5 ger betyg 4 och 15-18 po¨ang ger betyg 5.
Examinator: Martin Ohlson
Resultatet meddelas normalt via LADOK inom 12 arbetsdagar.
Tydliga svar och motiveringar kr¨
avs till varje uppgift.
1. F¨oljande tabell ger ˚
aldersf¨ordelningen f¨or 100 personer som a¨r anh˚
allna f¨or att ha
k¨ort bil p˚
averkade av droger. Unders¨okningen a¨r gjord i USA.
˚
Alder 16–25
Antal
32
26–35
25
36–45
19
46–55
16
56 och ¨aldre
8
P˚
a 1% niv˚
an, kan man f¨orkasta hypotesen om att andelen anh˚
allna a¨r densamma i
varje grupp?
(2p)
2. L˚
at de stokastiska variablerna X1 och X2 vara oberoende och N (0, 1). Genomf¨or
f¨oljande linj¨ara transformation
Y1 = X1 − 2X2 ,
Y2 = X1 + cX2 .
Y1
a) L˚
at Y vara den stokastiska vektorn Y =
. Vilken f¨ordelning har Y ?
Y2
Ange f¨ordelning, v¨antev¨ardesvektor och kovariansmatris.
(2p)
b) Best¨am konstanten c s˚
a att Y1 och Y2 ¨ar oberoende.
(1p)
3. L˚
at x1 , . . . , xn vara n oberoende observationer fr˚
an en stokastisk variabel som har
t¨athetsfunktionen

θ

 θ+1 f¨or x > 1,
x
fX (x) =


0
annars,
d¨ar θ > 0 ¨ar en ok¨and parameter.
1
a) Best¨am maximum-likelihood-skattningen av θ.
(2p)
b) H¨arled en punktskattning av θ med momentmetoden.
(2p)
4. Financial Times Stock Exchange 100 (FTSE-100) ¨ar ett index som omfattar de 100
st¨orsta aktierna, m¨att till marknadsv¨arde, p˚
a Londonb¨orsen. Man vill nu unders¨oka
om man kan f¨oklara avkastningen f¨or FTSE-100 (y) med f¨orklaringsvariablerna
x1 = avkastningen p˚
a den brittiska obligationsmarknaden,
x2 = avkastningen p˚
a S&P 500 (index inkluderar ett representativt
urval av st¨orre ledande bolag p˚
a den amerikanska marknaden),
x3 = avkastningen p˚
a v¨axlingskursen mellan amerikanska dollar och
brittiska pund.
Data har f¨orst analyserats enligt f¨oljande modell
Modell 1: Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 + ε,
d¨ar ε ∼ N (0, σ) med f¨oljande resultat.
Skattad regressionslinje: y = −0.34 − 0.06x1 + 0.94x2 − 0.03x3
βbi
d(βbi )
i
0 -0.3420 0.6810
1 -0.0613 0.2644
2 0.9390 0.1504
3 -0.0328 0.1908
Variansanalys:
Frihetsgrader
REGR
3
RES
24
TOT
27
Kvadratsumma
420.09
252.14
672.23
a) Unders¨ok med l¨ampliga test eller konfidensintervall om var och en av f¨orklaringsvariablerna g¨or nytta. Varje test ska vara p˚
a signifikansniv˚
an 5%. (1p)
Data har sedan analyserats enligt f¨oljande modell
Modell 2: Y = β0 + β2 x2 + ε,
d¨ar ε ∼ N (0, σ) med f¨oljande resultat.
Skattad regressionslinje: y = −0.43 + 0.94x2
2
i
βbi
d(βbi )
0 -0.4258 0.5956
2 0.9359 0.1426
Variansanalys:
REGR
RES
TOT
0
Frihetsgrader
1
26
27
(X X)
−1
Kvadratsumma
419.14
253.09
672.23
=
0.0364 −0.0012
−0.0012 0.0021
b) Vilken avkastning kan vi f¨orv¨anta oss f¨or en genomsnittsdag f¨or FTSE-100 n¨ar
avkastningen f¨or S&P 500 ¨ar 3%, dvs x2 = 3. Bilda ett 95% konfidensintervall
f¨or l¨amplig storhet.
(2p)
c) Punktskatta skillnaden i avkastning f¨or FTSE-100 f¨or tv˚
a dagar d˚
a avkastningen f¨or S&P 500 ¨ar 2% och 4%.
(1p)
5. Ett laboratorium fick i uppgift att testa h˚
allbarheten p˚
a tv˚
a olika skidhj¨almar. Sju
hj¨almar togs av varje modell och varje hj¨alm utsattes f¨or en ¨okande kraft tills man
kunde uppt¨acka en sprickbildning i materialet. Kraften f¨or varje hj¨alm registrerades
och finns i tabellen nedan. Tyv¨arr s˚
a uppt¨acktes ett fabrikationsfel i tv˚
a hj¨almar av
den andra modellen, vilka f¨oljdaktligen inte kunde testas.
Modell i
1
31.0
24.4
2
26.4
26.4
Observationer
29.3 31.5 25.7
27.2 26.2 25.8
28.5
27.1
y¯i·
28.50
26.00
si
2.24
1.03
Modell: Vi har tv˚
a oberoende stickprov fr˚
an N (µi , σi ).
a) N˚
agon p˚
ast˚
ar att variansen f¨or den f¨orsta modellen a¨r st¨orre a¨n f¨or den andra.
¨
Ar det rimligt att anta samma varians? Det vill s¨aga testa hypotesen
H0 : σ12 = σ22
mot H1 : σ12 > σ22 ,
p˚
a niv˚
an 5%.
(1p)
b) Enligt a) kan vi anta att σ1 = σ2 = σ. Pr¨ova med hj¨alp av ett test eller
konfidensintervall p˚
a niv˚
an 0.05 om µ1 = µ2 . Vilken hj¨alm ¨ar b¨ast?
(2p)
6. H¨arled styrkefunktionen f¨or testet i uppgiften 5a) som en funktion av kvoten σ12 /σ22 .
Ange de aktuella f¨ordelningarna.
Anv¨and styrkefunktionen och ber¨akna styrkan f¨or σ1 = 3.75 och σ2 = 1.
3
(2p)