Transcript Blad 1

VEKTORANALYS - FMFF01 VT 2015
¨
Ovningar
Blad 1
1. Inledande Avsnitt
1.1 Rita f¨alten A = (x, y, 0) och B = (y, −x, 0). Best¨am de f¨altlinjer som startar
i punkten (1,1,0). Vi kommer att titta mer p˚
a dessa f¨alt senare.
1.2 Griffiths s. 4, Problem 1.1:
Anv¨and definitionerna i ekvationerna (1.1) och (1.4) och l¨ampliga figurer i
kursboken av Griffiths f¨or att illustrera grafiskt att skal¨arprodukten och vektorprodukten (kryssprodukten) a¨r distributiva n¨ar alla tre vektorerna ligger i
samma plan.
1.3 Griffiths s. 4, Problem 1.2:
¨ vektorprodukten associativ, (A × B) × C = A × (B × C) ?
Ar
Om s˚
a a¨r fallet, bevisa det. Om inte, hitta ett motexempel.
1.4 Griffiths s. 8, Problem 1.5:
Bevisa regeln BAC−CAB, genom att skriva ut b˚
ada sidor i komponent form.
1.5 Griffiths s. 8, Problem 1.6:
Bevisa att [A × (B × C)] + [B × (C × A)] + [C × (A × B)] = 0.
Under vilka f¨oruts¨attningar g¨aller A × (B × C) = (A × B) × C?
1.6 Ramgard, Problem 1:
= A(u) × R(u) d¨ar A(u)
Vektorn R(u) satisfierar differentialekvationen dR(u)
du
a¨r en given vektorv¨ard funktion. Visa att R:s absoluta belopp a¨r konstant.
Ledning: Derivera R · R
1.7 Griffiths s. 15, Problem 1.11:
Ber¨akna gradienten f¨or f¨oljande funktioner:
a) f (x, y, z) = x2 + y 3 + z 4 .
b) f (x, y, z) = x2 y 3 z 4 .
c) f (x, y, z) = ex sin (y) ln (z).
1.8 Ramgard, Problem 5:
Temperaturen i ett rum beskrivs av skal¨arf¨altet T = x2 + 2yz − z [◦ C].
En frusen mygga befinner sig i punkten (1,1,2).
a) I vilken riktning skall myggan flyga om den vill bli varm s˚
a fort som m¨ojligt?
b) Hur snabbt (uttryckt i ◦ C/s) ¨okar temperaturen om myggan flyger med
hastigheten 3 l¨angdenheter/s i riktningen (−2, 2, 1)?
1.9 Ramgard, Problem 7:
Andragradsytan x2 + 2xy + 2zx − 2x + 2y + 2z − 2 = 0 sk¨ars av planet
x − y + z + 1 = 0.
Vilken vinkel bildar de b˚
ada ytorna med varandra i punkten (0,1,0)?
1.10 Ramgard, Problem 2:
Ange en enkel parameterframst¨allning r = r (u) f¨or kurvan
(
4x − y 2 = 0
x2 + y 2 − z = 0,
fr˚
an punkten (0, 0, 0) till (1, 2, 5).
Best¨am tangentriktningen i punkten (1/4, 1, 17/16).
2. Operatorkalkyl
2.1 Varf¨or finns (B × ∇) · A men ej B × (∇ · A) ?
2.2 Griffiths s. 18, Problem 1.15:
Ber¨akna divergensen f¨or f¨oljande vektorfunktioner:
ˆ + 3xz 2 y
ˆ − 2xzˆz.
a) va = x2 x
ˆ + 3zxˆz.
b) vb = xyˆ
x + 2yz y
ˆ + (2xy + z 2 ) y
ˆ + 2yzˆz.
c) vc = y 2 x
2.3 Griffiths s. 20, Problem 1.18:
Ber¨akna rotationen f¨or vektorfunktionerna va , vb och vc fr˚
an uppgift 2.2.
2.4 Griffiths s. 22, Problem 1.24:
(a) Kontrollera produktregeln (iv) p˚
a sidan 21 i kursboken f¨or vektorfunktionerna
A = xˆ
x + 2yˆ
y + 3zˆz; B = 3yˆ
x − 2xˆ
y.
(b) Kontrollera p˚
a liknande s¨att produktregel (ii) (sidan 21 i kursboken).
(c) Samma f¨or produktregel (vi) (sidan 21 i kursboken).
2.5 Visa att rot grad φ = 0.
2.6 Visa att div rot A = 0.
2.7 Ber¨akna grad r samt div r och rot r.
Kursliteratur:
D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (3rd edition) (f¨orsta kapitlet), Pearson education
(2008);
A. Persson and L.-C. B¨
oiers, Analys i flera variabler, 3. uppl., Studentlitteratur (2005);
A. Ramgard, Vektoranalys, 2. uppl., Teknisk h¨ogskolelitteratur i Stockholm, 1992. (ISBN 9185484-35-0)