Transcript LINK¨OPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 1

¨
LINKOPINGS
UNIVERSITET
Matematiska institutionen
EXAM TAMS 27 / TEN 1
14 januari 2012, klockan 8.00-12.00
Examinator: J¨org-Uwe L¨obus (Tel: 0709-602827)
Till˚
atna hj¨alpmedel ¨ar en r¨aknare, formelsamling i matematisk statistisk utgiven av
MAI, och ett ytterligare formel-blad (2 sidor).
(1) Vid s¨onderfall av myoner kan f¨ordelningen f¨or riktningen av s¨onderfallet beskrivas
av t¨athetsfunktionen
1 + θx
, −π ≤ x ≤ π,
f (x) =
2π
d¨ar parametern θ ∈ (−(2π)−1 , (2π)−1 ) anger graden av polarisation av myonerna.
L˚
at det stokastiska stickprovet X1 , . . . , Xn representera m¨atningar av rikningen vid
n oberoende s¨onderfall med samma polarisationsgrad.
(a) Betrakta
n
1X
θˆ = c ·
Xi ,
n i=1
ˆ = θ. (1.5p)
d¨ar c a¨r en godtycklig konstant. Best¨am c s˚
a att E[θ]
P
(b) Ber¨akna variansen f¨or θˆ = c · n1 ni=1 Xi d¨ar c a¨r v¨ardet du fick i (a)-uppgiften.
(1.5p)
(2) En tunnel av l¨angd 170 m skall borras fr˚
an tv˚
a h˚
all. Av erfarenhet tror man sig veta
att vad som hinns med olika dagar fr˚
an ett h˚
all kan uppfattas som oberoende observationer av en stokastisk variabel med v¨antev¨ardet 5.0 m och standardavvikelsen
1.2 m. Ber¨akna med l¨amplig approximation sannolikheten att det tar l¨angre tid a¨n
18 dagar att borra tunneln. (3p)
(3) I snitt inkommer 7 mail/dygn till Karls mailbox. Karl har m˚
anga internationella
v¨anner s˚
a intensiteten f¨or inkommande mail ¨ar ungef¨ar konstant f¨ordelad ¨over hela
dygnet. Karl antar att inkommande mail f¨oljer en poissonprocess. Karl kollar sin
mail det sista han g¨or innan han g˚
ar och l¨agger sig och det f¨orsta han g¨or n¨ar han
vaknar. Han sover 8h/natt.
(a) Vad a¨r enligt Karls modell sannolikheten att han inte f˚
ar ett enda mail under
natten? (1.5p)
(b) Vad s¨ager Karls modell om sannolikheten att f˚
a noll mail minst tv˚
a av veckans
sju n¨atter? (1.5p)
(4) L˚
at U1 , . . . , Un vara oberoende likformigt f¨ordelade slumpvariabler p˚
a intervallet
(0, 1) .
(a) Ber¨akna P (2 · min(U1 , U2 ) > x), x ∈ (0, 2). (1p)
(b) Ber¨akna P (n · min(U1 , . . . , Un ) > x), x ∈ (0, n), n ∈ N. (1p)
(c) Best¨am F (x) := limn→∞ P (n · min(U1 , . . . , Un ) ≤ x), x ∈ R. (0.5p)
(d) Ange f¨ordelning vars f¨ordelningsfunktion a¨r F fr˚
an (c)-delen. (0.5p)
(5) Kalle spelar ett spel d¨ar han kan v¨alja sj¨alv hur mycket han satsar i varje omg˚
ang.
Om han vinner f˚
ar han tillbaka dubbla insatsen. Han vinner med sannolikhet 12
varje omg˚
ang oberoende av vad som har h¨ant i tidigare omg˚
angar.
Kalle har kommit p˚
a f¨oljande strategi: Han b¨orjar med att satsa 1 kr. F¨or varje
omg˚
ang han f¨orlorar s˚
a dubblar han insatsen till n¨asta omg˚
ang. N¨ar han vinner f¨or
f¨orsta g˚
angen s˚
a slutar han spela.
(a) Om Kalle har obegr¨ansat med pengar att spela f¨or, vad ¨ar v¨antev¨ardet f¨or
hans nettovinst (vinst minus sammanlagd insats) om han f¨oljer sin strategi?
Ledning: Vad a¨r nettovinsten om han vinner f¨orst i omg˚
ang nummer n? (1p)
(b) Om Kalle har begr¨ansat med pengar att spela f¨or, vad a¨r v¨antev¨ardet f¨or
nettovinsten om han f¨oljer sin strategi tills han vinner f¨or f¨orsta g˚
angen eller
pengarna tar slut s˚
a att han inte kan forts¨atta att dubbla insatsen? Ledning:
Du kan anta att Kalle fr˚
an b¨orjan har k kr att spela f¨or och att dessa r¨acker
att spela f¨or i h¨ogst N omg˚
angar, dvs 2N ≤ k + 1 < 2N +1 f¨or n˚
agot N . (2p)
(6) L˚
at X1 , X2 vara oberoende N (0, 1)-f¨ordelade stokastiska variabler. L˚
at den stokastiska
vektorn Y defineras genom
Y1
1 1
X1
Y≡
=
.
Y2
−1 1
X2
(a) Ber¨akna den simultana t¨athetsfunktionen, v¨antev¨ardesvektorn och kovariansmatrisen f¨or Y. (1.5p)
(b) Best¨am t¨athetsfunktionen av Y12 + Y22 . (1.5p)
Ledning: Om Z1 , Z2 a¨r oberoende N (0, 1)-f¨ordelade stokastiska variabler s˚
a kallas
2
2
2
2
f¨ordelningen av Z1 + Z2 χ (2)-f¨ordelning. T¨athetsfunktionen av en χ (2)-f¨ordelad
slumpvariabel a¨r
1 1
f (x) = e− 2 x , x ≥ 0.
2
L¨osningar
ˆ = θ. Vi beh¨over r¨akna ut v¨antev¨ardet av
(1) (a) Vi ska P
best¨amma c s˚
a att E[θ]
n
1
¯
X = n i=1 Xi .
¯ = E(X)
E(X)
Z
Z π
xf (x) dx =
=
π
1 + θx
1 x2 θx3
x
dx =
+
2π
2π 2
3 −π
−π
−π
2
=
π
θπ
.
3
Det medf¨or att c = 3/π 2 .
¯ d¨ar c a¨r v¨ardet som vi fick i (a)(b) Nu ska vi best¨amma variansen f¨or θˆ = cX
uppgiften. Variansen definieras som
2
ˆ = c2 V ar(X)
¯ = c V ar(X)
V ar(θ)
n
9
2
2
=
E(X
)
−
(E(X))
π4n
2 2 !
9
θπ
=
E(X 2 ) −
.
4
π n
3
Vi ska nu r¨akna ut andramomentet av X.
π
Z π
Z π
1 x3 θx4
2
2
2 1 + θx
dx =
+
E(X ) =
x f (x) dx =
x
2π
2π 3
4 −π
−π
−π
=
π2
.
3
Variansen av θˆ blir
2
2 2
2
ˆ = 9 · π (3 − θ π ) = 3 − θ .
V ar(θ)
π4n
9
π2n
n
(2) L˚
at de oberoende likaf¨ordelade stokastiska variablerna Xi , i = 1, . . . , 36 med E[Xi ] =
5.0 och V ar(Xi ) = 1.22 , beteckna de str¨ackor som gr¨avs olika dagar fr˚
an de b˚
ada
h˚
allen. P˚
a 18 dagar gr¨avs en total str¨acka Y = X1 + X2 + . . . + X36 , √
som enligt
centrala gr¨ansv¨ardessatsen approximativt a¨r f¨ordelad som N (5.0 · 36, 1.2 36), dvs.
N (180, 7.2). Den s¨okta sannolikheten blir
170 − 180
P (Y < 170) ≈ Φ
= 0.082.
7.2
(3) (a) X = {antalet mail en natt}, X ∼ P o(7 · 31 ) = P o( 73 ). Detta inneb¨ar att
P (X = 0) = e−7/3 ≈ 0.1 .
(b) Y = {antalet n¨atter utan mail p˚
a en vecka}, Y ∼ Bin(7, 0.1).
P (Y ≥ 2) = 1 − P (Y = 0) − P (Y = 1) = 1 − 0.8503 = 0.1497 .
(4) (a)
x
P (2 · min(U1 , U2 ) > x) = P min(U1 , U2 ) >
2
x
x
= P U1 >
· P U2 >
2
2
x 2
= 1−
, x ∈ (0, 2).
2
(b)
x
P (n · min(U1 , . . . , Un ) > x) = P min(U1 , . . . , Un ) >
n x
x
· · · P Un >
= P U1 >
n
n
x n
= 1−
, x ∈ (0, n).
n
(c) F (x) := limn→∞ P (n · min(U1 , . . . , Un ) ≤ x) = 1 − e−x , x ∈ R.
(d) Exp(1)-f¨ordelning.
(5) (a) Om Kalle vinner i omg˚
ang n s˚
a har han totalt satsat 1 + 2 + . . . + 2n−1 = 2n − 1
kr. Hans senaste insats a¨r d˚
a 2n−1 s˚
a hans bruttovinst blir 2 · 2n−1 = 2n och
d¨arf¨or blir nettovinsten 2n − (2n − 1) = 1 kr. Men detta v¨arde beror ju inte p˚
a
n, s˚
a oavsett n¨ar Kalle vinner f¨or f¨orsta g˚
angen s˚
a g˚
ar han totalt 1 kr plus, s˚
a
hans f¨orv¨antade vinst av denna strategi ¨ar 1 kr.
(b) Vi antar f¨orst att Kalle kan vara med i maximalt N omg˚
angar. Om han vinner
p˚
a n˚
agon av dessa N omg˚
angar s˚
a g˚
ar han plus 1 kr enligt (a). Om han inte
vinner p˚
a n˚
agon av dessa N omg˚
angar s˚
a g˚
ar han back det som han har satsat,
N
N
dvs 2 − 1 kr. Sannolikheten att han skall f¨orlora N g˚
anger i str¨ack a¨r 21 .
Allts˚
a blir hans f¨orv¨antade nettovinst
1
1
1 · 1 − N − (1 − 2N ) · N = 0 .
2
2
Men detta v¨arde beror ju inte p˚
a N , s˚
a oavsett hur mycket pengar Kalle har
med sig fr˚
an b¨orjan s˚
a a¨r det f¨orv¨antade v¨ardet 0 kr f¨or hans strategi s˚
a l¨ange
det finns n˚
agon begr¨ansning i Kalles kassa.
(6) (a) L˚
at
A=
1 1
−1 1
X=
X1
X2
.
Det g¨aller att Y = AX. Det medf¨or att
0
0
µY = A
=
0
0
och
T
CY = ACX A =
1 1
−1 1
1 0
0 1
Vi f˚
ar
C−1
Y
=
1
2
0
0
1
2
1 −1
1 1
=
2 0
0 2
.
och
1 2
1
2
.
exp − y1 + y2
fY (y1 , y2 ) =
4π
4
(b) Del (a) inneb¨ar att Y1 och Y2 a¨r oberoende normalf¨ordelade stokastiska variabler med v¨antev¨arde 0 och varians 2. Det betyder att 21 (Y12 + Y22 ) ¨ar χ2 (2)f¨ordelad. Allts˚
a a¨r
Z x
1 2
− 21 x
2
1−e
f 1 (Y12 +Y22 ) (y) dy = P
(Y + Y2 ) ≤ x , x ≥ 0,
=
2
2 1
0
som medf¨or att
1
1 − e− 4 x = P Y12 + Y22 ≤ x ,
och
1 1
fY12 +Y22 (x) = e− 4 x ,
4
x ≥ 0,
x ≥ 0.