Transcript LINK¨OPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 1

¨
LINKOPINGS
UNIVERSITET
Matematiska institutionen
EXAM TAMS 27 / TEN 1
17 augusti 2011, klockan 8.00-12.00
Examinator: J¨org-Uwe L¨obus (Tel: 28-1474)
Till˚
atna hj¨alpmedel ¨ar en r¨aknare, formelsamling i matematisk statistisk utgiven av
MAI, och ett ytterligare formel-blad (2 sidor).
(1) L˚
at (X, Y ) vara en tv˚
adimensionell kontinuerlig stokastisk variabel d¨ar X och Y ¨ar
icke-negativa och oberoende.
R∞
(a) Visa att P (X < Y ) = 0 FX (y)fY (y)dy d¨ar FX ¨ar f¨ordelningsfunktionen f¨or
X och fY betecknar t¨athetsfunktionen f¨or Y . (2p)
(b) Ber¨akna ovanst˚
aende i fallet d˚
a X ∼ Exp(λ1 ) och Y ∼ Exp(λ2 ). (1p)
(2) Bland tolv˚
aringarna i ett visst land g¨aller att pojkarnas l¨angd f¨oljer en normalf¨ordelning med v¨antev¨arde 153,8 och standardavvikelse 9,4 (enhet: cm). Bland
flickorna i samma land ¨ar l¨angden normalf¨ordelad med v¨antev¨arde 156,6 och standardavvikelse 5,5.
(a) Man v¨aljer ut tio pojkar p˚
a m˚
af˚
a, m¨ater deras l¨angd och r¨aknar ut medelv¨ardet.
Vad ¨ar sannolikheten att resultatet blir mer ¨an 155? (1p)
(b) Man v¨aljer ut en pojke och en flicka p˚
a m˚
af˚
a. Vad ¨ar sannolikheten att pojken
¨ar l¨angre ¨an flickan? (2p)
(3) H¨andelser intr¨affar enligt en Poissonprocess med intensitet 1 per timme. Processen
b¨orjar klockan 8.00 och avbryts mellan klockan 12.00 och klockan 13.00.
(a) Vad ¨ar sannolikheten att den f¨orsta h¨andelsen intr¨affar n˚
agon g˚
ang mellan
klockan 8.30 och 9.15. (1p)
(b) Anta att h¨ogst en h¨andelse intr¨affade till klockan 10.00. Ber¨akna sannolikheten
f¨or att exakt 6 h¨andelser intr¨affade till klockan 14.00. (2p)
(4) Ett f¨ors¨akringsbolag s¨aljer en f¨ors¨akringstyp d¨ar ers¨attningsbeloppet till en given
kund under ett givet ˚
ar beskrivs av en stokastisk variabel med v¨antev¨arde 50 kronor
och standardavvikelse σ kronor. Bolaget har s˚
alt f¨ors¨akringen till 400 kunder och
vi antar att dessa drabbas av skador oberoende av varandra.
(a) Om σ = 100, vad ¨ar sannolikheten att bolaget under ett givet ˚
ar sammanlagt
m˚
aste betala ut mer ¨an 22 000 kronor? Anv¨and centrala gr¨ansv¨ardessatsen.
(2p)
(b) Hur litet m˚
aste σ vara f¨or att sannolikheten att bolagets sammanlagda utbetalning under ett givet ˚
ar ska ¨overstiga 22 000 kronor ska vara 1%? Anv¨and
centrala gr¨ansv¨ardessatsen. (1p)
(5) ˚
Atta torn placeras slumpvis p˚
a var sin ruta i ett schackbr¨ade. Ber¨akna sannolikheten
att inget av tornen kan sl˚
a det andra, med andra ord, att det hamnar precis ett torn
i varje lodr¨at och v˚
agr¨at rad p˚
a br¨adet. Ett schackbr¨ade best˚
ar av 8 × 8 rutor. (3p)
(6) Ett flygbolag uppskattar att sannolikheten att en person med biljett inte dyker upp
till flyget ¨ar 0.05. Man s¨aljer d¨arf¨or fler biljetter ¨an de 300 platser som finns p˚
a
planet. Hur m˚
anga biljetter kan bolaget som mest s¨alja f¨or att sannolikheten att
alla passagerare f˚
ar plats ska vara st¨orre ¨an 0.99 enligt flygbolagets uppskattningar
om man antar att det inte finns n˚
agra samband mellan olika personers ben¨agenhet
att dyka upp till flyget. (3p)
L¨osningar
(1) (a) Eftersom X och Y ¨ar icke-negativa och oberoende, f˚
ar vi att
Z ∞Z y
fX,Y (x, y) dx dy
P (X < Y ) =
Z0 ∞ 0Z y
fX (x) dx fY (y) dy
=
Z0 ∞ 0
=
FX (y)fY (y) dy .
0
(b) Man har d˚
a att FX (y) = 1−e−λ1 y och fY (y) = λ2 e−λ2 y , vilket insatt i uttrycket
fr˚
an (a) ger
Z ∞
λ2
λ1
1 − e−λ1 y λ2 e−λ2 y dy = 1 −
P (X < Y ) =
=
.
λ1 + λ 2
λ1 + λ 2
0
¯ av tio slumpvis utvalda pojkars l¨angd ¨ar normalf¨ordelad med
(2) (a) Medelv¨ardet X
√
v¨antev¨arde 153,8 och standardavvikelse 9, 4/ 10 ≈ 2, 97. Allts˚
a ¨ar
155 − 153, 8
¯
P X > 155 = 1 − Φ
≈ 0, 345 .
2, 97
(b) Om X ¨ar l¨angden av en slumpvis vald pojke och Y ¨ar l¨angden av en slumpvis
vald flicka s˚
a ¨ar X − Y normalf¨ordelad med v¨antev¨arde 153, 8√− 156.6 = −2, 8
och varians (9, 4)2 + (5, 5)2 = 118, 61 dvs. standardavvikelse 118, 61 ≈ 10, 9.
Den h¨andelse vars sannolikhet vi s¨oker kan skrivas {X −Y > 0}. Sannolikheten
¨ar
2, 8
1−Φ
≈ 0, 397 .
10, 9
(3) L˚
at X(t) vara antalet h¨andelser under tidsintervallet [0, t], dvs. [0, 4] motsvarar kl.
8.00-12.00 och (4, ∞) motsvarar tiden fr˚
an kl. 13.00. X(t) ¨ar Poissonf¨ordelad med
parameter t = t · λ eftersom λ = 1.
(a) L˚
at T1 vara tiden som den f¨orsta h¨andelsen intr¨affar. Eftersom T1 ¨ar exponentialf¨ordelad med parameter λ = 1 f˚
ar vi
P 12 < T ≤ 54 = FT ( 54 ) − FT ( 12 ) = e−1/2 − e−5/4 = 0.32 .
(b) Detta ¨ar uppgift 6 i tentan 2 juni 2009 f¨or k = 5 och s = 3, se tentasamling.
(4) (a) Eftersom Y ¨ar en summa av 400 st oberoende likaf¨ordelade stokastiska variabler
kan vi anv¨anda oss av centrala gr¨ansv¨ardessatsen f¨or att ber¨akna sannolikheten
att Y > 22 000 enligt
Y − 400 · 50
22 000 − 400 · 50
100
√
√
P (Y > 22 000) = P
>
≈P Z>
σ
σ · 400
σ · 400
d¨ar Z ∼ N (0, 1), vilket tillsammans med symmetriargument och σ = 100 ger
att
100
P (Y > 22 000) ≈ 1 − P Z ≤
= 1 − Φ(1) = 0, 1587 .
σ
(b) F¨or att best¨amma σ s˚
a att P (Y > 22 000) = 0, 01 anv¨ander vi oss av att
100
100
=1−Φ
.
P (Y > 22 000) ≈ P Z >
σ
σ
Vi f˚
ar
1−Φ
100
= 0.01
σ
100
= 2, 3263
σ
σ = 43 .
(5) Antalet s¨att att placera ut 8 torn p˚
a schackbr¨adets 64 rutor ¨ar
64
64!
=
.
8
8! · 56!
Antalet s¨att att placera ut tornen s˚
a att exakt ett hamnar i varje v˚
agr¨at och lodr¨at
rad ¨ar 8!. Den s¨okta sannolikheten ¨ar allts˚
a (8!)2 · 56!/64!, som ¨ar ungef¨ar 9 p˚
a en
miljon.
(6) L˚
at n vara antalet biljetter som s¨aljs, och l˚
at Yi = 1 om personen som k¨oper den
i:te biljetten kommer till flyget, och l˚
at Yi = 0 annars, 1 ≤ i ≤ n. Yi ¨ar Bernoullif¨ordelade stokastiska variabler med
P (Yi = 0) = 0.05 = 1 − P (Yi = 1)
f¨or alla 1 ≤ i ≤ n.
P
L˚
at Sn = ni=1 Yi beteckna antalet passagerare som kommer till flyget. Vi antar att
alla personer dyker upp till flyget oberoende av varandra. I detta fall ¨ar E(Sn ) =
nE(Y1 ) och V ar(Sn ) = nV ar(Y1 ) d¨ar
E(Y1 ) = P (Y1 = 1) = 0.95,
V ar(Y1 ) = E(Y12 ) − (E(Y1 ))2 = 0.95 − 0.952 = 0.95 · 0.05 .
Alla passagerare m˚
aste f˚
a plats med en sannolikhet st¨orre ¨an 0.99. Planet har 300
platser totalt. Detta betyder att ekvationen
P (Sn > 300) < 0.01
m˚
aste vara uppfylld. Enligt den centrala gr¨ansv¨artsatsen kan f¨ordelningen f¨or de
standardiserade summorna
Sn − E(Sn )
p
V ar(Sn )
approximeras med f¨ordelningen f¨or en standard normalf¨ordelad stokastisk variabel
Z, Z ∼ N (0, 1). Fr˚
an detta f¨oljer att
!
Sn − E(Sn )
300 − E(Sn )
P (Sn > 300) = P p
> p
< 0.01
V ar(Sn )
V ar(Sn )
approximativt kan uttryckas som
300 − 0.95n
P Z>√
< 0.01
n · 0.95 · 0.05
eller
P
300 − 0.95n
Z≤√
n · 0.95 · 0.05
≥ 0.99 .
Detta ger
300 − 0.95n
√
≥ Φ−1 (0.99) ≈ 2.33
(1)
n · 0.95 · 0.05
√
d¨ar Φ(z)
=
P
(Z
≤
z),
som,
d˚
a
2.33
·
0.95
√ · 0.05 ≈ 0.508, kan skrivas 0.95n +
√
0.95n +
0.508√n − 300 ≤ 0. Vi kan best¨amma n genom att l¨osa ekvationen
√
0.508 n − 300 = 0. D¨atta ¨ar en andragradsekvation i variabeln n som (med
bivillkoret att n ≥ 0) har l¨osning
√
√
−0.508 + 0.5082 + 4 · 0.95 · 300
33.26
n=
≈
= 17.5 .
2 · 0.95
1.9
Detta ger att (1) ¨ar uppfylld om
n ≤ 17.52 ≈ 306.25 .
Svar: Bolaget kan s¨alja som mest 306 biljetter.